Страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

12. Докажите, что функция $g(x)$ убывает при заданных значениях аргумента:

а) $g(x) = \frac{2}{x}$ при $x < 0$;

б) $g(x) = \frac{1}{9x+3}$ при $x > -\frac{1}{3}$.

Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, нужно показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$.

а) $g(x) = \frac{2}{x}$ при $x < 0$

Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Поскольку оба значения принадлежат указанному промежутку, мы имеем $x_1 < x_2 < 0$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$g(x_1) - g(x_2) = \frac{2}{x_1} - \frac{2}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$g(x_1) - g(x_2) = \frac{2x_2 - 2x_1}{x_1 x_2} = \frac{2(x_2 - x_1)}{x_1 x_2}$

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1$ будет положительной. Следовательно, $2(x_2 - x_1) > 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$, их произведение $x_1 x_2$ будет положительным. Следовательно, $x_1 x_2 > 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, вся дробь также положительна:

$\frac{2(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} > 0$

Это означает, что $g(x_1) - g(x_2) > 0$, или $g(x_1) > g(x_2)$.

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$ выполняется $g(x_1) > g(x_2)$, функция $g(x)$ является убывающей на этом промежутке.

Ответ: Доказано.

б) $g(x) = \frac{1}{9x + 3}$ при $x > -\frac{1}{3}$

Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\frac{1}{3}; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$g(x_1) - g(x_2) = \frac{1}{9x_1 + 3} - \frac{1}{9x_2 + 3}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$g(x_1) - g(x_2) = \frac{(9x_2 + 3) - (9x_1 + 3)}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)} = \frac{9x_2 + 3 - 9x_1 - 3}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)} = \frac{9x_2 - 9x_1}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)} = \frac{9(x_2 - x_1)}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)}$

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1$ будет положительной. Следовательно, $9(x_2 - x_1) > 0$.

2. Знаменатель: нам дано условие $x > -\frac{1}{3}$. Преобразуем его: $9x > -3$, откуда $9x + 3 > 0$. Поскольку и $x_1$, и $x_2$ принадлежат заданному промежутку, для них обоих выполняются неравенства $9x_1 + 3 > 0$ и $9x_2 + 3 > 0$. Произведение двух положительных чисел также положительно: $(9x_1 + 3)(9x_2 + 3) > 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, вся дробь также положительна:

$\frac{9(x_2 - x_1)}{(9x_1 + 3)(9x_2 + 3)} > 0$

Это означает, что $g(x_1) - g(x_2) > 0$, или $g(x_1) > g(x_2)$.

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\frac{1}{3}; +\infty)$ выполняется $g(x_1) > g(x_2)$, функция $g(x)$ является убывающей на этом промежутке.

Ответ: Доказано.

13. При каких значениях $b$ прямая $y = -4x + \frac{b}{2}$ образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 2?

Для того чтобы найти значения параметра $b$, при которых прямая $y = -4x + \frac{b}{2}$ образует с осями координат треугольник с площадью 2, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения прямой с осями координат (Ox и Oy).

Пересечение с осью Oy (осью ординат) происходит при $x=0$. Подставим это значение в уравнение прямой: $y = -4 \cdot 0 + \frac{b}{2} = \frac{b}{2}$ Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; \frac{b}{2})$.

Пересечение с осью Ox (осью абсцисс) происходит при $y=0$. Подставим это значение в уравнение прямой: $0 = -4x + \frac{b}{2}$ $4x = \frac{b}{2}$ $x = \frac{b}{8}$ Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(\frac{b}{8}; 0)$.

Для того чтобы прямая образовывала треугольник с осями координат, она не должна проходить через начало координат, то есть точки пересечения не должны совпадать с точкой $(0;0)$. Это условие выполняется, если $b \neq 0$.

2. Вычислить площадь треугольника.

Треугольник, образованный прямой и осями координат, является прямоугольным. Его вершины находятся в точках $(0;0)$, $(\frac{b}{8}; 0)$ и $(0; \frac{b}{2})$. Катеты этого треугольника лежат на осях координат, и их длины равны модулям координат точек пересечения:

Длина первого катета (на оси Ox) равна $|\frac{b}{8}|$.

Длина второго катета (на оси Oy) равна $|\frac{b}{2}|$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ и $h$ — длины катетов.

Подставим длины наших катетов в формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot |\frac{b}{8}| \cdot |\frac{b}{2}| = \frac{1}{2} \cdot |\frac{b^2}{16}|$

Поскольку $b^2$ всегда неотрицательно, $|b^2| = b^2$. Следовательно: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{16} = \frac{b^2}{32}$

3. Найти значения $b$, используя заданное значение площади.

По условию задачи, площадь треугольника равна 2. $S = 2$

Приравняем выражение для площади к этому значению: $\frac{b^2}{32} = 2$

Теперь решим это уравнение относительно $b$: $b^2 = 2 \cdot 32$ $b^2 = 64$ $b = \pm\sqrt{64}$ $b_1 = 8$, $b_2 = -8$

Оба значения удовлетворяют условию $b \neq 0$, следовательно, оба являются решениями задачи.

Ответ: $b = -8$ или $b = 8$.

9. Докажите, что последовательность, заданная формулой $a_n = 4,2n + 3$, является арифметической прогрессией, и найдите сумму её членов с десятого по девятнадцатый.

Доказательство того, что последовательность является арифметической прогрессией

По определению, последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом является постоянной величиной. Эта величина называется разностью прогрессии и обозначается $d$. Для последовательности, заданной формулой $a_n = 4,2n + 3$, найдем разность $a_{n+1} - a_n$.
Сначала запишем формулу для $(n+1)$-го члена последовательности:
$a_{n+1} = 4,2(n+1) + 3 = 4,2n + 4,2 + 3$.
Теперь вычислим разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (4,2n + 4,2 + 3) - (4,2n + 3) = 4,2n + 7,2 - 4,2n - 3 = 4,2$.
Поскольку разность $a_{n+1} - a_n$ равна постоянному числу $4,2$ и не зависит от номера члена $n$, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как разность между её последующим и предыдущим членами постоянна и равна $d = 4,2$.

Нахождение суммы её членов с десятого по девятнадцатый

Требуется найти сумму членов прогрессии с десятого ($a_{10}$) по девятнадцатый ($a_{19}$) включительно. Эта сумма является суммой конечного числа членов арифметической прогрессии.
Количество членов в этой сумме равно $k = 19 - 10 + 1 = 10$.
Сумму можно найти по формуле суммы $k$ членов арифметической прогрессии: $S = \frac{(a_{первый} + a_{последний}) \cdot k}{2}$.
В данном случае первым членом является $a_{10}$, а последним — $a_{19}$. Найдем их значения, используя формулу $a_n = 4,2n + 3$:
$a_{10} = 4,2 \cdot 10 + 3 = 42 + 3 = 45$.
$a_{19} = 4,2 \cdot 19 + 3 = 79,8 + 3 = 82,8$.
Теперь подставим найденные значения в формулу суммы:
$S = \frac{(a_{10} + a_{19}) \cdot k}{2} = \frac{(45 + 82,8) \cdot 10}{2}$.
Вычислим значение суммы:
$S = \frac{127,8 \cdot 10}{2} = \frac{1278}{2} = 639$.

Ответ: 639.

10. В амфитеатре 10 рядов, причём в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 30 мест. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение.

Число мест в первом, втором и т. д. рядах амфитеатра составляет арифметическую прогрессию ($a_n$), в которой

$d = \dots, n = \dots, a_n = \dots$

......................

......................

......................

Ответ: ......................

Решение. Количество мест в каждом ряду амфитеатра образует арифметическую прогрессию ($a_n$), поскольку оно увеличивается на одно и то же число (2) с каждым следующим рядом.

Определим параметры этой прогрессии из условия задачи:

• Общее количество рядов, то есть число членов прогрессии: $n = 10$.
• Разница в количестве мест между соседними рядами, то есть разность прогрессии: $d = 2$.
• Количество мест в последнем, 10-м ряду: $a_{10} = 30$.

Чтобы найти общее количество мест в амфитеатре, необходимо вычислить сумму первых 10 членов этой прогрессии, $S_{10}$. Для этого воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Для расчета нам не хватает значения первого члена прогрессии, $a_1$ (количество мест в первом ряду). Найдем его, используя формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для 10-го ряда:
$a_{10} = a_1 + (10-1) \cdot 2$
$30 = a_1 + 9 \cdot 2$
$30 = a_1 + 18$
$a_1 = 30 - 18$
$a_1 = 12$
Таким образом, в первом ряду 12 мест.

Теперь у нас есть все данные для расчета общей суммы мест $S_{10}$:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{12 + 30}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{42}{2} \cdot 10$
$S_{10} = 21 \cdot 10 = 210$

Ответ: 210.

11. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, в которой $S_4 = 56$, а $S_9 = 36$.

Для нахождения первого члена $a_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии воспользуемся формулой суммы ее первых $n$ членов:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию задачи, у нас есть два уравнения, основанные на значениях $S_4 = 56$ и $S_9 = 36$.

1. Подставим $n=4$ и $S_4=56$ в формулу:

$S_4 = \frac{2a_1 + d(4-1)}{2} \cdot 4 = 56$

Упростим выражение:

$(2a_1 + 3d) \cdot 2 = 56$

$2a_1 + 3d = 28$

2. Подставим $n=9$ и $S_9=36$ в формулу:

$S_9 = \frac{2a_1 + d(9-1)}{2} \cdot 9 = 36$

Упростим выражение:

$\frac{2(a_1 + 4d)}{2} \cdot 9 = 36$

$(a_1 + 4d) \cdot 9 = 36$

$a_1 + 4d = 4$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} 2a_1 + 3d = 28 \\ a_1 + 4d = 4 \end{cases}$

Выразим $a_1$ из второго уравнения:

$a_1 = 4 - 4d$

Подставим это выражение для $a_1$ в первое уравнение системы:

$2(4 - 4d) + 3d = 28$

$8 - 8d + 3d = 28$

$8 - 5d = 28$

$-5d = 28 - 8$

$-5d = 20$

$d = -4$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в выражение $a_1 = 4 - 4d$:

$a_1 = 4 - 4(-4)$

$a_1 = 4 + 16$

$a_1 = 20$

Ответ: первый член прогрессии $a_1 = 20$, разность прогрессии $d = -4$.