Страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

5. Зная, что $p = 3{,}7 \pm 0{,}2$, найдите, в каких границах заключено

число p:

Из данных чисел выберите возможные значения p и подчеркните их: 3,64; 3,589; 3,61; 3,484; 3,814; 3,679.

...в каких границах заключено число p:

Запись $p = 3,7 \pm 0,2$ означает, что истинное значение числа $p$ находится в некотором интервале. Чтобы найти границы этого интервала, нужно отнять и прибавить погрешность $0,2$ к приближенному значению $3,7$.

Нижняя граница интервала находится вычитанием погрешности:
$p_{min} = 3,7 - 0,2 = 3,5$

Верхняя граница интервала находится прибавлением погрешности:
$p_{max} = 3,7 + 0,2 = 3,9$

Следовательно, число $p$ заключено в границах от $3,5$ до $3,9$ включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $3,5 \le p \le 3,9$

Из данных чисел выберите возможные значения p и подчеркните их:

Чтобы определить, какие из предложенных чисел могут быть значениями $p$, необходимо проверить, принадлежат ли они найденному интервалу $[3,5; 3,9]$.
Проверим каждое число:
3,64: $3,5 \le 3,64 \le 3,9$. Неравенство верно.
3,589: $3,5 \le 3,589 \le 3,9$. Неравенство верно.
3,61: $3,5 \le 3,61 \le 3,9$. Неравенство верно.
3,484: $3,5 \le 3,484 \le 3,9$. Неравенство неверно, так как $3,484 < 3,5$.
3,814: $3,5 \le 3,814 \le 3,9$. Неравенство верно.
3,679: $3,5 \le 3,679 \le 3,9$. Неравенство верно.
Возможными значениями $p$ являются все числа, которые удовлетворяют этому условию.

Ответ: 3,64; 3,589; 3,61; 3,484; 3,814; 3,679.

$\angle A \approx \text{..........},$

$\angle B \approx \text{..........},$

$\angle C \approx \text{..........}.$

Вычислите сумму углов треугольника и найдите абсолютную и относительную погрешности полученного результата.

Поскольку задание является практическим и требует физически начертить треугольник и измерить его углы, мы смоделируем этот процесс, выбрав для углов правдоподобные значения, которые могли бы получиться при измерении транспортиром с точностью до 1°.

Пусть в результате измерений углов произвольного треугольника ABC были получены следующие значения:

∠A ≈ 65°,

∠B ≈ 45°,

∠C ≈ 71°.

Вычислите сумму углов треугольника и найдите абсолютную и относительную погрешности полученного результата.

1. Вычисление суммы углов треугольника
Найдем сумму измеренных углов. Обозначим эту сумму как $S_{изм}$.
$S_{изм} = \angle A + \angle B + \angle C = 65^\circ + 45^\circ + 71^\circ = 181^\circ$

2. Нахождение абсолютной погрешности
Теоретическая (точная) сумма углов в любом треугольнике, которую мы обозначим как $S_{точн}$, всегда равна $180^\circ$.
Абсолютная погрешность ($\Delta$) — это модуль разности между точным и измеренным (экспериментальным) значениями.
Формула для вычисления: $\Delta = |S_{точн} - S_{изм}|$
Подставим наши значения:
$\Delta = |180^\circ - 181^\circ| = |-1^\circ| = 1^\circ$

3. Нахождение относительной погрешности
Относительная погрешность ($\epsilon$) — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения. Обычно ее выражают в процентах.
Формула для вычисления: $\epsilon = \frac{\Delta}{|S_{точн}|} \cdot 100\%$
Подставим наши значения:
$\epsilon = \frac{1^\circ}{|180^\circ|} \cdot 100\% = \frac{1}{180} \cdot 100\% \approx 0.00555... \cdot 100\% \approx 0.56\%$

Ответ: Сумма углов, полученная в результате измерений, составляет $181^\circ$; абсолютная погрешность равна $1^\circ$; относительная погрешность — примерно $0.56\%$.

7. В качестве приближённого значения каждого из чисел $a$ и $b$ взято их среднее арифметическое. Чему равна в каждом случае точность приближения?

По условию задачи, в качестве приближенного значения для каждого из чисел a и b взято их среднее арифметическое. Обозначим это приближенное значение как x.

Среднее арифметическое чисел a и b вычисляется по формуле:
$x = \frac{a + b}{2}$

Точность приближения — это абсолютная погрешность, то есть модуль разности между точным значением и его приближением. Нам необходимо найти эту величину для каждого из чисел.

Точность приближения для числа a

Для числа a точность приближения равна $|a - x|$. Подставим в это выражение формулу для x и выполним преобразования:
$|a - x| = |a - \frac{a + b}{2}|$
Приводим к общему знаменателю:
$|a - \frac{a + b}{2}| = |\frac{2a}{2} - \frac{a + b}{2}| = |\frac{2a - (a + b)}{2}| = |\frac{2a - a - b}{2}| = |\frac{a - b}{2}|$
Ответ: точность приближения для числа a равна $|\frac{a - b}{2}|$.

Точность приближения для числа b

Аналогично для числа b, точность приближения равна $|b - x|$. Подставим значение x:
$|b - x| = |b - \frac{a + b}{2}|$
Приводим к общему знаменателю:
$|b - \frac{a + b}{2}| = |\frac{2b}{2} - \frac{a + b}{2}| = |\frac{2b - (a + b)}{2}| = |\frac{2b - a - b}{2}| = |\frac{b - a}{2}|$
Ответ: точность приближения для числа b равна $|\frac{b - a}{2}|$.

Результаты для обоих случаев выглядят по-разному, но на самом деле они равны, так как модуль разности не зависит от порядка вычитания: $|a - b| = |-(b-a)| = |b - a|$.
Следовательно, $|\frac{a - b}{2}| = |\frac{b - a}{2}|$.

Таким образом, в каждом случае точность приближения одинакова и равна половине модуля разности между числами a и b.

8. При измерении (в сантиметрах) длины $a$ металлического стержня и диаметра $b$ его поперечного сечения нашли, что $a = 17,9 \pm 0,1$, $b = 3,1 \pm 0,05$. Найдите с помощью калькулятора относительную погрешность приближения и определите, в каком случае качество измерения выше.

..................

..................

Ответ: .............................

Для решения задачи необходимо найти относительную погрешность для каждого измерения и сравнить их. Относительная погрешность ($\delta$) вычисляется как отношение абсолютной погрешности ($\Delta x$) к модулю самого приближенного значения ($|x|$):

$\delta = \frac{\Delta x}{|x|}$

Качество измерения тем выше, чем меньше его относительная погрешность.

Найдите с помощью калькулятора относительную погрешность приближения

1. Для измерения длины $a = 17.9 \pm 0.1$ см:
Приближенное значение длины: $|a| = 17.9$ см.
Абсолютная погрешность: $\Delta a = 0.1$ см.
Относительная погрешность измерения длины $\delta_a$ равна:
$\delta_a = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0.1}{17.9} \approx 0.005586...$
В процентах это составляет: $0.005586... \times 100\% \approx 0.56\%$.

2. Для измерения диаметра $b = 3.1 \pm 0.05$ см:
Приближенное значение диаметра: $|b| = 3.1$ см.
Абсолютная погрешность: $\Delta b = 0.05$ см.
Относительная погрешность измерения диаметра $\delta_b$ равна:
$\delta_b = \frac{\Delta b}{|b|} = \frac{0.05}{3.1} \approx 0.016129...$
В процентах это составляет: $0.016129... \times 100\% \approx 1.61\%$.

Ответ: относительная погрешность измерения длины $a$ составляет примерно $0.56\%$; относительная погрешность измерения диаметра $b$ составляет примерно $1.61\%$.

Определите, в каком случае качество измерения выше

Качество измерения выше в том случае, где относительная погрешность меньше.
Сравним полученные относительные погрешности:
$\delta_a \approx 0.56\%$
$\delta_b \approx 1.61\%$
Так как $0.56\% < 1.61\%$, то относительная погрешность измерения длины $a$ меньше относительной погрешности измерения диаметра $b$.
Следовательно, измерение длины было выполнено качественнее.

Ответ: качество измерения длины $a$ выше.

13. К сахарному сиропу, содержащему 250 г сахара, добавили 100 г воды. После этого концентрация сиропа уменьшилась на 12,5 %. Сколько воды содержал сироп первоначально и какова была его концентрация?

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Пусть сироп содержал первоначально $x$ г воды, а его концентрация, равная .........., составляла $y$ %, т. е. $\frac{y}{100}$.

Следовательно, .......... (1)

После добавления 100 г воды концентрация сиропа стала равной ............, что на 12,5 % меньше первоначальной концентрации. Отсюда .......... (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему:

Решение. Пусть сироп содержал первоначально $x$ г воды, а его концентрация, равная отношению массы сахара к общей массе сиропа, составляла $y$ %, т. е. $\frac{y}{100}$.

Первоначальная масса сиропа равна $250+x$ г. Концентрация (массовая доля сахара) выражается формулой: $$ \frac{\text{масса сахара}}{\text{масса сиропа}} = \frac{250}{250+x} $$

Следовательно, получаем первое уравнение: $$ \frac{y}{100} = \frac{250}{250+x} \quad (1) $$

После добавления 100 г воды, масса воды в сиропе стала $x+100$ г, а общая масса сиропа стала $250 + (x+100) = 350+x$ г. Новая концентрация сиропа стала равной $\frac{250}{350+x}$. По условию, она на 12,5 % меньше первоначальной, то есть равна $(y - 12.5)$ %. Отсюда получаем второе уравнение: $$ \frac{y - 12.5}{100} = \frac{250}{350+x} \quad (2) $$

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим ее: $$ \begin{cases} \frac{y}{100} = \frac{250}{250+x} \\ \frac{y - 12.5}{100} = \frac{250}{350+x} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $$ y = \frac{25000}{250+x} $$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение: $$ \frac{\frac{25000}{250+x} - 12.5}{100} = \frac{250}{350+x} $$

Умножим обе части уравнения на 100 и приведем левую часть к общему знаменателю: $$ \frac{25000 - 12.5(250+x)}{250+x} = \frac{25000}{350+x} $$ $$ \frac{25000 - 3125 - 12.5x}{250+x} = \frac{25000}{350+x} $$ $$ \frac{21875 - 12.5x}{250+x} = \frac{25000}{350+x} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $$ (21875 - 12.5x)(350+x) = 25000(250+x) $$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 12.5: $$ (1750 - x)(350+x) = 2000(250+x) $$

Раскроем скобки: $$ 1750 \cdot 350 + 1750x - 350x - x^2 = 2000 \cdot 250 + 2000x $$ $$ 612500 + 1400x - x^2 = 500000 + 2000x $$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $$ x^2 + 2000x - 1400x + 500000 - 612500 = 0 $$ $$ x^2 + 600x - 112500 = 0 $$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = 600^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-112500) = 360000 + 450000 = 810000 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{810000} = 900 $$ $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-600 + 900}{2} = \frac{300}{2} = 150 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-600 - 900}{2} = \frac{-1500}{2} = -750 $$

Так как масса воды ($x$) не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $x = 150$. Таким образом, первоначально сироп содержал 150 г воды.

Теперь найдем первоначальную концентрацию $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение: $$ y = \frac{25000}{250+x} = \frac{25000}{250+150} = \frac{25000}{400} = \frac{250}{4} = 62.5 $$

Ответ: первоначально сироп содержал 150 г воды, а его концентрация была 62.5 %.