Номер 16, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

a) $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{12}}$ ...

б) $\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{6})^2}$ ...

a) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{12}}$ является рациональным числом, необходимо его упростить. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное.
1. Упростим корень из 12, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
2. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}$
3. Выполним действия в числителе и знаменателе:
$\frac{(2+1)\sqrt{3}}{(1-2)\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{-1\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$
4. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$\frac{3}{-1} = -3$
Полученное число -3 является целым, а любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби (например, $\frac{-3}{1}$). Таким образом, значение выражения является рациональным числом.
Ответ: -3.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{6})^2}$ является рациональным числом, воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$.
1. Применим тождество к нашему выражению:
$\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{6})^2} = |5 + 2\sqrt{6}| - |4 - 2\sqrt{6}|$
2. Раскроем модули. Для этого определим знаки подмодульных выражений.
- Выражение $5 + 2\sqrt{6}$ очевидно положительно, так как является суммой двух положительных чисел. Значит, $|5 + 2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6}$.
- Чтобы определить знак выражения $4 - 2\sqrt{6}$, сравним числа 4 и $2\sqrt{6}$. Сделать это можно, сравнив их квадраты:
$4^2 = 16$
$(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$
Поскольку $16 < 24$, то $4 < 2\sqrt{6}$, следовательно, разность $4 - 2\sqrt{6}$ отрицательна.
Значит, $|4 - 2\sqrt{6}| = -(4 - 2\sqrt{6}) = -4 + 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6} - 4$.
3. Подставим раскрытые модули в выражение:
$(5 + 2\sqrt{6}) - (2\sqrt{6} - 4)$
4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 4 = (5 + 4) + (2\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) = 9$
Полученное число 9 является целым, а значит, и рациональным числом (можно представить как $\frac{9}{1}$). Таким образом, значение выражения является рациональным числом.
Ответ: 9.