Страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

3. Докажите, что функция $y = f(x)$ является нечётной:

a) $f(x) = 3x - x^5$;

б) $f(x) = \frac{4}{x^3}$.

Функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняются два условия: область определения симметрична относительно нуля, и справедливо равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = 3x - x^5$

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение второго условия. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 3(-x) - (-x)^5 = -3x - (-1 \cdot x^5) = -3x + x^5$.

Теперь найдем $-f(x)$:

$-f(x) = -(3x - x^5) = -3x + x^5$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: доказано.

б) $f(x) = \frac{4}{x^3}$

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение второго условия. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{4}{(-x)^3} = \frac{4}{-x^3} = -\frac{4}{x^3}$.

Теперь найдем $-f(x)$:

$-f(x) = -\left(\frac{4}{x^3}\right) = -\frac{4}{x^3}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: доказано.

4. Определите, является ли функция чётной или нечётной:

а) $f(x) = 5x + 6$

б) $f(x) = -\frac{10}{x}$

в) $f(x) = 3 - 2x^2$

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^3 + x + 1$

Ответ:

a) б) в) г)

а) $f(x) = 5x + 6$

Для определения чётности функции необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции). Область определения данной функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = 5(-x) + 6 = -5x + 6$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -5x + 6 \neq 5x + 6 = f(x)$

Равенство не выполняется, следовательно, функция не является чётной.

Теперь сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -(5x + 6) = -5x - 6$

$f(-x) = -5x + 6 \neq -5x - 6 = -f(x)$

Это равенство также не выполняется. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

б) $f(x) = \frac{10}{x}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = \frac{10}{-x} = -\frac{10}{x}$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -\frac{10}{x} \neq \frac{10}{x} = f(x)$

Функция не является чётной.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{10}{x}) = -\frac{10}{x}$

$f(-x) = -\frac{10}{x} = -f(x)$

Равенство выполняется для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

в) $f(x) = 3 - 2x^2$

Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = 3 - 2(-x)^2 = 3 - 2x^2$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = 3 - 2x^2 = f(x)$

Равенство выполняется для всех $x$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: чётная.

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^3 + x + 1$

Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдём значение функции для $-x$:

$f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^3 + (-x) + 1 = -\frac{1}{2}x^3 - x + 1$

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -\frac{1}{2}x^3 - x + 1 \neq \frac{1}{2}x^3 + x + 1 = f(x)$

Функция не является чётной.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{1}{2}x^3 + x + 1) = -\frac{1}{2}x^3 - x - 1$

$f(-x) = -\frac{1}{2}x^3 - x + 1 \neq -f(x)$

Это равенство также не выполняется. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

5. Может ли быть чётной или нечётной функция, областью определения которой является:

а) промежуток $[-2; 7];$

б) промежуток $(-10; 10);$

в) объединение промежутков $[-9; -1] \cup [1; 9]?$

Ответ: а) ......................... б) ......................... в) .........................

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Из определений следует, что необходимым условием для того, чтобы функция могла быть чётной или нечётной, является симметричность её области определения $D$ относительно начала координат. Это означает, что для любого числа $x$, принадлежащего области определения, число $-x$ также должно принадлежать этой области.

Область определения $D = [-2; 7]$ не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x=7$ принадлежит этому промежутку ($7 \in [-2; 7]$), но точка $-x=-7$ не принадлежит ему ($-7 \notin [-2; 7]$). Так как необходимое условие симметричности области определения не выполняется, функция с такой областью определения не может быть ни чётной, ни нечётной.

Ответ: не может быть ни чётной, ни нечётной.

Область определения $D = (-10; 10)$ является симметричной относительно начала координат. Для любого $x \in (-10; 10)$ выполняется $-10 < x < 10$. Умножив неравенство на $-1$, получим $10 > -x > -10$, что равносильно $-10 < -x < 10$. Следовательно, $-x$ также принадлежит промежутку $D$.

Поскольку область определения симметрична, функция с такой областью определения может быть как чётной (например, $f(x) = x^2$), так и нечётной (например, $f(x) = x^3$).

Ответ: может быть и чётной, и нечётной.

Область определения $D = [-9; -1] \cup [1; 9]$ является симметричной относительно начала координат. Проверим это:
Если $x \in [1; 9]$, то $1 \le x \le 9$. Тогда $-9 \le -x \le -1$, что означает $-x \in [-9; -1]$, а значит $-x \in D$.
Если $x \in [-9; -1]$, то $-9 \le x \le -1$. Тогда $1 \le -x \le 9$, что означает $-x \in [1; 9]$, а значит $-x \in D$.
Таким образом, для любого $x \in D$ соответствующее значение $-x$ также принадлежит $D$.

Так как область определения симметрична, функция может быть как чётной (например, $f(x) = |x|$), так и нечётной (например, $f(x) = x$).

Ответ: может быть и чётной, и нечётной.

14. Последовательность ($a_n$) задана формулой $a_n = n^2 - 4$. Найдите все члены последовательности, которые изображаются на координатной плоскости точками, расположенными ниже прямой $y=14$, и постройте эти точки.

y

x

0

1

1

(1 - n)b + d =

5. Турист...

0.5 км.

Решение.

Дана последовательность $(a_n)$, заданная формулой $a_n = n^2 - 4$. Требуется найти все члены этой последовательности, которые на координатной плоскости изображаются точками, расположенными ниже прямой $y=14$. Условие "расположены ниже прямой $y=14$" означает, что значение члена последовательности $a_n$ должно быть меньше 14. Таким образом, нам нужно найти все натуральные числа $n$ (поскольку $n$ — это номер члена последовательности), для которых выполняется неравенство:

$a_n < 14$

Подставим в это неравенство формулу для $a_n$:

$n^2 - 4 < 14$

Теперь решим это неравенство относительно $n$:

$n^2 < 14 + 4$
$n^2 < 18$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), нам нужно найти все натуральные числа, квадрат которых меньше 18. Проверим значения $n$ по порядку:

• Если $n=1$, то $n^2 = 1^2 = 1$. $1 < 18$, значит, это значение подходит.
• Если $n=2$, то $n^2 = 2^2 = 4$. $4 < 18$, значит, это значение подходит.
• Если $n=3$, то $n^2 = 3^2 = 9$. $9 < 18$, значит, это значение подходит.
• Если $n=4$, то $n^2 = 4^2 = 16$. $16 < 18$, значит, это значение подходит.
• Если $n=5$, то $n^2 = 5^2 = 25$. $25 > 18$, это значение и все последующие не подходят.

Следовательно, условию удовлетворяют значения $n = 1, 2, 3, 4$.

Теперь вычислим соответствующие значения членов последовательности $a_n$ для этих $n$:

• При $n=1$: $a_1 = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Координаты точки: $(1, -3)$.
• При $n=2$: $a_2 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Координаты точки: $(2, 0)$.
• При $n=3$: $a_3 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Координаты точки: $(3, 5)$.
• При $n=4$: $a_4 = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12$. Координаты точки: $(4, 12)$.

Заполним таблицу, данную в условии:

Наконец, построим найденные точки на координатной плоскости.

Ответ: Члены последовательности, расположенные ниже прямой $y=14$: $a_1=-3$, $a_2=0$, $a_3=5$ и $a_4=12$. Соответствующие точки $(1, -3)$, $(2, 0)$, $(3, 5)$ и $(4, 12)$ построены на графике.

15. Укажите номера членов последовательности $(a_n)$, где $a_n = 0.5n^2 - 1$, которые заключены между числами 2 и 24. Вычислите эти члены.

Для того чтобы найти члены последовательности $a_n = 0,5n^2 - 1$, которые заключены между числами 2 и 24, необходимо найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется двойное неравенство $2 < a_n < 24$.

Подставим формулу $n$-го члена в неравенство:

$2 < 0,5n^2 - 1 < 24$

Сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$2 + 1 < 0,5n^2 - 1 + 1 < 24 + 1$

$3 < 0,5n^2 < 25$

Затем умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от коэффициента 0,5:

$3 \cdot 2 < 0,5n^2 \cdot 2 < 25 \cdot 2$

$6 < n^2 < 50$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Найдем натуральные числа $n$, которые удовлетворяют этому неравенству. Для этого извлечём квадратный корень:

$\sqrt{6} < n < \sqrt{50}$

Оценим значения корней: $\sqrt{6} \approx 2,45$ и $\sqrt{50} \approx 7,07$.

Таким образом, мы ищем натуральные числа $n$, которые удовлетворяют условию $2,45 < n < 7,07$.

Этому условию удовлетворяют следующие натуральные числа: 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: Номера искомых членов последовательности: 3, 4, 5, 6, 7.

Теперь, зная номера, вычислим значения соответствующих членов последовательности по формуле $a_n = 0,5n^2 - 1$.

Для $n=3$: $a_3 = 0,5 \cdot 3^2 - 1 = 0,5 \cdot 9 - 1 = 4,5 - 1 = 3,5$.

Для $n=4$: $a_4 = 0,5 \cdot 4^2 - 1 = 0,5 \cdot 16 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Для $n=5$: $a_5 = 0,5 \cdot 5^2 - 1 = 0,5 \cdot 25 - 1 = 12,5 - 1 = 11,5$.

Для $n=6$: $a_6 = 0,5 \cdot 6^2 - 1 = 0,5 \cdot 36 - 1 = 18 - 1 = 17$.

Для $n=7$: $a_7 = 0,5 \cdot 7^2 - 1 = 0,5 \cdot 49 - 1 = 24,5 - 1 = 23,5$.

Все полученные значения действительно находятся в интервале от 2 до 24.

Ответ: Искомые члены последовательности: $a_3=3,5$; $a_4=7$; $a_5=11,5$; $a_6=17$; $a_7=23,5$.