Номер 3, страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Запишите:

a) десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,3 и $\frac{1}{3}$;

б) несколько иррациональных чисел, заключённых между числами 0,4 и $\frac{1}{2}$.

а) десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,3 и 1/3;

Для решения этой задачи представим оба числа в виде десятичных дробей. Число $0,3$ уже находится в этом формате. Дробь $\frac{1}{3}$ переведем в десятичную, разделив 1 на 3: $ \frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,3333... = 0,(3) $

Нам нужно найти десять рациональных чисел, которые находятся в интервале между $0,3$ и $0,(3)$. Запишем $0,3$ как $0,3000$. Это не изменит значение числа. Теперь нам нужно найти числа $x$, удовлетворяющие неравенству $0,3000 < x < 0,3333...$ Такими числами могут быть, например, конечные десятичные дроби, которые начинаются с $0,3$ и имеют следующие цифры, которые делают число больше $0,3$, но меньше $0,(3)$.

Примеры таких чисел: $0,301; 0,302; 0,303; 0,304; 0,305; 0,306; 0,307; 0,308; 0,309; 0,310$.

Все перечисленные числа являются конечными десятичными дробями, а значит, рациональны. Каждое из них больше $0,3$ и меньше $\frac{1}{3}$.

Ответ: $0,301; 0,302; 0,303; 0,304; 0,305; 0,306; 0,307; 0,308; 0,309; 0,310$.

б) несколько иррациональных чисел, заключённых между числами 0,4 и 1/2.

Сначала представим оба числа в виде десятичных дробей. $0,4$ уже представлено в этом виде. $\frac{1}{2} = 0,5$.

Нам нужно найти несколько иррациональных чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $0,4 < x < 0,5$. Иррациональное число — это число, десятичное представление которого является бесконечным и непериодическим. Один из способов найти такие числа — использовать квадратные корни.

Возведем все части неравенства $0,4 < x < 0,5$ в квадрат: $0,4^2 < x^2 < 0,5^2$ $0,16 < x^2 < 0,25$

Теперь мы можем выбрать любое число в интервале $(0,16; 0,25)$, которое не является полным квадратом рационального числа. Корень из такого числа будет иррациональным и будет находиться в искомом интервале $(0,4; 0,5)$. Возьмем, к примеру, числа $0,17$, $0,19$ и $0,22$. Они все находятся между $0,16$ и $0,25$. Тогда числа $\sqrt{0,17}$, $\sqrt{0,19}$ и $\sqrt{0,22}$ будут иррациональными и заключенными между $0,4$ и $0,5$.

Другой способ — сконструировать число с бесконечной непериодической десятичной частью, например: $0,4121121112...$ или $0,4505505550...$. Эти числа также являются иррациональными и находятся в заданном диапазоне.

Ответ: $\sqrt{0,17}$, $\sqrt{0,19}$, $\sqrt{0,22}$.