Страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

6. а) Функция $f$ — чётная, $f(5) = 36$. Найдите $f(-5)$.

б) Функция $f$ — нечётная, $f(-11) = 3$. Найдите $f(11)$.

......................

......................

Ответ: а) ......................... б) .........................

а) По определению, функция $f$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
В условии задачи сказано, что функция $f$ — чётная и дано значение $f(5) = 36$.
Применим свойство чётности для $x = 5$:
$f(-5) = f(5)$
Подставив известное значение $f(5)$, получим:
$f(-5) = 36$
Ответ: 36.

б) По определению, функция $f$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
В условии задачи сказано, что функция $f$ — нечётная и дано значение $f(-11) = 3$.
Применим свойство нечётности для $x = 11$:
$f(-11) = -f(11)$
Подставим известное значение $f(-11)$ в это равенство:
$3 = -f(11)$
Чтобы найти $f(11)$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$f(11) = -3$
Ответ: -3.

7. На рисунке изображена часть графика функции $y = f(x)$. Достройте график этой функции, про которую известно, что она является:

а) чётной:

б) нечётной:

а)

Функция $y=f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

На рисунке а) показана часть графика для $x \le 0$. Чтобы достроить график, необходимо отразить данную часть симметрично относительно оси OY. Это означает, что для каждой точки $(x, y)$ на известной части графика существует симметричная ей точка $(-x, y)$ на достраиваемой части.

Ключевыми точками на данном участке являются $(-4, -1)$, $(-2, 2)$ и $(0, -1)$. Выполним их симметричное отражение относительно оси OY:
- Точка $(-4, -1)$ переходит в точку $(4, -1)$.
- Точка $(-2, 2)$ переходит в точку $(2, 2)$.
- Точка $(0, -1)$ лежит на оси симметрии, поэтому она остается на месте.

Теперь соединим полученные точки в том же порядке. Новый участок графика для $x \ge 0$ будет состоять из отрезков, соединяющих точки $(0, -1)$ и $(2, 2)$, а также точки $(2, 2)$ и $(4, -1)$.

Ответ: Итоговый график представляет собой ломаную линию, симметричную относительно оси OY. Он проходит через ключевые точки в следующем порядке: $(-4, -1)$, $(-2, 2)$, $(0, -1)$, $(2, 2)$, $(4, -1)$.

б)

Функция $y=f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат, то есть точки $(0, 0)$.

На рисунке б) показана часть графика для $x \ge 0$. Чтобы достроить график, необходимо отразить данную часть симметрично относительно начала координат. Это означает, что для каждой точки $(x, y)$ на известной части графика существует симметричная ей точка $(-x, -y)$ на достраиваемой части.

Ключевыми точками на данном участке являются $(0, 0)$, $(2, -2)$ и $(4, 3)$. Выполним их симметричное отражение относительно начала координат:
- Точка $(0, 0)$ является центром симметрии и остается на месте.
- Точка $(2, -2)$ переходит в точку $(-2, -(-2)) = (-2, 2)$.
- Точка $(4, 3)$ переходит в точку $(-4, -3)$.

Соединив полученные точки, получим вторую часть графика для $x \le 0$. Она будет состоять из отрезков, соединяющих точки $(-4, -3)$ и $(-2, 2)$, а также точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$.

Ответ: Итоговый график представляет собой ломаную линию, симметричную относительно начала координат. Он проходит через ключевые точки в следующем порядке: $(-4, -3)$, $(-2, 2)$, $(0, 0)$, $(2, -2)$, $(4, 3)$.

8. Задайте функцию формулой и обоснуйте ответ:

а) чётную функцию;

б) нечётную функцию;

в) функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной

а) чётную функцию

Рассмотрим функцию, заданную формулой $f(x) = x^4 + \cos(x)$.
Обоснование:
Функция $f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
1. Область определения функции $f(x) = x^4 + \cos(x)$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:
$f(-x) = (-x)^4 + \cos(-x)$.
Так как $(-x)^4 = x^4$ (степень чётная) и $\cos(-x) = \cos(x)$ (свойство функции косинус), получаем:
$f(-x) = x^4 + \cos(x)$.
Поскольку $f(-x) = x^4 + \cos(x)$ и $f(x) = x^4 + \cos(x)$, то выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция $f(x) = x^4 + \cos(x)$ является чётной.
Ответ: $f(x) = x^4 + \cos(x)$.

б) нечётную функцию

Рассмотрим функцию, заданную формулой $f(x) = x^3 - \sin(x)$.
Обоснование:
Функция $f(x)$ называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
1. Область определения функции $f(x) = x^3 - \sin(x)$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = (-x)^3 - \sin(-x)$.
Так как $(-x)^3 = -x^3$ (степень нечётная) и $\sin(-x) = -\sin(x)$ (свойство функции синус), получаем:
$f(-x) = -x^3 - (-\sin(x)) = -x^3 + \sin(x)$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 - \sin(x)) = -x^3 + \sin(x)$.
Поскольку $f(-x) = -x^3 + \sin(x)$ и $-f(x) = -x^3 + \sin(x)$, то выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция $f(x) = x^3 - \sin(x)$ является нечётной.
Ответ: $f(x) = x^3 - \sin(x)$.

в) функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной

Рассмотрим функцию, заданную формулой $f(x) = x^2 + x$.
Обоснование:
Функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида), если она не удовлетворяет ни одному из определений чётной или нечётной функции. То есть, существуют такие значения $x$ из области определения, для которых $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$.
1. Область определения функции $f(x) = x^2 + x$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$.
3. Проверим на чётность. Сравним $f(-x)$ и $f(x)$:
$f(-x) = x^2 - x$.
$f(x) = x^2 + x$.
Равенство $f(-x) = f(x)$ приводило бы к $x^2 - x = x^2 + x$, что означает $2x=0$, то есть $x=0$. Так как равенство выполняется не для всех $x$ из области определения (например, для $x=1$, $f(-1) = 0$, а $f(1) = 2$), функция не является чётной.
4. Проверим на нечётность. Сравним $f(-x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = x^2 - x$.
$-f(x) = -(x^2 + x) = -x^2 - x$.
Равенство $f(-x) = -f(x)$ приводило бы к $x^2 - x = -x^2 - x$, что означает $2x^2=0$, то есть $x=0$. Так как равенство выполняется не для всех $x$ из области определения (например, для $x=1$, $f(-1) = 0$, а $-f(1) = -2$), функция не является нечётной.
Поскольку функция не является ни чётной, ни нечётной, она является функцией общего вида.
Ответ: $f(x) = x^2 + x$.

1. В арифметической прогрессии $(a_n)$ первый член равен 7, а разность равна 2. Найдите указанные члены прогрессии:

$a_5 = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$a_{41} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$a_{39} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$a_{101} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$a_{27} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$a_{215} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи, $a_1 = 7$ и $d = 2$. Подставим эти значения в формулу для каждого требуемого члена прогрессии.

a₅

Для нахождения пятого члена прогрессии подставим $n=5$:
$a_5 = 7 + (5-1) \cdot 2 = 7 + 4 \cdot 2 = 7 + 8 = 15$.
Ответ: 15

a₃₉

Для нахождения тридцать девятого члена прогрессии подставим $n=39$:
$a_{39} = 7 + (39-1) \cdot 2 = 7 + 38 \cdot 2 = 7 + 76 = 83$.
Ответ: 83

a₂₇

Для нахождения двадцать седьмого члена прогрессии подставим $n=27$:
$a_{27} = 7 + (27-1) \cdot 2 = 7 + 26 \cdot 2 = 7 + 52 = 59$.
Ответ: 59

a₄₁

Для нахождения сорок первого члена прогрессии подставим $n=41$:
$a_{41} = 7 + (41-1) \cdot 2 = 7 + 40 \cdot 2 = 7 + 80 = 87$.
Ответ: 87

a₁₀₁

Для нахождения сто первого члена прогрессии подставим $n=101$:
$a_{101} = 7 + (101-1) \cdot 2 = 7 + 100 \cdot 2 = 7 + 200 = 207$.
Ответ: 207

a₂₁₅

Для нахождения двести пятнадцатого члена прогрессии подставим $n=215$:
$a_{215} = 7 + (215-1) \cdot 2 = 7 + 214 \cdot 2 = 7 + 428 = 435$.
Ответ: 435

2. Найдите разность арифметической прогрессии и её члены, обозначенные буквами:

-8, -10, $a_3$, ..., $a_6$, ..., $a_n$, ..., $a_{n+5}$, ....

В данной задаче представлена арифметическая прогрессия. Из последовательности `..., -8, -10, a₃, ...` следует, что нам известны первые два члена прогрессии: $a_1 = -8$ и $a_2 = -10$. Наша задача — найти разность прогрессии $d$ и значения членов, обозначенных буквами.

Разность арифметической прогрессии d

Разность арифметической прогрессии ($d$) — это постоянная величина, на которую каждый следующий член прогрессии отличается от предыдущего. Её можно найти по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.

Используя известные нам члены $a_1$ и $a_2$: $d = a_2 - a_1 = -10 - (-8) = -10 + 8 = -2$.

Ответ: $d = -2$

a₃

Третий член прогрессии $a_3$ можно найти, прибавив разность $d$ ко второму члену $a_2$.

$a_3 = a_2 + d = -10 + (-2) = -12$.

Также можно воспользоваться общей формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_3 = a_1 + (3-1)d = -8 + 2 \cdot (-2) = -8 - 4 = -12$.

Ответ: $a_3 = -12$

a₆

Для нахождения шестого члена прогрессии $a_6$ воспользуемся общей формулой n-го члена, подставив в неё известные значения $a_1 = -8$, $d = -2$ и $n = 6$.

$a_6 = a_1 + (6-1)d = -8 + 5 \cdot (-2) = -8 - 10 = -18$.

Ответ: $a_6 = -18$

aₙ

Для нахождения формулы n-го члена $a_n$ подставим значения первого члена $a_1 = -8$ и разности $d = -2$ в общую формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$ и упростим выражение.

$a_n = -8 + (n-1) \cdot (-2) = -8 - 2n + 2 = -2n - 6$.

Ответ: $a_n = -2n - 6$

aₙ₊₅

Чтобы найти член прогрессии $a_{n+5}$, можно использовать полученную формулу для $a_n$, заменив в ней $n$ на $n+5$.

$a_{n+5} = -2(n+5) - 6 = -2n - 10 - 6 = -2n - 16$.

Альтернативный способ — это прибавить к n-му члену $a_n$ пять раз разность прогрессии $d$: $a_{n+5} = a_n + 5d = (-2n - 6) + 5 \cdot (-2) = -2n - 6 - 10 = -2n - 16$.

Ответ: $a_{n+5} = -2n - 16$

3. Встретится ли среди членов арифметической прогрессии 31, 34, 37, 40, ... число:

a) 55; б) 64; в) 76; г) 101?

При положительном ответе укажите номер этого члена прогрессии.

б) $a_n = 0.6n^2 + 8$

Ответ: a) ............ б) ............ в) ............ г) ...............

Для того чтобы определить, является ли число членом заданной арифметической прогрессии, необходимо сначала найти параметры этой прогрессии, а затем проверить, существует ли для этого числа натуральный номер $n$.

Задана арифметическая прогрессия: 31, 34, 37, 40, ...

Первый член прогрессии $a_1 = 31$.

Найдем разность прогрессии $d$, вычтя предыдущий член из последующего: $d = a_2 - a_1 = 34 - 31 = 3$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив известные значения, получим формулу для данной прогрессии: $a_n = 31 + (n-1) \cdot 3$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел. Число является членом прогрессии, если для него номер $n$, вычисленный по формуле, является натуральным числом (целым и положительным).