Страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам: $4\frac{2}{3}$; $-\sqrt{6}$; $-1.8$; $\sqrt{29}$; $1\frac{17}{18}$; $0$; $1.5 + \sqrt{3}$; $\sqrt{5} - 2.5$.

.........................

Для того чтобы отметить заданные точки на координатной прямой, необходимо сначала вычислить их приблизительные десятичные значения. На координатной прямой, представленной на изображении, расстояние между отметками 0 и 1 равно двум делениям (клеткам), следовательно, одно деление соответствует $0,5$.

Проведем оценку и вычисление для каждого числа:

1. $4\frac{2}{3}$: Переведем смешанное число в десятичную дробь. $4\frac{2}{3} = 4 + \frac{2}{3} \approx 4 + 0,667 = 4,667$. Эта точка находится между $4,5$ и $5$, ближе к $4,5$.

2. $-\sqrt{6}$: Оценим значение $\sqrt{6}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Для более точной оценки: $2,4^2 = 5,76$, а $2,5^2 = 6,25$. Таким образом, $\sqrt{6} \approx 2,45$. Следовательно, $-\sqrt{6} \approx -2,45$. Эта точка находится между $-2,5$ и $-2$, очень близко к $-2,5$.

3. $-1,8$: Это десятичная дробь. Точка находится между $-1,5$ и $-2$, ближе к $-2$.

4. $\sqrt{29}$: Оценим значение $\sqrt{29}$. Мы знаем, что $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$. Для более точной оценки: $5,3^2=28,09$, а $5,4^2=29,16$. Значит, $\sqrt{29} \approx 5,38$. Эта точка находится между $5$ и $5,5$, ближе к $5,5$.

5. $1\frac{17}{18}$: Переведем в десятичную дробь. $1\frac{17}{18} = 1 + \frac{17}{18} \approx 1 + 0,944 = 1,944$. Эта точка находится очень близко к $2$, но немного левее.

6. $0$: Эта точка соответствует началу координат.

7. $1,5 + \sqrt{3}$: Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1,732$. Тогда $1,5 + \sqrt{3} \approx 1,5 + 1,732 = 3,232$. Эта точка находится между $3$ и $3,5$, ближе к $3$.

8. $\sqrt{5} - 2,5$: Мы знаем, что $\sqrt{5} \approx 2,236$. Тогда $\sqrt{5} - 2,5 \approx 2,236 - 2,5 = -0,264$. Эта точка находится между $0$ и $-0,5$, примерно посередине.

Расположив точки на координатной прямой в порядке возрастания (слева направо), получим следующую последовательность и их приблизительные значения:
$-\sqrt{6} \approx -2,45$
$-1,8$
$\sqrt{5} - 2,5 \approx -0,264$
$0$
$1\frac{17}{18} \approx 1,944$
$1,5 + \sqrt{3} \approx 3,232$
$4\frac{2}{3} \approx 4,667$
$\sqrt{29} \approx 5,38$

Ответ: Точки располагаются на координатной прямой в следующем порядке слева направо: $-\sqrt{6}$; $-1,8$; $\sqrt{5}-2,5$; $0$; $1\frac{17}{18}$; $1,5+\sqrt{3}$; $4\frac{2}{3}$; $\sqrt{29}$. Их положение определяется на основе вычисленных приближенных значений: $-2,45$; $-1,8$; $-0,264$; $0$; $1,944$; $3,232$; $4,667$; $5,38$ соответственно.

12. Запишите с помощью знака $\subset$ соотношение между множествами:

а) $N$ и $Z$

б) $N$ и $R$

в) $Q$ и $Z$

г) $N$ и $Q$

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения числовых множеств и что означает знак $\subset$ (является собственным подмножеством). Если множество A является собственным подмножеством множества B, что записывается как $A \subset B$, это значит, что все элементы множества A также являются элементами множества B, но при этом в множестве B есть хотя бы один элемент, который не принадлежит множеству A.

Вспомним определения множеств: $N$ — множество натуральных чисел (числа, используемые для счёта: $\{1, 2, 3, \ldots\}$); $Z$ — множество целых чисел: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$; $Q$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in Z$, $n \in N$); $R$ — множество действительных (вещественных) чисел (все рациональные и иррациональные числа).

а) N и Z

Множество натуральных чисел $N$ состоит из чисел $1, 2, 3, \ldots$ . Множество целых чисел $Z$ состоит из натуральных чисел, противоположных им чисел и нуля: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ . Любое натуральное число является также и целым числом. Например, число 5 принадлежит как множеству $N$, так и множеству $Z$. Однако, в множестве $Z$ есть числа, которые не являются натуральными, например, $0$ или $-3$. Это означает, что множество $N$ является частью множества $Z$, но не совпадает с ним. Следовательно, $N$ является собственным подмножеством $Z$.

Ответ: $N \subset Z$

б) N и R

Множество натуральных чисел $N$ — это $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все числа на числовой прямой. Каждое натуральное число является и действительным. Но в множестве $R$ есть множество других чисел, не являющихся натуральными, например, дроби ($\frac{1}{2}$), отрицательные целые ($-5$) или иррациональные числа ($\sqrt{2}$, $\pi$). Таким образом, множество $N$ полностью входит в состав множества $R$, но не исчерпывает его. Следовательно, $N$ является собственным подмножеством $R$.

Ответ: $N \subset R$

в) Q и Z

Множество рациональных чисел $Q$ включает все числа, которые можно записать в виде дроби. Множество целых чисел $Z$ включает числа $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ . Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (например, $4 = \frac{4}{1}$), значит, любое целое число является рациональным. Таким образом, всё множество $Z$ является частью множества $Q$. Однако, в множестве $Q$ есть числа, которые не являются целыми, например, $\frac{1}{2}$ или $-3.14$. Это означает, что множество $Z$ является собственным подмножеством $Q$.

Ответ: $Z \subset Q$

г) N и Q

Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \ldots\}$. Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, которые можно представить в виде дроби. Любое натуральное число $n$ можно записать как дробь $\frac{n}{1}$, поэтому все натуральные числа являются рациональными. При этом в множестве $Q$ есть числа, не являющиеся натуральными, например, $0$, $-7$, $\frac{3}{4}$. Следовательно, множество $N$ является собственным подмножеством множества $Q$.

Ответ: $N \subset Q$

13. Укажите три значения переменной $x$, при которых число $\sqrt{x}$ является рациональным, и три значения, при которых это число является иррациональным:

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

при $x = $ ............ $\sqrt{x} = $ ............ – число ............ ;

Задача состоит в том, чтобы указать три значения переменной $x$, при которых число $\sqrt{x}$ является рациональным, и три значения, при которых это число является иррациональным.

Для начала вспомним основные определения:

• Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (например: $5 = \frac{5}{1}$, $0.25 = \frac{1}{4}$).
• Иррациональное число — это вещественное число, которое нельзя представить в виде такой дроби. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим (например: $\pi$, $\sqrt{2}$).

Три значения $x$, при которых $\sqrt{x}$ является рациональным числом

Чтобы число $\sqrt{x}$ было рациональным, подкоренное выражение $x$ должно быть полным квадратом рационального числа. Самый простой способ — выбрать в качестве $x$ числа, которые являются квадратами целых чисел (так называемые точные квадраты).

при x = 4:
$\sqrt{x} = \sqrt{4} = 2$. Число 2 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{2}{1}$.
Ответ: при $x=4$, $\sqrt{x} = 2$ – число рациональное.

при x = 9:
$\sqrt{x} = \sqrt{9} = 3$. Число 3 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{3}{1}$.
Ответ: при $x=9$, $\sqrt{x} = 3$ – число рациональное.

при x = 25:
$\sqrt{x} = \sqrt{25} = 5$. Число 5 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{5}{1}$.
Ответ: при $x=25$, $\sqrt{x} = 5$ – число рациональное.

Три значения $x$, при которых $\sqrt{x}$ является иррациональным числом

Чтобы число $\sqrt{x}$ было иррациональным, положительное число $x$ не должно являться полным квадратом рационального числа. Мы можем выбрать любое положительное целое число, которое не является точным квадратом.

при x = 2:
$\sqrt{x} = \sqrt{2}$. Число 2 не является точным квадратом, поэтому $\sqrt{2}$ — иррациональное число.
Ответ: при $x=2$, $\sqrt{x} = \sqrt{2}$ – число иррациональное.

при x = 3:
$\sqrt{x} = \sqrt{3}$. Число 3 не является точным квадратом, поэтому $\sqrt{3}$ — иррациональное число.
Ответ: при $x=3$, $\sqrt{x} = \sqrt{3}$ – число иррациональное.

при x = 5:
$\sqrt{x} = \sqrt{5}$. Число 5 не является точным квадратом, поэтому $\sqrt{5}$ — иррациональное число.
Ответ: при $x=5$, $\sqrt{x} = \sqrt{5}$ – число иррациональное.

1. Сумма двух чисел равна 15, а их удвоенное произведение равно 108. Найдите эти числа. Закончите решение задачи.

Решение.

Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их сумма равна $x+y$, что по условию равно 15. Следовательно, $x+y = 15$ (1)

Удвоенное произведение этих чисел равно $2xy$, что по условию задачи равно 108. Следовательно, $2xy = 108$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} x+y=15 \\ 2xy=108 \end{cases} $

Ответ:

Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их сумма равна $x + y$, что по условию равно 15. Следовательно,

$x + y = 15$ (1)

Удвоенное произведение этих чисел равно $2xy$, что по условию задачи равно 108. Следовательно,

$2xy = 108$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} x + y = 15, \\ 2xy = 108. \end{cases} $

Из первого уравнения системы выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 15 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x(15 - x) = 108$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$x(15 - x) = 54$

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$15x - x^2 = 54$

$-x^2 + 15x - 54 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$x^2 - 15x + 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней уравнения равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 15, а их произведение равно свободному члену, то есть 54.

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$, так как $6 + 9 = 15$ и $6 \cdot 9 = 54$.

Теперь найдём соответствующие значения для $y$:

1. Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 15 - 6 = 9$.

2. Если $x_2 = 9$, то $y_2 = 15 - 9 = 6$.

В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару чисел.

Ответ: 6 и 9.