Страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. В каких границах заключено число p, если:

а) $p = 3.8 \pm 0.1$; б) $p = 1.72 \pm 0.13$?

Ответ:

а) ......................... б) ...........................

а) Запись вида $p = a \pm h$ означает, что значение $p$ находится в интервале от $a-h$ до $a+h$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $a-h \le p \le a+h$.

В данном случае $p = 3,8 \pm 0,1$.

Найдем нижнюю границу интервала:

$3,8 - 0,1 = 3,7$

Найдем верхнюю границу интервала:

$3,8 + 0,1 = 3,9$

Таким образом, число $p$ заключено в границах от 3,7 до 3,9.

Ответ: $3,7 \le p \le 3,9$

б) Аналогично для $p = 1,72 \pm 0,13$.

Найдем нижнюю границу интервала:

$1,72 - 0,13 = 1,59$

Найдем верхнюю границу интервала:

$1,72 + 0,13 = 1,85$

Таким образом, число $p$ заключено в границах от 1,59 до 1,85.

Ответ: $1,59 \le p \le 1,85$

2. Округлите число 26,273:

а) до единиц; б) до десятых; в) до сотых

и найдите абсолютную погрешность $\alpha$ каждого из приближённых значений:

а) 26,273 $\approx$ ..................., $\alpha$ = ...................;

б) 26,273 $\approx$ ..................., $\alpha$ = ...................;

в) 26,273 $\approx$ ..................., $\alpha$ = ...................

а) Чтобы округлить число 26,273 до единиц, нужно посмотреть на цифру в следующем разряде (десятых). Это цифра 2. Поскольку $2 < 5$, мы отбрасываем дробную часть, оставляя целую часть без изменений.
Приближенное значение: $26,273 \approx 26$.
Абсолютная погрешность $\alpha$ вычисляется как модуль разности между точным и приближенным значениями:
$\alpha = |26,273 - 26| = 0,273$.
Ответ: $26,273 \approx 26$, $\alpha = 0,273$.

б) Чтобы округлить число 26,273 до десятых, нужно посмотреть на цифру в следующем разряде (сотых). Это цифра 7. Поскольку $7 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде десятых на единицу ($2+1=3$) и отбрасываем последующие разряды.
Приближенное значение: $26,273 \approx 26,3$.
Найдем абсолютную погрешность:
$\alpha = |26,273 - 26,3| = |-0,027| = 0,027$.
Ответ: $26,273 \approx 26,3$, $\alpha = 0,027$.

в) Чтобы округлить число 26,273 до сотых, нужно посмотреть на цифру в следующем разряде (тысячных). Это цифра 3. Поскольку $3 < 5$, мы оставляем цифру в разряде сотых без изменений и отбрасываем последующие разряды.
Приближенное значение: $26,273 \approx 26,27$.
Найдем абсолютную погрешность:
$\alpha = |26,273 - 26,27| = 0,003$.
Ответ: $26,273 \approx 26,27$, $\alpha = 0,003$.

3. При выполнении вычислений дробь $\frac{5}{17}$ заменили дробью 0,3.

Какова абсолютная погрешность этого приближения?

Ответ:

Какова абсолютная погрешность этого приближения?

Абсолютная погрешность вычисляется как модуль разности между точным значением и его приближенным значением.

В данном случае:

• Точное значение: $x = \frac{5}{17}$
• Приближенное значение: $a = 0,3$

Формула для вычисления абсолютной погрешности $(\Delta)$ имеет вид: $\Delta = |x - a|$

Подставим в формулу наши значения. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$. $\Delta = \left| \frac{5}{17} - \frac{3}{10} \right|$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $17$ и $10$ это их произведение: $17 \times 10 = 170$. $\Delta = \left| \frac{5 \cdot 10}{17 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 17}{10 \cdot 17} \right| = \left| \frac{50}{170} - \frac{51}{170} \right|$

Теперь выполним вычитание в числителе: $\Delta = \left| \frac{50 - 51}{170} \right| = \left| -\frac{1}{170} \right|$

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, поэтому: $\Delta = \frac{1}{170}$

Ответ: $\frac{1}{170}$

4. На рулоне обоев написано, что его длина (в метрах) равна $16 \\pm 0,3$. Укажите, в каких границах заключена длина рулона:

Может ли оказаться, что длина рулона равна:

а) 15,9 м;

б) 16,5 м?

Ответ:

а) .........................

б) .........................

Запись $16 \pm 0,3$ означает, что длина рулона $L$ может отклоняться от 16 метров не более чем на 0,3 метра в обе стороны. Чтобы найти границы, в которых заключена длина рулона, нужно найти минимально и максимально возможные значения.

Нижняя граница (минимальная длина): $16 - 0,3 = 15,7$ м.

Верхняя граница (максимальная длина): $16 + 0,3 = 16,3$ м.

Следовательно, длина рулона $L$ находится в границах от 15,7 м до 16,3 м включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства: $15,7 \le L \le 16,3$.

Теперь проверим, могут ли указанные значения быть длиной рулона.

а) Проверим, попадает ли значение 15,9 м в найденный промежуток $[15,7; 16,3]$. Так как неравенство $15,7 \le 15,9 \le 16,3$ является верным, то длина рулона может быть равна 15,9 м.
Ответ: да.

б) Проверим, попадает ли значение 16,5 м в найденный промежуток $[15,7; 16,3]$. Значение 16,5 м больше, чем верхняя граница возможной длины ($16,5 > 16,3$), поэтому длина рулона не может быть равна 16,5 м.
Ответ: нет.

12. Бассейн наполняется через первую трубу на 6 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала на 10 ч первую трубу, а затем на 3 ч вторую. За какое время наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Решение.

Пусть время, за которое первая труба наполняет бассейн, равно $x$ часов. Тогда ее производительность (часть бассейна, наполняемая за час) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию, первая труба наполняет бассейн на 6 часов быстрее, чем вторая, следовательно, второй трубе для наполнения бассейна требуется $(x+6)$ часов. Производительность второй трубы составляет $\frac{1}{x+6}$.

Объем всего бассейна примем за 1. Согласно условию, бассейн можно наполнить, если первая труба будет работать 10 часов, а затем вторая — 3 часа. Составим уравнение, исходя из того, что суммарная работа двух труб равна объему бассейна:

$10 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{x+6} = 1$

Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю и, учитывая, что $x>0$, приравняем числитель к знаменателю:

$10(x+6) + 3x = x(x+6)$

$10x + 60 + 3x = x^2 + 6x$

$13x + 60 = x^2 + 6x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 7x - 60 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$

$\sqrt{D} = 17$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{7 - 17}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, время наполнения бассейна первой трубой составляет 12 часов.

Время наполнения бассейна второй трубой: $x+6 = 12+6 = 18$ часов.

Теперь найдем время, за которое бассейн наполнится при совместной работе обеих труб. Совместная производительность равна сумме производительностей каждой трубы:

$P_{совм} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$ (часть бассейна в час)

Время $t$ для наполнения всего бассейна при совместной работе вычисляется по формуле $t = \frac{A}{P}$, где работа $A=1$:

$t = \frac{1}{P_{совм}} = \frac{1}{5/36} = \frac{36}{5} = 7,2$ часа.

7,2 часа — это 7 часов и $0,2 \cdot 60 = 12$ минут.

Ответ: 7,2 часа.