Страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.45. 1) Из пункта A в пункт B, длина пути (расстояние) между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 мин, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в пункт B вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути?

2) Лыжник должен был пройти путь длиной 10 км, чтобы в назначенное время вернуться в туристический лагерь. В середине пути он задержался на 15 мин. Однако, увеличив скорость на 10 км/ч, лыжник пришел в лагерь вовремя. Какова была первоначальная скорость лыжника?

1)Пусть $v$ км/ч — скорость автобуса на первой половине пути. Весь путь составляет 80 км, следовательно, первая и вторая половины пути равны $S_1 = S_2 = 80 / 2 = 40$ км.
Планируемое время на прохождение второй половины пути, если бы скорость не изменилась, составляет $t_{план} = \frac{40}{v}$ ч.
Автобус был задержан на 10 минут, что в часах составляет $t_{задержки} = 10 / 60 = \frac{1}{6}$ часа.
Для того чтобы прибыть в пункт В вовремя, автобус должен был скомпенсировать время задержки за счет увеличения скорости на второй половине пути.
Новая скорость автобуса на второй половине пути составила $v_{новая} = v + 20$ км/ч.
Фактическое время, затраченное на вторую половину пути, составляет $t_{факт} = \frac{40}{v+20}$ ч.
Экономия времени на втором участке пути должна быть равна времени задержки:
$t_{план} - t_{факт} = t_{задержки}$
Составим уравнение:
$\frac{40}{v} - \frac{40}{v+20} = \frac{1}{6}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+20)$:
$\frac{40(v+20) - 40v}{v(v+20)} = \frac{1}{6}$
$\frac{40v + 800 - 40v}{v^2 + 20v} = \frac{1}{6}$
$\frac{800}{v^2 + 20v} = \frac{1}{6}$
Используя основное свойство пропорции, получим квадратное уравнение:
$v^2 + 20v = 800 \cdot 6$
$v^2 + 20v - 4800 = 0$
Решим уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$
$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$
Так как скорость не может быть отрицательной величиной, то корень $v_2 = -80$ не является решением задачи. Следовательно, скорость автобуса на первой половине пути равна 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч.

2)Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость лыжника. Весь путь составляет 10 км, следовательно, первая и вторая половины пути равны $S_1 = S_2 = 10 / 2 = 5$ км.
Планируемое время на прохождение второй половины пути, если бы скорость не изменилась, составляет $t_{план} = \frac{5}{v}$ ч.
Лыжник задержался на 15 минут, что в часах составляет $t_{задержки} = 15 / 60 = \frac{1}{4}$ часа.
Чтобы вернуться в лагерь вовремя, лыжник должен был скомпенсировать время задержки за счет увеличения скорости на второй половине пути.
Новая скорость лыжника на второй половине пути составила $v_{новая} = v + 10$ км/ч.
Фактическое время, затраченное на вторую половину пути, составляет $t_{факт} = \frac{5}{v+10}$ ч.
Экономия времени на втором участке пути должна быть равна времени задержки:
$t_{план} - t_{факт} = t_{задержки}$
Составим уравнение:
$\frac{5}{v} - \frac{5}{v+10} = \frac{1}{4}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$:
$\frac{5(v+10) - 5v}{v(v+10)} = \frac{1}{4}$
$\frac{5v + 50 - 5v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{4}$
$\frac{50}{v^2 + 10v} = \frac{1}{4}$
Используя основное свойство пропорции, получим квадратное уравнение:
$v^2 + 10v = 50 \cdot 4$
$v^2 + 10v - 200 = 0$
Решим уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$
$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$v_2 = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Так как скорость не может быть отрицательной величиной, то корень $v_2 = -20$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость лыжника была 10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч.