Страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Между какими целыми числами заключено число $ \frac{127}{13} $?

Ответ запишите в виде двойного неравенства.

1) 8 и 9;

2) 9 и 10;

3) 10 и 11;

4) 11 и 12.

Ответ: ............................

Чтобы определить, между какими целыми числами находится дробь $\frac{127}{13}$, необходимо преобразовать эту неправильную дробь в смешанное число или оценить ее значение.

Для этого выполним деление числителя 127 на знаменатель 13. Можно сделать это подбором, умножая 13 на целые числа:

$13 \times 9 = 117$

$13 \times 10 = 130$

Число 127 находится между 117 и 130. Таким образом, мы можем записать двойное неравенство:

$117 < 127 < 130$

Теперь разделим все части этого неравенства на 13:

$\frac{117}{13} < \frac{127}{13} < \frac{130}{13}$

Выполнив деление, получим:

$9 < \frac{127}{13} < 10$

Следовательно, число $\frac{127}{13}$ заключено между целыми числами 9 и 10.

Альтернативный способ — выделить целую часть из дроби. При делении 127 на 13 с остатком, мы получаем 9 в качестве целой части и остаток $127 - 117 = 10$. Таким образом, дробь можно представить в виде смешанного числа:

$\frac{127}{13} = 9\frac{10}{13}$

Число $9\frac{10}{13}$ больше 9, но меньше 10, что подтверждает наш вывод.

Среди предложенных вариантов ответа этому результату соответствует вариант 2) 9 и 10.

Ответ: $9 < \frac{127}{13} < 10$

2. Какое из следующих чисел заключено между числами $\frac{14}{13}$ и $\frac{21}{17}$? Ответ запишите в виде двойного неравенства.

1) 1;

2) 1,1;

3) 1,2;

4) 1,3.

Ответ: ...................

Чтобы определить, какое из предложенных чисел заключено между дробями $ \frac{14}{13} $ и $ \frac{21}{17} $, удобнее всего представить эти дроби в виде десятичных чисел.

1. Вычислим приближенное значение первой дроби, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{14}{13} = 14 \div 13 \approx 1.0769... $

2. Вычислим приближенное значение второй дроби:

$ \frac{21}{17} = 21 \div 17 \approx 1.2352... $

Теперь нам нужно найти число из предложенных вариантов, которое находится в интервале от $ \approx 1.077 $ до $ \approx 1.235 $. Проверим каждый из вариантов.

1) 1

Число 1 меньше, чем $ \frac{14}{13} \approx 1.077 $, поэтому оно не находится между заданными числами.

2) 1,1

Проверим, выполняется ли неравенство $ 1.077 < 1.1 < 1.235 $. Да, это верно. Следовательно, число 1,1 находится между $ \frac{14}{13} $ и $ \frac{21}{17} $.

3) 1,2

Проверим, выполняется ли неравенство $ 1.077 < 1.2 < 1.235 $. Да, это также верно. Следовательно, число 1,2 тоже находится между $ \frac{14}{13} $ и $ \frac{21}{17} $.

4) 1,3

Число 1,3 больше, чем $ \frac{21}{17} \approx 1.235 $, поэтому оно не находится между заданными числами.

Мы видим, что оба числа, 1,1 и 1,2, удовлетворяют условию задачи. В таких случаях, когда в тесте с выбором одного ответа подходят несколько вариантов, это может указывать на опечатку в условии. Однако, если необходимо дать один ответ, можно выбрать любой из подходящих. Выберем, например, число 1,2.

Запишем итоговый ответ в виде двойного неравенства, как того требует условие.

Ответ: $ \frac{14}{13} < 1,2 < \frac{21}{17} $

3. Одно из чисел $\sqrt{41}, \sqrt{47}, \sqrt{53}, \sqrt{62}$ отмечено на координатной прямой точкой А. Какое это число?

1) $\sqrt{41}$; 2) $\sqrt{47}$; 3) $\sqrt{53}$; 4) $\sqrt{62}$.

Ответ:

Чтобы определить, какое из чисел соответствует точке А, необходимо оценить её положение на координатной прямой.

Из рисунка видно, что точка А расположена между целыми числами 7 и 8. Следовательно, искомое число $x$ удовлетворяет неравенству $7 < x < 8$.

Чтобы сравнить иррациональные числа в предложенных вариантах с числами 7 и 8, представим последние в виде квадратных корней: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$ и $8 = \sqrt{8^2} = \sqrt{64}$.

Таким образом, неравенство для искомого числа можно записать как $\sqrt{49} < x < \sqrt{64}$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $\sqrt{41}$: Поскольку $41 < 49$, то $\sqrt{41} < \sqrt{49}$, что означает $\sqrt{41} < 7$. Этот вариант не подходит, так как число находится левее 7.

2) $\sqrt{47}$: Поскольку $47 < 49$, то $\sqrt{47} < \sqrt{49}$, что означает $\sqrt{47} < 7$. Этот вариант также не подходит.

3) $\sqrt{53}$: Поскольку $49 < 53 < 64$, то $\sqrt{49} < \sqrt{53} < \sqrt{64}$, что означает $7 < \sqrt{53} < 8$. Этот вариант является возможным решением.

4) $\sqrt{62}$: Поскольку $49 < 62 < 64$, то $\sqrt{49} < \sqrt{62} < \sqrt{64}$, что означает $7 < \sqrt{62} < 8$. Этот вариант также является возможным решением.

Мы получили два подходящих варианта: $\sqrt{53}$ и $\sqrt{62}$. Для окончательного выбора уточним положение точки А. На рисунке точка А находится ближе к 7, чем к 8. Это значит, что она расположена в левой половине отрезка [7, 8].

Найдем середину этого отрезка — число 7,5. Чтобы сравнить с ним наши числа, возведем 7,5 в квадрат: $7,5^2 = 56,25$. Середине отрезка соответствует число $\sqrt{56,25}$.

Поскольку точка А левее середины, искомое число должно быть меньше $\sqrt{56,25}$.

Сравним два оставшихся варианта с числом $\sqrt{56,25}$.

Число $\sqrt{53}$ меньше, чем $\sqrt{56,25}$ (поскольку $53 < 56,25$). Это означает, что $\sqrt{53}$ находится на координатной прямой левее середины отрезка [7, 8], то есть ближе к 7.

Число $\sqrt{62}$ больше, чем $\sqrt{56,25}$ (поскольку $62 > 56,25$). Это означает, что $\sqrt{62}$ находится правее середины отрезка [7, 8], то есть ближе к 8.

Положение точки А на рисунке (ближе к 7) соответствует числу $\sqrt{53}$.

Ответ: $\sqrt{53}$.

4. На координатной прямой точки A, B, C и D соответствуют числам $0,1201$; $-0,0131$; $-0,0122$; $-0,132$.

Какой точке соответствует число $-0,0131$?

1) A; 2) B; 3) C; 4) D.

Ответ:

Для решения задачи необходимо расположить предложенные числа в порядке возрастания и сопоставить их с точками A, B, C и D на координатной прямой, которые также идут в порядке возрастания своих координат (слева направо).

Даны числа: $0,1201$; $-0,0131$; $-0,0122$; $-0,132$.

Сначала сравним отрицательные числа: $-0,0131$, $-0,0122$ и $-0,132$. Известно, что из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Сравним их модули:
$|-0,132| = 0,132$
$|-0,0131| = 0,0131$
$|-0,0122| = 0,0122$
Поскольку $0,0122 < 0,0131 < 0,132$, то для самих отрицательных чисел получаем обратный порядок: $-0,132 < -0,0131 < -0,0122$.

Единственное положительное число $0,1201$ будет самым большим в этом наборе, так как любое положительное число больше любого отрицательного.

Таким образом, полный упорядоченный ряд чисел выглядит так:
$-0,132 < -0,0131 < -0,0122 < 0,1201$.

Теперь сопоставим этот ряд с точками A, B, C, D, расположенными на прямой слева направо:
A $ \leftrightarrow -0,132 $
B $ \leftrightarrow -0,0131 $
C $ \leftrightarrow -0,0122 $
D $ \leftrightarrow 0,1201 $

Из сопоставления видно, что числу $-0,0131$ соответствует точка B.

Ответ: 2) B.

4. Удвоенное произведение двух чисел равно 60. Найдите эти числа, если известно, что одно из них на 13 больше другого.

Решение.

....................

....................

....................

. Ответ:

....................

Решение:

Пусть одно из чисел равно $x$. Поскольку второе число на 13 больше, оно будет равно $x + 13$.

По условию задачи, удвоенное произведение этих двух чисел равно 60. Составим и решим уравнение:

$2 \cdot x \cdot (x + 13) = 60$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$x(x + 13) = 30$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 13x = 30$
$x^2 + 13x - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a=1$, $b=13$, $c=-30$.

$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 169 + 120 = 289$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 + 17}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 - 17}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Теперь найдем второе число для каждого из найденных значений $x$:

1. Если первое число $x_1 = 2$, то второе число равно $2 + 13 = 15$.
Проверка: $2 \cdot (2 \cdot 15) = 2 \cdot 30 = 60$. Решение верное.

2. Если первое число $x_2 = -15$, то второе число равно $-15 + 13 = -2$.
Проверка: $2 \cdot (-15 \cdot -2) = 2 \cdot 30 = 60$. Решение также верное.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: 2 и 15; или -15 и -2.

5. Сумма квадратов двух отрицательных чисел равна 185, а разность их квадратов равна 57. Найдите эти числа.

(1) Ответы .........................

Решение. .........................

отн 8 ,Р .....................

атч дээв ян ептятче тондзпеоося йлядаП .....................

БВ .Я .Г ,НМ АО ЕЬ КМЕДА ЗОВДОП МОТЯ NQI ", .....................

другой. Их совместной работе они за 3 х может вывести 8 ..................

этого задания. За какое время каждый рабочий может выпол- ..................

нить задание ...................

(S) ...................

Равеннкие, 99 мнитэц й умэтонэ миатсоо (S) и (I) йинонядq ён- .....................

Ответ: ..............................

Решение.

Пусть $x$ и $y$ — два искомых отрицательных числа.

Согласно условию, сумма их квадратов равна 185. Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 + y^2 = 185$

Также по условию, разность их квадратов равна 57. Это можно записать как:

$x^2 - y^2 = 57$

(Мы предполагаем, что $|x| > |y|$, поэтому $x^2 > y^2$. Если бы было наоборот, результат для набора чисел был бы тем же).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 185 \\ x^2 - y^2 = 57 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $x^2$:

$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 185 + 57$

$2x^2 = 242$

$x^2 = \frac{242}{2}$

$x^2 = 121$

Теперь подставим значение $x^2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y^2$:

$121 + y^2 = 185$

$y^2 = 185 - 121$

$y^2 = 64$

Мы нашли квадраты чисел. Теперь найдем сами числа $x$ и $y$.

Из $x^2 = 121$ следует, что $x = 11$ или $x = -11$.

Из $y^2 = 64$ следует, что $y = 8$ или $y = -8$.

По условию задачи оба числа являются отрицательными. Следовательно, мы должны выбрать отрицательные корни:

$x = -11$ и $y = -8$.

Проверим найденные значения:

Сумма квадратов: $(-11)^2 + (-8)^2 = 121 + 64 = 185$.

Разность квадратов: $(-11)^2 - (-8)^2 = 121 - 64 = 57$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: -11 и -8.

6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39 см. Найдите площадь треугольника, если известно, что один из его катетов на 21 см больше другого.

Решение.

Ответ:

Решение.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $x$ см. Согласно условию, другой катет на 21 см больше, значит, его длина составляет $(x + 21)$ см. Длина гипотенузы равна 39 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$):

$x^2 + (x + 21)^2 = 39^2$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$x^2 + (x^2 + 42x + 441) = 1521$

$2x^2 + 42x + 441 - 1521 = 0$

$2x^2 + 42x - 1080 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 21x - 540 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-21 + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-21 + 51}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-21 - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-21 - 51}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательной, выбираем корень $x = 15$. Таким образом, длина одного катета равна 15 см.

Длина второго катета: $15 + 21 = 36$ см.

Теперь найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 36$

$S = 15 \cdot 18 = 270$ см².

Ответ: 270 см².