Страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

9. Фирма решила снять под офис помещение площадью не менее 80 м². Подойдёт ли для этого помещение, состоящее из двух комнат, длина первой из которых равна a м, ширина — b м, а длина второй равна c м, ширина — d м, где $a = 7,7 \pm 0,1$, $b = 6,2 \pm 0,1$, $c = 8,2 \pm 0,1$, $d = 5,7 \pm 0,1$?

Ответ: ................

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо вычислить общую площадь помещения и убедиться, что она составляет не менее 80 м². Помещение состоит из двух комнат, общая площадь $S$ является суммой площадей первой комнаты $S_1$ и второй комнаты $S_2$.

Площадь первой комнаты вычисляется по формуле $S_1 = a \cdot b$.

Площадь второй комнаты вычисляется по формуле $S_2 = c \cdot d$.

Следовательно, общая площадь помещения равна $S = S_1 + S_2 = a \cdot b + c \cdot d$.

В условии задачи размеры комнат даны с погрешностями: $a = 7,7 \pm 0,1$ м, $b = 6,2 \pm 0,1$ м, $c = 8,2 \pm 0,1$ м, $d = 5,7 \pm 0,1$ м. Чтобы гарантированно сказать, что помещение подходит, нужно рассчитать его минимально возможную площадь $S_{min}$ и сравнить с требуемым значением. Минимальная площадь будет в случае, когда все размеры примут свои наименьшие возможные значения.

Найдем минимальные значения для каждого размера:
$a_{min} = 7,7 - 0,1 = 7,6$ м
$b_{min} = 6,2 - 0,1 = 6,1$ м
$c_{min} = 8,2 - 0,1 = 8,1$ м
$d_{min} = 5,7 - 0,1 = 5,6$ м

Теперь рассчитаем минимально возможную площадь каждой комнаты:
Минимальная площадь первой комнаты: $S_{1, min} = a_{min} \cdot b_{min} = 7,6 \text{ м} \cdot 6,1 \text{ м} = 46,36 \text{ м}^2$.
Минимальная площадь второй комнаты: $S_{2, min} = c_{min} \cdot d_{min} = 8,1 \text{ м} \cdot 5,6 \text{ м} = 45,36 \text{ м}^2$.

Общая минимальная площадь всего помещения:
$S_{min} = S_{1, min} + S_{2, min} = 46,36 \text{ м}^2 + 45,36 \text{ м}^2 = 91,72 \text{ м}^2$.

Сравним полученную минимальную площадь с требованием фирмы (не менее 80 м²):
$91,72 \text{ м}^2 > 80 \text{ м}^2$.

Поскольку наименьшая возможная площадь помещения больше, чем требуемые 80 м², данное помещение подходит для офиса.

Ответ: да, помещение подойдёт, так как его минимально возможная площадь составляет 91,72 м², что больше требуемых 80 м².

10. Для перевода дюймов в сантиметры воспользовались равенством $1 \text{ дюйм} \approx 2,5 \text{ см}$. Найдите абсолютную и относительную погрешности, допущенные при замене табличного значения дюйма: $1 \text{ дюйм} = 2,54 \text{ см}$.

..............................

2. Расстояние $s$ (м) до места удара молнии может вычислить по формуле $s = 330t$, где $t$ - количество ...........................

Ответ: ..................

В этой задаче точным (табличным) значением является $a = 2,54$ см, а приближенным значением, полученным при округлении, является $x = 2,5$ см.

Абсолютная погрешность

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением ($a$) и приближенным значением ($x$). Она показывает, насколько велико отклонение приближенного значения от точного.

Формула для вычисления абсолютной погрешности:

$\Delta = |a - x|$

Подставим заданные значения в формулу:

$\Delta = |2,54 - 2,5| = |0,04| = 0,04$ см.

Ответ: абсолютная погрешность равна $0,04$ см.

Относительная погрешность

Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения. Она характеризует качество измерения и часто выражается в процентах.

Формула для вычисления относительной погрешности:

$\epsilon = \frac{\Delta}{|a|}$

Подставим найденную абсолютную погрешность и точное значение:

$\epsilon = \frac{0,04}{|2,54|} = \frac{0,04}{2,54} = \frac{4}{254} = \frac{2}{127}$

Для наглядности можно перевести эту дробь в десятичную форму и проценты:

$\epsilon = \frac{2}{127} \approx 0,015748...$

В процентах это составит:

$\epsilon \approx 0,0157 \cdot 100\% = 1,57\%$

Ответ: относительная погрешность равна $\frac{2}{127}$ (что приблизительно составляет $1,57\%$).

11. Решая графически уравнение $x^2 = 12 - x$, ученик нашёл его корни: $x_1 \approx -3,8$, $x_2 \approx 2,7$. Решив это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения, определите, с какой точностью был найден каждый корень при графическом способе решения.

Ответ:

Для того чтобы определить точность, с которой ученик нашел корни графически, сначала решим уравнение $x^2 = 12 - x$ аналитически с помощью формулы корней квадратного уравнения.

1. Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + x - 12 = 0$

2. Определим коэффициенты: $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$.

3. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

4. Найдем точные значения корней по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{\text{точный 1}} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_{\text{точный 2}} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь, зная точные значения корней, мы можем определить точность графического решения для каждого из них. Точность вычисляется как абсолютная погрешность, то есть модуль разности между точным и приближенным значениями.

Для корня $x_1 \approx -3,8$

Приближенное значение, найденное учеником, равно $-3,8$. Точное значение этого корня равно $-4$. Абсолютная погрешность (точность) равна:

$|-4 - (-3,8)| = |-4 + 3,8| = |-0,2| = 0,2$

Ответ: первый корень был найден с точностью 0,2.

Для корня $x_2 \approx 2,7$

Приближенное значение, найденное учеником, равно $2,7$. Точное значение этого корня равно $3$. Абсолютная погрешность (точность) равна:

$|3 - 2,7| = |0,3| = 0,3$

Ответ: второй корень был найден с точностью 0,3.

12. Можно ли на трёхтонном грузовике перевезти за один рейс 12 плит, масса каждой из которых равна $m$ кг, где $m = 250 \pm 10$, если известно, что не допускается перегрузка более 500 кг?

Ответ:

Чтобы определить, можно ли перевезти груз, необходимо сравнить максимальную возможную массу 12 плит с максимальной допустимой нагрузкой на грузовик, учитывая разрешенную перегрузку. Решение можно разбить на следующие шаги:

1. Расчет максимальной допустимой нагрузки на грузовик
Номинальная грузоподъемность трехтонного грузовика составляет 3 тонны, что эквивалентно $3000$ кг.
По условию, допускается перегрузка не более $500$ кг. Следовательно, максимальная масса, которую можно перевозить, равна:
$M_{допустимая} = 3000 \text{ кг} + 500 \text{ кг} = 3500 \text{ кг}$.

2. Расчет максимальной массы груза
Масса каждой плиты $m$ составляет $250 \pm 10$ кг. Это означает, что масса одной плиты находится в пределах от $(250 - 10) = 240$ кг до $(250 + 10) = 260$ кг.
Для проверки возможности перевозки необходимо рассмотреть наихудший случай, когда все плиты имеют максимальную массу, так как если грузовик выдержит максимальный вес, то он выдержит и любой меньший.
Максимальная масса одной плиты: $m_{max} = 260$ кг.
Максимальная общая масса 12 плит:
$M_{груза} = 12 \times m_{max} = 12 \times 260 \text{ кг} = 3120 \text{ кг}$.

3. Проверка условия перевозки
Сравним максимальную массу груза ($M_{груза}$) с максимальной допустимой нагрузкой ($M_{допустимая}$):
$3120 \text{ кг} \le 3500 \text{ кг}$.
Так как максимальная возможная масса груза ($3120$ кг) не превышает максимальную допустимую нагрузку на грузовик ($3500$ кг), перевозка возможна.
При этом перегрузка относительно номинальной грузоподъемности (3000 кг) составит $3120 - 3000 = 120$ кг, что не превышает разрешенные $500$ кг.

Ответ: да, можно.

1. Является ли пара чисел (-3; 1) решением неравенства:

а) $4x + 2y + 12 > 0;$

б) $x^2 - 4xy - 4y^2 < 17;$

в) $(2x - 1)^2 - (y - 3)^2 > 40;$

г) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}y^2 > 2?$

.................

.................

Ответ: а) ........................... б) ........................... в) ........................... г) ...........................

Чтобы определить, является ли пара чисел $(-3; 1)$ решением неравенства, необходимо подставить значения $x = -3$ и $y = 1$ в каждое неравенство и проверить, обращается ли оно в верное числовое неравенство.

а) $4x + 2y + 12 > 0$
Подставляем значения $x = -3$ и $y = 1$ в левую часть неравенства:
$4(-3) + 2(1) + 12 = -12 + 2 + 12 = 2$
Сравниваем результат с правой частью неравенства: $2 > 0$.
Это верное неравенство, следовательно, пара чисел $(-3; 1)$ является решением.
Ответ: да.

б) $x^2 - 4xy - 4y^2 < 17$
Подставляем значения $x = -3$ и $y = 1$ в левую часть неравенства:
$(-3)^2 - 4(-3)(1) - 4(1)^2 = 9 - (-12) - 4 = 9 + 12 - 4 = 17$
Сравниваем результат с правой частью неравенства: $17 < 17$.
Это неверное неравенство (так как 17 равно 17, а не меньше), следовательно, пара чисел $(-3; 1)$ не является решением.
Ответ: нет.

в) $(2x - 1)^2 - (y - 3)^2 > 40$
Подставляем значения $x = -3$ и $y = 1$ в левую часть неравенства:
$(2(-3) - 1)^2 - (1 - 3)^2 = (-6 - 1)^2 - (-2)^2 = (-7)^2 - 4 = 49 - 4 = 45$
Сравниваем результат с правой частью неравенства: $45 > 40$.
Это верное неравенство, следовательно, пара чисел $(-3; 1)$ является решением.
Ответ: да.

г) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}y^2 > 2$
Подставляем значения $x = -3$ и $y = 1$ в левую часть неравенства:
$\frac{1}{3}(-3)^2 - \frac{2}{9}(1)^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{2}{9} \cdot 1 = 3 - \frac{2}{9} = 2\frac{7}{9}$
Сравниваем результат с правой частью неравенства: $2\frac{7}{9} > 2$.
Это верное неравенство, следовательно, пара чисел $(-3; 1)$ является решением.
Ответ: да.

2. Найдите два каких-нибудь решения неравенства:

а) $y < 4x - 2$;

б) $y > 10x + 1$;

в) $y \le x^2 + 4$;

г) $x^2 - y^2 > 5$.

..............................

..............................

Ответ:

а) .............................

б) .............................

в) .............................

г) .............................

а) $y < 4x - 2$
Чтобы найти решение, нужно подобрать пару чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет данному неравенству. Для этого можно выбрать произвольное значение для $x$ и на его основе найти подходящее значение для $y$.
Первое решение:
Пусть $x = 2$. Подставим это значение в неравенство: $y < 4 \cdot 2 - 2$, что упрощается до $y < 6$. Мы можем выбрать любое значение $y$, которое меньше 6. Например, пусть $y = 5$.
Проверим: $5 < 4 \cdot 2 - 2 \implies 5 < 6$. Неравенство верно. Таким образом, пара $(2, 5)$ является решением.
Второе решение:
Пусть $x = 0$. Подставим это значение в неравенство: $y < 4 \cdot 0 - 2$, что упрощается до $y < -2$. Мы можем выбрать любое значение $y$, которое меньше -2. Например, пусть $y = -3$.
Проверим: $-3 < 4 \cdot 0 - 2 \implies -3 < -2$. Неравенство верно. Таким образом, пара $(0, -3)$ является решением.
Ответ: $(2, 5)$ и $(0, -3)$.

б) $y > 10x + 1$
Аналогично предыдущему пункту, выберем значение для $x$ и найдем подходящий $y$.
Первое решение:
Пусть $x = 1$. Тогда неравенство принимает вид: $y > 10 \cdot 1 + 1$, то есть $y > 11$. Выберем любое значение $y$, которое больше 11. Например, $y = 12$.
Проверим: $12 > 10 \cdot 1 + 1 \implies 12 > 11$. Неравенство верно. Пара $(1, 12)$ является решением.
Второе решение:
Пусть $x = 0$. Тогда неравенство принимает вид: $y > 10 \cdot 0 + 1$, то есть $y > 1$. Выберем любое значение $y$, которое больше 1. Например, $y = 5$.
Проверим: $5 > 10 \cdot 0 + 1 \implies 5 > 1$. Неравенство верно. Пара $(0, 5)$ является решением.
Ответ: $(1, 12)$ и $(0, 5)$.

в) $y \le x^2 + 4$
Подберем две пары чисел $(x, y)$, удовлетворяющие этому условию.
Первое решение:
Пусть $x = 0$. Тогда $y \le 0^2 + 4$, то есть $y \le 4$. В данном случае подходит и равенство, поэтому мы можем выбрать $y = 4$.
Проверим: $4 \le 0^2 + 4 \implies 4 \le 4$. Неравенство верно. Пара $(0, 4)$ является решением.
Второе решение:
Пусть $x = 2$. Тогда $y \le 2^2 + 4$, то есть $y \le 8$. Выберем любое значение $y$, которое меньше или равно 8. Например, $y = 0$.
Проверим: $0 \le 2^2 + 4 \implies 0 \le 8$. Неравенство верно. Пара $(2, 0)$ является решением.
Ответ: $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

г) $x^2 - y^2 > 5$
В этом случае нужно найти такие $x$ и $y$, чтобы разность их квадратов была больше 5.
Первое решение:
Выберем $x$ так, чтобы его квадрат был заведомо больше 5. Пусть $x = 3$, тогда $x^2 = 9$. Неравенство принимает вид $9 - y^2 > 5$. Отсюда $y^2 < 4$, что означает $-2 < y < 2$. Выберем любое значение $y$ из этого интервала, например, $y = 1$.
Проверим: $3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$. Так как $8 > 5$, неравенство верно. Пара $(3, 1)$ является решением.
Второе решение:
Пусть $x = 4$, тогда $x^2 = 16$. Неравенство принимает вид $16 - y^2 > 5$. Отсюда $y^2 < 11$, что означает $-\sqrt{11} < y < \sqrt{11}$. Выберем любое значение $y$ из этого интервала, например, $y = 0$.
Проверим: $4^2 - 0^2 = 16 - 0 = 16$. Так как $16 > 5$, неравенство верно. Пара $(4, 0)$ является решением.
Ответ: $(3, 1)$ и $(4, 0)$.

3. На рисунке изображена прямая $y=x+1$ и показаны множества точек, задаваемые четырьмя различными неравенствами. Запишите соответствующие неравенства.

a)

б)

в)

г)

Ответ:

a) $y < x+1$

б) $y \ge x+1$

в) $y \le x+1$

г) $y > x+1$

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждый график, обращая внимание на два ключевых аспекта: тип линии (сплошная или пунктирная) и расположение заштрихованной области (выше или ниже линии).

Все графики относятся к прямой, заданной уравнением $y = x + 1$.

• Сплошная линия означает, что точки на самой прямой являются частью решения, что соответствует нестрогим неравенствам ($\ge$ или $\le$).
• Пунктирная линия означает, что точки на прямой не входят в решение, что соответствует строгим неравенствам ($>$ или <).
• Заштрихованная область выше прямой означает, что для любого значения $x$ соответствующие значения $y$ больше, чем на прямой (неравенства $>$ или $\ge$).
• Заштрихованная область ниже прямой означает, что значения $y$ меньше, чем на прямой (неравенства < или $\le$).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) На этом графике граница изображена пунктирной линией, что указывает на строгое неравенство. Заштрихованная область находится ниже прямой. Следовательно, искомое неравенство — это $y < x + 1$. Для проверки можно взять любую точку из заштрихованной области, например, начало координат $(0, 0)$. Подставив эти значения в неравенство, получаем $0 < 0 + 1$, или $0 < 1$, что является верным утверждением.
Ответ: $y < x + 1$

б) Здесь граница — сплошная линия, что означает нестрогое неравенство. Заштрихованная область расположена ниже прямой. Таким образом, это множество точек описывается неравенством $y \le x + 1$. Проверка с точкой $(0, 0)$ дает $0 \le 0 + 1$, или $0 \le 1$, что верно.
Ответ: $y \le x + 1$

в) Граница является сплошной линией (нестрогое неравенство), а заштрихованная область находится выше прямой. Это соответствует неравенству $y \ge x + 1$. Для проверки выберем точку из заштрихованной области, например, $(-2, 0)$. Подстановка в неравенство дает $0 \ge -2 + 1$, или $0 \ge -1$, что является истиной.
Ответ: $y \ge x + 1$

г) На этом графике мы видим пунктирную линию (строгое неравенство) и заштрихованную область выше прямой. Это соответствует неравенству $y > x + 1$. Проверка с точкой $(-2, 0)$ дает $0 > -2 + 1$, или $0 > -1$, что также верно.
Ответ: $y > x + 1$