Номер 14, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Сколько целых чисел расположено между числами:

a) $-3\sqrt{2}$ и $\sqrt{38}$

б) $5\sqrt{3}$ и $7\sqrt{10}$

в) $-2\sqrt{3}$ и $-\frac{1}{2}\sqrt{150}$

г) $-\frac{3}{4}\sqrt{48}$ и $\frac{4}{5}\sqrt{125}$

a) $-3\sqrt{2}$ и $\sqrt{38}$

Чтобы найти количество целых чисел между заданными числами, необходимо оценить их значения. Для этого внесем множители под знак корня и сравним получившиеся подкоренные выражения с квадратами целых чисел.

Оценим первое число: $-3\sqrt{2} = -\sqrt{3^2 \cdot 2} = -\sqrt{9 \cdot 2} = -\sqrt{18}$.
Ближайшие квадраты целых чисел к 18 — это $16=4^2$ и $25=5^2$.
Поскольку $16 < 18 < 25$, то $\sqrt{16} < \sqrt{18} < \sqrt{25}$, откуда $4 < \sqrt{18} < 5$.
Следовательно, $-5 < -\sqrt{18} < -4$. Таким образом, число $-3\sqrt{2}$ находится на числовой прямой между -5 и -4.

Оценим второе число: $\sqrt{38}$.
Ближайшие квадраты целых чисел к 38 — это $36=6^2$ и $49=7^2$.
Поскольку $36 < 38 < 49$, то $\sqrt{36} < \sqrt{38} < \sqrt{49}$, откуда $6 < \sqrt{38} < 7$.

Мы ищем целые числа, которые больше $-3\sqrt{2}$ (числа между -5 и -4) и меньше $\sqrt{38}$ (числа между 6 и 7).
Это целые числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Чтобы посчитать их количество, можно из наибольшего целого вычесть наименьшее и прибавить 1: $6 - (-4) + 1 = 6 + 4 + 1 = 11$.
Ответ: 11.

б) $5\sqrt{3}$ и $7\sqrt{10}$

Аналогично предыдущему пункту, оценим значения чисел.

Оценим первое число: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
Поскольку $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$, имеем $64 < 75 < 81$.
Следовательно, $\sqrt{64} < \sqrt{75} < \sqrt{81}$, то есть $8 < 5\sqrt{3} < 9$.

Оценим второе число: $7\sqrt{10} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{490}$.
Найдем ближайшие квадраты: $22^2 = 484$ и $23^2 = 529$.
Поскольку $484 < 490 < 529$, то $\sqrt{484} < \sqrt{490} < \sqrt{529}$, то есть $22 < 7\sqrt{10} < 23$.

Мы ищем целые числа, которые больше $5\sqrt{3}$ (числа между 8 и 9) и меньше $7\sqrt{10}$ (числа между 22 и 23).
Это целые числа от 9 до 22 включительно.
Их количество: $22 - 9 + 1 = 14$.
Ответ: 14.

в) $-2\sqrt{3}$ и $-\frac{1}{2}\sqrt{150}$

Оценим значения отрицательных чисел.

Оценим первое число: $-2\sqrt{3} = -\sqrt{2^2 \cdot 3} = -\sqrt{12}$.
Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $9 < 12 < 16$.
Отсюда $3 < \sqrt{12} < 4$, и для отрицательных чисел $-4 < -\sqrt{12} < -3$.

Оценим второе число: $-\frac{1}{2}\sqrt{150} = -\sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 150} = -\sqrt{\frac{1}{4} \cdot 150} = -\sqrt{37.5}$.
Так как $6^2=36$ и $7^2=49$, то $36 < 37.5 < 49$.
Отсюда $6 < \sqrt{37.5} < 7$, и для отрицательных чисел $-7 < -\sqrt{37.5} < -6$.

Число $-\sqrt{37.5}$ меньше, чем $-\sqrt{12}$, поэтому мы ищем целые числа в интервале $(-\sqrt{37.5}, -\sqrt{12})$.
Это целые числа, которые больше числа, находящегося между -7 и -6, и меньше числа, находящегося между -4 и -3.
Это целые числа: -6, -5, -4.
Всего 3 числа.
Ответ: 3.

г) $-\frac{3}{4}\sqrt{48}$ и $\frac{4}{5}\sqrt{125}$

Оценим значения данных чисел.

Оценим первое число: $-\frac{3}{4}\sqrt{48} = -\sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot 48} = -\sqrt{\frac{9}{16} \cdot 48} = -\sqrt{9 \cdot \frac{48}{16}} = -\sqrt{9 \cdot 3} = -\sqrt{27}$.
Поскольку $5^2=25$ и $6^2=36$, то $25 < 27 < 36$.
Следовательно, $5 < \sqrt{27} < 6$, и для отрицательного числа $-6 < -\sqrt{27} < -5$.

Оценим второе число: $\frac{4}{5}\sqrt{125} = \sqrt{(\frac{4}{5})^2 \cdot 125} = \sqrt{\frac{16}{25} \cdot 125} = \sqrt{16 \cdot \frac{125}{25}} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.
Поскольку $8^2=64$ и $9^2=81$, то $64 < 80 < 81$.
Следовательно, $8 < \sqrt{80} < 9$.

Мы ищем целые числа в интервале $(-\sqrt{27}, \sqrt{80})$.
Это целые числа, которые больше числа, находящегося между -6 и -5, и меньше числа, находящегося между 8 и 9.
Это целые числа от -5 до 8 включительно.
Их количество: $8 - (-5) + 1 = 8 + 5 + 1 = 14$.
Ответ: 14.