Страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Какому из данных промежутков принадлежит число $\frac{3}{7}$?

1) $[0,1; 0,2]$; 2) $[0,2; 0,3]$; 3) $[0,3; 0,4]$; 4) $[0,4; 0,5]$.

Запишите ответ, используя знак $\in$.

Ответ: ........................

Для того чтобы определить, какому из предложенных промежутков принадлежит число $\frac{3}{7}$, необходимо представить эту дробь в виде десятичного числа. Для этого выполним деление числителя на знаменатель:

$3 \div 7 = 0,428571...$

Округлим полученное число до тысячных для удобства сравнения: $0,429$.

Теперь проверим, в какой из данных промежутков попадает это значение.

1) [0,1; 0,2]: Проверяем неравенство $0,1 \le 0,429 \le 0,2$. Неравенство неверно, так как $0,429 > 0,2$.

2) [0,2; 0,3]: Проверяем неравенство $0,2 \le 0,429 \le 0,3$. Неравенство неверно, так как $0,429 > 0,3$.

3) [0,3; 0,4]: Проверяем неравенство $0,3 \le 0,429 \le 0,4$. Неравенство неверно, так как $0,429 > 0,4$.

4) [0,4; 0,5]: Проверяем неравенство $0,4 \le 0,429 \le 0,5$. Неравенство верно.

Следовательно, число $\frac{3}{7}$ принадлежит промежутку $[0,4; 0,5]$.

Ответ: $\frac{3}{7} \in [0,4; 0,5]$.

2. Какое из данных чисел принадлежит промежутку [7; 8]?

1) $\sqrt{7}$;

2) $\sqrt{8}$;

3) $\sqrt{50}$;

4) $\sqrt{65}$.

Запишите ответ, используя знак $\in$.

Ответ: ..............................

Чтобы определить, какое из данных чисел принадлежит промежутку $[7; 8]$, мы можем сравнить квадраты этих чисел с квадратами границ промежутка. Если число $x$ принадлежит промежутку $[7; 8]$, то его квадрат $x^2$ должен принадлежать промежутку $[7^2; 8^2]$.

Вычислим квадраты границ промежутка:

$7^2 = 49$

$8^2 = 64$

Следовательно, нам нужно найти число, квадрат которого находится в промежутке $[49; 64]$. Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $\sqrt{7}$;
Возведем число в квадрат: $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Число $7$ не входит в промежуток $[49; 64]$, так как $7 < 49$. Значит, $\sqrt{7}$ не принадлежит промежутку $[7; 8]$.

2) $\sqrt{8}$;
Возведем число в квадрат: $(\sqrt{8})^2 = 8$.
Число $8$ не входит в промежуток $[49; 64]$, так как $8 < 49$. Значит, $\sqrt{8}$ не принадлежит промежутку $[7; 8]$.

3) $\sqrt{50}$;
Возведем число в квадрат: $(\sqrt{50})^2 = 50$.
Число $50$ входит в промежуток $[49; 64]$, так как выполняется двойное неравенство $49 < 50 < 64$. Следовательно, число $\sqrt{50}$ принадлежит промежутку $[7; 8]$.

4) $\sqrt{65}$.
Возведем число в квадрат: $(\sqrt{65})^2 = 65$.
Число $65$ не входит в промежуток $[49; 64]$, так как $65 > 64$. Значит, $\sqrt{65}$ не принадлежит промежутку $[7; 8]$.

Таким образом, единственное число из предложенных, которое принадлежит заданному промежутку, это $\sqrt{50}$.

Ответ: $\sqrt{50} \in [7; 8]$.

3. Запишите:

a) десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,3 и $\frac{1}{3}$;

б) несколько иррациональных чисел, заключённых между числами 0,4 и $\frac{1}{2}$.

а) десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,3 и 1/3;

Для решения этой задачи представим оба числа в виде десятичных дробей. Число $0,3$ уже находится в этом формате. Дробь $\frac{1}{3}$ переведем в десятичную, разделив 1 на 3: $ \frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,3333... = 0,(3) $

Нам нужно найти десять рациональных чисел, которые находятся в интервале между $0,3$ и $0,(3)$. Запишем $0,3$ как $0,3000$. Это не изменит значение числа. Теперь нам нужно найти числа $x$, удовлетворяющие неравенству $0,3000 < x < 0,3333...$ Такими числами могут быть, например, конечные десятичные дроби, которые начинаются с $0,3$ и имеют следующие цифры, которые делают число больше $0,3$, но меньше $0,(3)$.

Примеры таких чисел: $0,301; 0,302; 0,303; 0,304; 0,305; 0,306; 0,307; 0,308; 0,309; 0,310$.

Все перечисленные числа являются конечными десятичными дробями, а значит, рациональны. Каждое из них больше $0,3$ и меньше $\frac{1}{3}$.

Ответ: $0,301; 0,302; 0,303; 0,304; 0,305; 0,306; 0,307; 0,308; 0,309; 0,310$.

б) несколько иррациональных чисел, заключённых между числами 0,4 и 1/2.

Сначала представим оба числа в виде десятичных дробей. $0,4$ уже представлено в этом виде. $\frac{1}{2} = 0,5$.

Нам нужно найти несколько иррациональных чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $0,4 < x < 0,5$. Иррациональное число — это число, десятичное представление которого является бесконечным и непериодическим. Один из способов найти такие числа — использовать квадратные корни.

Возведем все части неравенства $0,4 < x < 0,5$ в квадрат: $0,4^2 < x^2 < 0,5^2$ $0,16 < x^2 < 0,25$

Теперь мы можем выбрать любое число в интервале $(0,16; 0,25)$, которое не является полным квадратом рационального числа. Корень из такого числа будет иррациональным и будет находиться в искомом интервале $(0,4; 0,5)$. Возьмем, к примеру, числа $0,17$, $0,19$ и $0,22$. Они все находятся между $0,16$ и $0,25$. Тогда числа $\sqrt{0,17}$, $\sqrt{0,19}$ и $\sqrt{0,22}$ будут иррациональными и заключенными между $0,4$ и $0,5$.

Другой способ — сконструировать число с бесконечной непериодической десятичной частью, например: $0,4121121112...$ или $0,4505505550...$. Эти числа также являются иррациональными и находятся в заданном диапазоне.

Ответ: $\sqrt{0,17}$, $\sqrt{0,19}$, $\sqrt{0,22}$.

1. Не решая систему уравнений, выясните, имеет ли система ре-

шения, и если имеет, то сколько:

a) $\begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2.5x + y = 6 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2.5x + y = 1.5 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases}$

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

Ответ:

a) ........................

б) ........................

в) ........................

г) ........................

а) Для системы уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ количество решений можно определить, сравнив отношения коэффициентов. В данной системе $ \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases} $ коэффициенты равны: $a_1 = 5$, $b_1 = 2$, $a_2 = 2$, $b_2 = 5$.

Сравним отношение коэффициентов при $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{5}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (так как $\frac{5}{2} \neq \frac{2}{5}$), угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками уравнений, различны. Это означает, что прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.
Ответ: одно решение.

б) Рассмотрим систему $ \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2,5x + y = 6 \end{cases} $. Здесь коэффициенты: $a_1 = 5$, $b_1 = 2$, $c_1 = 3$ и $a_2 = 2,5$, $b_2 = 1$, $c_2 = 6$.

Найдем отношения коэффициентов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2,5} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Мы видим, что выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (так как $2 = 2 \neq \frac{1}{2}$). Это означает, что графики уравнений — это параллельные прямые, которые не совпадают. Такие прямые никогда не пересекаются.
Ответ: нет решений.

в) Рассмотрим систему $ \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2,5x + y = 1,5 \end{cases} $. Здесь коэффициенты: $a_1 = 5$, $b_1 = 2$, $c_1 = 3$ и $a_2 = 2,5$, $b_2 = 1$, $c_2 = 1,5$.

Найдем отношения коэффициентов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2,5} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{1,5} = 2$

В данном случае выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (так как $2 = 2 = 2$). Это означает, что второе уравнение можно получить из первого путем деления всех его членов на 2. Графики этих уравнений — это одна и та же прямая. Следовательно, любая точка этой прямой является решением.
Ответ: бесконечно много решений.

г) Рассмотрим систему $ \begin{cases} 5x = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases} $. Перепишем ее в стандартном виде: $ \begin{cases} 5x + 0y = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases} $. Коэффициенты: $a_1 = 5$, $b_1 = 0$, $a_2 = 2$, $b_2 = 5$.

Сравним отношение коэффициентов при $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{0}{5} = 0$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (так как $\frac{5}{2} \neq 0$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Первое уравнение $x=3/5$ задает вертикальную прямую, а второе - наклонную. Эти прямые не параллельны и обязательно пересекутся.
Ответ: одно решение.