Страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Решите системы уравнений (3.21—3.22):

3.21. 1) $$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + 2xy - y = 0, \\ x^2 + y^2 + xy + y = 2 - 2x; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^3 + y^3 - x + 2xy - y = 2, \\ x^3 + y^3 - xy + 2y = 5 - 2x; \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} x^3 + xy^2 - x + 2x^2y - y = 2, \\ y^3 + 2xy^2 + x^2y + y = 6 - x; \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 = 5, \\ y^3 + xy^2 + x^2y + x^3 = 15. \end{cases}$$

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 + x + 2xy - y = 0 \\x^2 + y^2 + xy + y = 2 - 2x\end{cases}$

Перепишем уравнения в более удобном виде. В первом уравнении сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат:

$(x^2 + 2xy + y^2) + (x - y) = 0$

$(x+y)^2 + (x-y) = 0$

Перенесем все члены второго уравнения в левую часть:

$x^2 + y^2 + xy + 2x + y - 2 = 0$

Теперь вычтем второе преобразованное уравнение из первого (в его исходной форме $x^2 + y^2 + x + 2xy - y = 0$):

$(x^2 + y^2 + x + 2xy - y) - (x^2 + y^2 + xy + 2x + y - 2) = 0$

$x^2 + y^2 + x + 2xy - y - x^2 - y^2 - xy - 2x - y + 2 = 0$

Приводим подобные члены:

$(2xy - xy) + (x - 2x) + (-y - y) + 2 = 0$

$xy - x - 2y + 2 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$x(y - 1) - 2(y - 1) = 0$

$(x - 2)(y - 1) = 0$

Это уравнение дает нам два возможных случая:

Случай 1: $y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$.

Подставим $y = 1$ в первое уравнение исходной системы:

$x^2 + 1^2 + x + 2x(1) - 1 = 0$

$x^2 + 1 + x + 2x - 1 = 0$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x+3) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(0, 1)$ и $(-3, 1)$.

Случай 2: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Подставим $x = 2$ в первое уравнение исходной системы:

$2^2 + y^2 + 2 + 2(2)y - y = 0$

$4 + y^2 + 2 + 4y - y = 0$

$y^2 + 3y + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.

Так как $D < 0$, действительных решений для $y$ в этом случае нет.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(0, 1), (-3, 1)$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^3 + y^3 - x + 2xy - y = 2 \\x^3 + y^3 - xy + 2y = 5 - 2x\end{cases}$

Перепишем систему, сгруппировав члены:

$\begin{cases}(x^3 + y^3) + 2xy - (x+y) = 2 \\(x^3 + y^3) - xy + 2(x+y) = 5\end{cases}$

Эта система симметрична относительно $x$ и $y$. Введем новые переменные: $S = x+y$ и $P = xy$.

Используем известное тождество: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-3xy) = S(S^2-3P)$.

Подставим новые переменные в систему:

$\begin{cases}S(S^2-3P) + 2P - S = 2 \\S(S^2-3P) - P + 2S = 5\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(S(S^2-3P) - P + 2S) - (S(S^2-3P) + 2P - S) = 5 - 2$

$-P + 2S - 2P + S = 3$

$3S - 3P = 3$

$S - P = 1 \Rightarrow S = P+1$.

Подставим $S = P+1$ в первое уравнение системы в новых переменных:

$(P+1)((P+1)^2 - 3P) + 2P - (P+1) = 2$

$(P+1)(P^2 + 2P + 1 - 3P) + P - 1 = 2$

$(P+1)(P^2 - P + 1) + P - 3 = 0$

Выражение $(P+1)(P^2 - P + 1)$ является формулой суммы кубов: $P^3 + 1^3$.

$P^3 + 1 + P - 3 = 0$

$P^3 + P - 2 = 0$

Найдем корень этого кубического уравнения подбором. Проверяем делители свободного члена (-2): $\pm 1, \pm 2$.

При $P=1$: $1^3 + 1 - 2 = 0$. Значит, $P=1$ является корнем.

Разделим многочлен $P^3 + P - 2$ на $(P-1)$: $(P-1)(P^2+P+2) = 0$.

Для квадратного трехчлена $P^2+P+2$ дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$, поэтому других действительных корней для $P$ нет.

Единственное действительное решение: $P=1$.

Тогда $S = P+1 = 1+1=2$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$x+y = S = 2$

$xy = P = 1$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень $t=1$. Следовательно, $x=1$ и $y=1$.

Ответ: $(1, 1)$.

3) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^3 + xy^2 - x + 2x^2y - y = 2 \\y^3 + 2xy^2 + x^2y + y = 6 - x\end{cases}$

Перепишем систему, сгруппировав члены:

$\begin{cases}(x^3 + 2x^2y + xy^2) - (x+y) = 2 \\(y^3 + 2xy^2 + x^2y) + (x+y) = 6\end{cases}$

Вынесем общие множители в скобках:

$\begin{cases}x(x^2 + 2xy + y^2) - (x+y) = 2 \\y(y^2 + 2xy + x^2) + (x+y) = 6\end{cases}$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$\begin{cases}x(x+y)^2 - (x+y) = 2 \\y(x+y)^2 + (x+y) = 6\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x(x+y)^2 - (x+y)) + (y(x+y)^2 + (x+y)) = 2 + 6$

$x(x+y)^2 + y(x+y)^2 = 8$

Вынесем общий множитель $(x+y)^2$:

$(x+y)(x+y)^2 = 8$

$(x+y)^3 = 8$

Извлекая кубический корень, получаем:

$x+y = 2$

Теперь подставим $x+y=2$ в любое из преобразованных уравнений. Например, в первое:

$x(2)^2 - 2 = 2$

$4x - 2 = 2$

$4x = 4$

$x = 1$

Зная, что $x+y=2$ и $x=1$, находим $y$:

$1+y = 2 \Rightarrow y = 1$

Получили решение $(1, 1)$. Проверим его, подставив в исходные уравнения.

Первое уравнение: $1^3 + 1 \cdot 1^2 - 1 + 2 \cdot 1^2 \cdot 1 - 1 = 1+1-1+2-1=2$. Верно.

Второе уравнение: $1^3 + 2 \cdot 1 \cdot 1^2 + 1^2 \cdot 1 + 1 = 6-1 \Rightarrow 1+2+1+1=5$. Верно.

Ответ: $(1, 1)$.

4) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 = 5 \\y^3 + xy^2 + x^2y + x^3 = 15\end{cases}$

Разложим на множители левые части обоих уравнений методом группировки.

Первое уравнение:

$x^3 - x^2y - y^3 + xy^2 = 5$

$x^2(x-y) + y^2(x-y) = 5$

$(x^2+y^2)(x-y) = 5$

Второе уравнение:

$x^3 + x^2y + y^3 + xy^2 = 15$

$x^2(x+y) + y^2(x+y) = 15$

$(x^2+y^2)(x+y) = 15$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases}(x^2+y^2)(x-y) = 5 \\(x^2+y^2)(x+y) = 15\end{cases}$

Заметим, что $x^2+y^2 \neq 0$, так как иначе $x=y=0$, что не удовлетворяет системе. Поэтому мы можем разделить второе уравнение на первое:

$\frac{(x^2+y^2)(x+y)}{(x^2+y^2)(x-y)} = \frac{15}{5}$

$\frac{x+y}{x-y} = 3$

$x+y = 3(x-y)$

$x+y = 3x - 3y$

$4y = 2x$

$x = 2y$

Подставим выражение $x=2y$ в первое преобразованное уравнение $(x^2+y^2)(x-y)=5$:

$((2y)^2 + y^2)(2y-y) = 5$

$(4y^2 + y^2)(y) = 5$

$(5y^2)y = 5$

$5y^3 = 5$

$y^3 = 1$

Единственное действительное решение для $y$ это $y=1$.

Теперь находим $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$

Получили решение $(2, 1)$. Проверим его, подставив в исходную систему.

Первое уравнение: $2^3 + 2 \cdot 1^2 - 2^2 \cdot 1 - 1^3 = 8 + 2 - 4 - 1 = 5$. Верно.

Второе уравнение: $1^3 + 2 \cdot 1^2 + 2^2 \cdot 1 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15$. Верно.

Ответ: $(2, 1)$.

3.22. 1)

$ \begin{cases} x^2 - 5y^2 + 4xy = 0, \\ x^2 - 3xy + 4y = 0; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 3xy = 0, \\ x^2 + 9xy - y^2 = 0; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} 5x^2 + 10y^2 - 15xy = 14, \\ 3x^2 - 9xy + 6y^2 = 7. \end{cases} $

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 5y^2 + 4xy = 0 \\ x^2 - 3xy + 4y = 0 \end{cases} $

Перепишем первое уравнение в стандартном виде: $x^2 + 4xy - 5y^2 = 0$. Это однородное уравнение. Мы можем решить его относительно $x$ или $y$.

Рассмотрим случай, когда $y = 0$. Подставив в первое уравнение, получим $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. Пара $(0, 0)$ является возможным решением. Проверим ее, подставив во второе уравнение: $0^2 - 3 \cdot 0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0$, что является верным равенством $0=0$. Значит, $(0, 0)$ — решение системы.

Теперь рассмотрим случай, когда $y \neq 0$. Разделим первое уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 + 4(\frac{x}{y}) - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Корни этого уравнения (например, по теореме Виета) $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Это дает нам два соотношения между переменными:

А) $\frac{x}{y} = 1$, откуда $x = y$.

Б) $\frac{x}{y} = -5$, откуда $x = -5y$.

Подставим поочередно эти соотношения во второе уравнение системы $x^2 - 3xy + 4y = 0$.

А) Подставляем $x = y$:

$y^2 - 3y \cdot y + 4y = 0$

$y^2 - 3y^2 + 4y = 0$

$-2y^2 + 4y = 0$

$2y(-y + 2) = 0$

Отсюда $y = 0$ или $y = 2$. Если $y = 0$, то $x = y = 0$. Это решение $(0, 0)$, которое мы уже нашли. Если $y = 2$, то $x = y = 2$. Получили решение $(2, 2)$.

Б) Подставляем $x = -5y$:

$(-5y)^2 - 3(-5y)y + 4y = 0$

$25y^2 + 15y^2 + 4y = 0$

$40y^2 + 4y = 0$

$4y(10y + 1) = 0$

Отсюда $y = 0$ или $10y + 1 = 0 \implies y = -\frac{1}{10}$. Если $y = 0$, то $x = -5 \cdot 0 = 0$. Снова получаем решение $(0, 0)$. Если $y = -\frac{1}{10}$, то $x = -5 \cdot (-\frac{1}{10}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Получили решение $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{10})$.

Таким образом, система имеет три различных решения.

Ответ: $(0, 0), (2, 2), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{10})$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 3xy = 0 \\ x^2 + 9xy - y^2 = 0 \end{cases} $

Оба уравнения системы являются однородными. Очевидно, что пара $(0, 0)$ является решением системы, так как при подстановке оба уравнения обращаются в верные равенства $0 = 0$.

Для поиска других решений сложим два уравнения системы:

$(2x^2 + y^2 - 3xy) + (x^2 + 9xy - y^2) = 0 + 0$

$3x^2 + 6xy = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 2y) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое исходное уравнение:

$2(0)^2 + y^2 - 3(0)y = 0$

$y^2 = 0$, откуда $y = 0$.

Это дает нам решение $(0, 0)$, которое уже было найдено.

Случай 2: $x + 2y = 0$, откуда $x = -2y$.

Подставим $x = -2y$ в первое исходное уравнение:

$2(-2y)^2 + y^2 - 3(-2y)y = 0$

$2(4y^2) + y^2 + 6y^2 = 0$

$8y^2 + y^2 + 6y^2 = 0$

$15y^2 = 0$, откуда $y = 0$.

Если $y = 0$, то $x = -2y = -2 \cdot 0 = 0$. Мы снова получили решение $(0, 0)$.

Других решений, кроме $(0, 0)$, система не имеет.

Ответ: $(0, 0)$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 5x^2 + 10y^2 - 15xy = 14 \\ 3x^2 - 9xy + 6y^2 = 7 \end{cases} $

Мы можем решить эту систему, избавившись от свободных членов. Для этого умножим второе уравнение системы на 2:

$2 \cdot (3x^2 - 9xy + 6y^2) = 2 \cdot 7$

$6x^2 - 18xy + 12y^2 = 14$

Теперь исходная система эквивалентна следующей:

$ \begin{cases} 5x^2 - 15xy + 10y^2 = 14 \\ 6x^2 - 18xy + 12y^2 = 14 \end{cases} $

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$5x^2 - 15xy + 10y^2 = 6x^2 - 18xy + 12y^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$0 = (6x^2 - 5x^2) + (-18xy + 15xy) + (12y^2 - 10y^2)$

$0 = x^2 - 3xy + 2y^2$

Мы получили однородное уравнение. Разложим его на множители (можно решить как квадратное уравнение относительно $x$):

$(x - y)(x - 2y) = 0$

Это равенство истинно, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Случай 1: $x - y = 0$, то есть $x = y$.

Подставим это соотношение в любое из исходных уравнений, например, во второе: $3x^2 - 9xy + 6y^2 = 7$.

$3y^2 - 9y(y) + 6y^2 = 7$

$3y^2 - 9y^2 + 6y^2 = 7$

$0 \cdot y^2 = 7$

$0 = 7$

Мы получили противоречие. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x - 2y = 0$, то есть $x = 2y$.

Подставим это соотношение во второе уравнение $3x^2 - 9xy + 6y^2 = 7$.

$3(2y)^2 - 9(2y)y + 6y^2 = 7$

$3(4y^2) - 18y^2 + 6y^2 = 7$

$12y^2 - 18y^2 + 6y^2 = 7$

$0 \cdot y^2 = 7$

$0 = 7$

Снова получили противоречие. В этом случае решений также нет.

Поскольку оба возможных случая, вытекающих из структуры системы, приводят к противоречию, исходная система несовместна.

Ответ: нет решений.

3.23. Найдите решение системы уравнений:

1)

$\begin{cases} |x|+|y|=6, \\ x^2-y^2=24; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} |x|+|y|=1, \\ x^2+y^2=0.5; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} |x|+|y|=3, \\ x^2+y^2=5. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} |x| + |y| = 6, \\ x^2 - y^2 = 24; \end{cases} $

Заметим, что $x^2 = |x|^2$ и $y^2 = |y|^2$. Поэтому второе уравнение системы можно переписать в виде $|x|^2 - |y|^2 = 24$.

Введем новые переменные: $a = |x|$ и $b = |y|$. Поскольку $a$ и $b$ являются модулями, они неотрицательны: $a \ge 0, b \ge 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 6, \\ a^2 - b^2 = 24. \end{cases} $

Используем формулу разности квадратов для второго уравнения: $(a-b)(a+b) = 24$.

Подставим значение $a+b=6$ из первого уравнения:

$(a-b) \cdot 6 = 24$

$a-b = \frac{24}{6}$

$a-b = 4$

Теперь мы имеем простую систему линейных уравнений для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + b = 6, \\ a - b = 4. \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим:

$(a+b) + (a-b) = 6 + 4$

$2a = 10 \implies a = 5$

Подставим найденное значение $a=5$ в первое уравнение $a+b=6$:

$5 + b = 6 \implies b = 1$

Итак, $a=5$ и $b=1$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$|x| = 5 \implies x = \pm 5$

$|y| = 1 \implies y = \pm 1$

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(5, 1)$, $(5, -1)$, $(-5, 1)$, $(-5, -1)$.

2) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} |x| + |y| = 1, \\ x^2 + y^2 = 0,5; \end{cases} $

Как и в предыдущем случае, используем замену $a = |x|$ и $b = |y|$ ($a \ge 0, b \ge 0$) и свойство $x^2=|x|^2$. Система преобразуется к виду:

$ \begin{cases} a + b = 1, \\ a^2 + b^2 = 0,5. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b = 1 - a$ и подставим во второе:

$a^2 + (1-a)^2 = 0,5$

$a^2 + 1 - 2a + a^2 = 0,5$

$2a^2 - 2a + 0,5 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$4a^2 - 4a + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(2a - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $2a - 1 = 0$, то есть $a = 0,5$.

Найдем $b$:

$b = 1 - a = 1 - 0,5 = 0,5$.

Итак, $a=0,5$ и $b=0,5$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$|x| = 0,5 \implies x = \pm 0,5$

$|y| = 0,5 \implies y = \pm 0,5$

Таким образом, получаем четыре решения.

Ответ: $(0,5; 0,5)$, $(0,5; -0,5)$, $(-0,5; 0,5)$, $(-0,5; -0,5)$.

3) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} |x| + |y| = 3, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $

Снова введем замену $a = |x|$ и $b = |y|$ ($a \ge 0, b \ge 0$). Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 3, \\ a^2 + b^2 = 5. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b = 3 - a$ и подставим во второе уравнение:

$a^2 + (3-a)^2 = 5$

$a^2 + 9 - 6a + a^2 = 5$

$2a^2 - 6a + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$a^2 - 3a + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого легко найти (например, по теореме Виета). Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни $a_1=1$ и $a_2=2$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a = 1$.

Тогда $b = 3 - a = 3 - 1 = 2$.

Получаем $|x| = 1$ и $|y| = 2$. Отсюда $x = \pm 1$ и $y = \pm 2$. Это дает четыре решения: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$.

Случай 2: $a = 2$.

Тогда $b = 3 - a = 3 - 2 = 1$.

Получаем $|x| = 2$ и $|y| = 1$. Отсюда $x = \pm 2$ и $y = \pm 1$. Это дает еще четыре решения: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем всего восемь пар решений.

Ответ: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

3.24. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x^2 - y^2 = \frac{13}{4}, \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -2,5; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 68, \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{17}{4}; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x + y = 2, \\ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 3; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x + y = 12, \\ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:$\begin{cases} x^2 - y^2 = \frac{13}{4} \\\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -2,5 \end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.Преобразуем второе уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю:$\frac{x^2 + y^2}{xy} = -2,5 = -\frac{5}{2}$Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Тогда второе уравнение примет вид:$t + \frac{1}{t} = -2,5$$t^2 + 2,5t + 1 = 0$Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:$2t^2 + 5t + 2 = 0$Решим квадратное уравнение относительно $t$.Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.$t_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$t_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = -2$, откуда $x = -2y$.Подставим это выражение в первое уравнение системы:$(-2y)^2 - y^2 = \frac{13}{4}$$4y^2 - y^2 = \frac{13}{4}$$3y^2 = \frac{13}{4}$$y^2 = \frac{13}{12}$$y = \pm\sqrt{\frac{13}{12}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{39}}{6}$Если $y = \frac{\sqrt{39}}{6}$, то $x = -2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{6} = -\frac{\sqrt{39}}{3}$.Если $y = -\frac{\sqrt{39}}{6}$, то $x = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{39}}{6}) = \frac{\sqrt{39}}{3}$.Получили две пары решений: $(-\frac{\sqrt{39}}{3}, \frac{\sqrt{39}}{6})$ и $(\frac{\sqrt{39}}{3}, -\frac{\sqrt{39}}{6})$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = -0,5$, откуда $x = -0,5y = -\frac{1}{2}y$.Подставим это выражение в первое уравнение системы:$(-\frac{1}{2}y)^2 - y^2 = \frac{13}{4}$$\frac{1}{4}y^2 - y^2 = \frac{13}{4}$$-\frac{3}{4}y^2 = \frac{13}{4}$$y^2 = -\frac{13}{3}$Данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{39}}{3}, \frac{\sqrt{39}}{6}), (\frac{\sqrt{39}}{3}, -\frac{\sqrt{39}}{6})$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases} x^2 + y^2 = 68 \\\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{17}{4}\end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.Преобразуем второе уравнение:$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{17}{4}$$x^2 - y^2 = \frac{17}{4}xy$Возведем обе части первого уравнения в квадрат:$(x^2 + y^2)^2 = 68^2 \implies x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 4624$.Возведем обе части преобразованного второго уравнения в квадрат:$(x^2 - y^2)^2 = (\frac{17}{4}xy)^2 \implies x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = \frac{289}{16}x^2y^2$.Вычтем второе полученное уравнение из первого:$(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - (x^4 - 2x^2y^2 + y^4) = 4624 - \frac{289}{16}x^2y^2$$4x^2y^2 = 4624 - \frac{289}{16}x^2y^2$Сделаем замену $P = (xy)^2$:$4P = 4624 - \frac{289}{16}P$$4P + \frac{289}{16}P = 4624$$\frac{64P + 289P}{16} = 4624$$\frac{353}{16}P = 4624$$P = \frac{4624 \cdot 16}{353} = \frac{68^2 \cdot 16}{353} = \frac{289 \cdot 16 \cdot 16}{353} = \frac{289 \cdot 256}{353}$.Так как $P=(xy)^2$, то $xy = \pm \sqrt{\frac{289 \cdot 256}{353}} = \pm \frac{17 \cdot 16}{\sqrt{353}} = \pm \frac{272}{\sqrt{353}}$.Из условия $\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{17}{4} > 0$, знаки $x^2-y^2$ и $xy$ должны совпадать.Теперь решим систему:$\begin{cases} x^2+y^2=68 \\xy=P_{1,2}\end{cases}$$y = \frac{xy}{x}$, подставим в первое уравнение: $x^2 + (\frac{xy}{x})^2 = 68 \implies x^4 - 68x^2 + (xy)^2 = 0$.$x^4 - 68x^2 + \frac{289 \cdot 256}{353} = 0$.Решим это биквадратное уравнение для $x^2$:$D_{x^2} = (-68)^2 - 4 \cdot \frac{289 \cdot 256}{353} = 4624 - \frac{295936}{353} = \frac{4624 \cdot 353 - 295936}{353} = \frac{1632272 - 295936}{353} = \frac{1336336}{353} = \frac{1156^2}{353}$.$x^2 = \frac{68 \pm \sqrt{\frac{1156^2}{353}}}{2} = \frac{68 \pm \frac{1156}{\sqrt{353}}}{2} = 34 \pm \frac{578}{\sqrt{353}}$.Тогда $y^2 = 68 - x^2 = 68 - (34 \pm \frac{578}{\sqrt{353}}) = 34 \mp \frac{578}{\sqrt{353}}$.Проверим знак $x^2 - y^2$:$x^2-y^2 = (34 \pm \frac{578}{\sqrt{353}}) - (34 \mp \frac{578}{\sqrt{353}}) = \pm \frac{1156}{\sqrt{353}}$.Так как $xy$ и $x^2-y^2$ должны иметь одинаковый знак, рассмотрим два случая для $xy$:1) $xy = \frac{272}{\sqrt{353}} > 0$. Тогда $x^2-y^2 = \frac{1156}{\sqrt{353}} > 0$. Это соответствует $x^2 = 34 + \frac{578}{\sqrt{353}}$ и $y^2 = 34 - \frac{578}{\sqrt{353}}$. Так как $xy>0$, $x$ и $y$ имеют одинаковый знак.2) $xy = -\frac{272}{\sqrt{353}} < 0$. Тогда $x^2-y^2 = -\frac{1156}{\sqrt{353}} < 0$. Это соответствует $x^2 = 34 - \frac{578}{\sqrt{353}}$ и $y^2 = 34 + \frac{578}{\sqrt{353}}$. Так как $xy<0$, $x$ и $y$ имеют разные знаки.Оба случая приводят к одинаковым наборам решений.
Ответ: $(\sqrt{34 + \frac{578}{\sqrt{353}}}, \sqrt{34 - \frac{578}{\sqrt{353}}})$; $(-\sqrt{34 + \frac{578}{\sqrt{353}}}, -\sqrt{34 - \frac{578}{\sqrt{353}}})$; $(\sqrt{34 - \frac{578}{\sqrt{353}}}, -\sqrt{34 + \frac{578}{\sqrt{353}}})$; $(-\sqrt{34 - \frac{578}{\sqrt{353}}}, \sqrt{34 + \frac{578}{\sqrt{353}}})$.

3)Дана система уравнений:$\begin{cases} x + y = 2 \\\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 3 \end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.Преобразуем второе уравнение, приведя к общему знаменателю:$\frac{x^3 + y^3}{xy} = 3 \implies x^3 + y^3 = 3xy$.Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.Также $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.Подставим это в формулу суммы кубов: $x^3+y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$.Подставим известные значения из системы: $x+y=2$.$2(2^2 - 3xy) = 3xy$$2(4 - 3xy) = 3xy$$8 - 6xy = 3xy$$8 = 9xy$$xy = \frac{8}{9}$Теперь мы имеем систему из основных симметрических многочленов:$\begin{cases} x + y = 2 \\xy = \frac{8}{9} \end{cases}$Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.$t^2 - 2t + \frac{8}{9} = 0$Умножим на 9:$9t^2 - 18t + 8 = 0$$D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 324 - 288 = 36 = 6^2$.$t_1 = \frac{18 - 6}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$t_2 = \frac{18 + 6}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ и $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$.
Ответ: $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}), (\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$.

4)Дана система уравнений:$\begin{cases} x + y = 12 \\\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18 \end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.Решение аналогично предыдущему пункту. Преобразуем второе уравнение:$\frac{x^3 + y^3}{xy} = 18 \implies x^3 + y^3 = 18xy$.Используем тождество $x^3+y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$.Подставим $x+y=12$:$12(12^2 - 3xy) = 18xy$$12(144 - 3xy) = 18xy$Разделим обе части на 6:$2(144 - 3xy) = 3xy$$288 - 6xy = 3xy$$288 = 9xy$$xy = \frac{288}{9} = 32$Получили систему:$\begin{cases} x + y = 12 \\xy = 32 \end{cases}$$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$.По теореме Виета, корни равны 4 и 8, так как $4+8=12$ и $4 \cdot 8=32$.Либо через дискриминант:$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 = 4^2$.$t_1 = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$$t_2 = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$Решениями системы являются пары чисел $(4, 8)$ и $(8, 4)$.
Ответ: $(4, 8), (8, 4)$.

3.25. Найдите решение системы уравнений:

1)

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ xy = 36; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ xy = 4; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 10. \end{cases}$

1) $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ xy = 36 \end{cases} $

Определим область допустимых значений. Так как в уравнениях присутствуют $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$, должно выполняться $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Из второго уравнения $xy=36$ следует, что $x$ и $y$ не могут быть равны нулю, поэтому $x > 0$ и $y > 0$.

Введем новые переменные: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то и для новых переменных $a > 0$ и $b > 0$.Первое уравнение системы примет вид $a + b = 5$.Второе уравнение $xy=36$ можно преобразовать, извлекая квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{xy} = \sqrt{36}$, что равносильно $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 6$. В новых переменных это уравнение запишется как $ab = 6$.Таким образом, мы получаем новую систему уравнений: $ \begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6 \end{cases} $.

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.Корни: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ и $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.Следовательно, для пары $(a, b)$ возможны два варианта: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.
1. Если $a=2$ и $b=3$, то $\sqrt{x}=2$ и $\sqrt{y}=3$. Возведя в квадрат, получаем $x=4$ и $y=9$.
2. Если $a=3$ и $b=2$, то $\sqrt{x}=3$ и $\sqrt{y}=2$. Возведя в квадрат, получаем $x=9$ и $y=4$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 9), (9, 4)$.

2) $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ xy = 4 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Из второго уравнения $xy=4$ следует, что $x>0, y>0$. Кроме того, из первого уравнения $\sqrt{x} = 1 + \sqrt{y}$ следует, что $\sqrt{x} > \sqrt{y}$, а значит $x > y$.

Введем замену переменных: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a > 0$ и $b > 0$.Из второго уравнения исходной системы $xy=4$ следует, что $\sqrt{xy}=2$, то есть $ab=2$.Система в новых переменных имеет вид: $ \begin{cases} a - b = 1, \\ ab = 2 \end{cases} $.

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 1 + b$. Подставим это выражение во второе уравнение: $(1+b)b = 2$, что приводит к квадратному уравнению $b^2 + b - 2 = 0$.Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.Корни: $b_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$ и $b_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1$.Так как по определению $b = \sqrt{y} > 0$, корень $b_1 = -2$ является посторонним.

Единственное подходящее значение $b=1$. Тогда $a = 1 + b = 1 + 1 = 2$.Выполним обратную замену:
$\sqrt{y} = b = 1 \implies y = 1^2 = 1$.
$\sqrt{x} = a = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
Получили решение $(4, 1)$. Проверка подтверждает его правильность.

Ответ: $(4, 1)$.

3) $ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 10 \end{cases} $

ОДЗ: из-за наличия дробей под корнем, $x$ и $y$ должны быть одного знака и не равны нулю. Из второго уравнения $x+y=10$ следует, что их сумма положительна, поэтому оба числа должны быть положительными: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы. Приведем левую часть к общему знаменателю:$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{y})^2}{\sqrt{y}\sqrt{x}} = \frac{x+y}{\sqrt{xy}}$.Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде $\frac{x+y}{\sqrt{xy}} = \frac{5}{2}$.

Подставим в это уравнение значение $x+y=10$ из второго уравнения системы: $\frac{10}{\sqrt{xy}} = \frac{5}{2}$.Отсюда находим $\sqrt{xy}$: $5\sqrt{xy} = 20$, то есть $\sqrt{xy} = 4$.Возведя обе части в квадрат, получим $xy=16$.

Теперь исходная система эквивалентна более простой системе:$ \begin{cases} x + y = 10, \\ xy = 16 \end{cases} $.По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 10z + 16 = 0$.Найдем корни. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.Корни: $z_1 = \frac{10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{10-6}{2} = 2$ и $z_2 = \frac{10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10+6}{2} = 8$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 8)$ и $(8, 2)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 8), (8, 2)$.

22.5. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin x + \cos x}{1 + \operatorname{tg} x} = \cos x;$

2) $\frac{\operatorname{ctg} x - 1}{\sin x - \cos x} = -\sin x;$

3) $\frac{1 + \operatorname{ctg} x}{\sin x + \cos x} = \sin x;$

4) $\frac{\sin x - \cos x}{1 - \operatorname{tg} x} = -\cos x.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Используем определение тангенса: $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

$ \frac{\sin x + \cos x}{1 + \text{tg}x} = \frac{\sin x + \cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} $

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$ \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} $

Разделим числитель на знаменатель, для этого умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$ (\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x + \cos x) $ в числителе и знаменателе, при условии, что $ \sin x + \cos x \neq 0 $:

$ \cos x $

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin x + \cos x}{1 + \text{tg}x} = \cos x $.

2)

Преобразуем левую часть выражения. Используем определение котангенса: $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $.

$ \frac{\text{ctg}x - 1}{\sin x - \cos x} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x} - 1}{\sin x - \cos x} $

Приведем выражение в числителе к общему знаменателю:

$ \frac{\frac{\cos x - \sin x}{\sin x}}{\sin x - \cos x} $

Вынесем знак минус за скобки в числителе верхней дроби:

$ \frac{\frac{-(\sin x - \cos x)}{\sin x}}{\sin x - \cos x} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{-(\sin x - \cos x)}{\sin x \cdot (\sin x - \cos x)} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x - \cos x) $, при условии, что $ \sin x - \cos x \neq 0 $:

$ -\frac{1}{\sin x} $

Таким образом, левая часть выражения равна $ -\frac{1}{\sin x} $, а не $ -\sin x $. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Доказанное верное тождество:

Ответ: $ \frac{\text{ctg}x - 1}{\sin x - \cos x} = -\frac{1}{\sin x} $.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Используем определение котангенса: $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $.

$ \frac{1 + \text{ctg}x}{\sin x + \cos x} = \frac{1 + \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x + \cos x} $

Приведем выражение в числителе к общему знаменателю:

$ \frac{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}}{\sin x + \cos x} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cdot (\sin x + \cos x)} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x + \cos x) $, при условии, что $ \sin x + \cos x \neq 0 $:

$ \frac{1}{\sin x} $

Таким образом, левая часть выражения равна $ \frac{1}{\sin x} $, а не $ \sin x $. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Доказанное верное тождество:

Ответ: $ \frac{1 + \text{ctg}x}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{\sin x} $.

4)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Используем определение тангенса: $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

$ \frac{\sin x - \cos x}{1 - \text{tg}x} = \frac{\sin x - \cos x}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}} $

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$ \frac{\sin x - \cos x}{\frac{\cos x - \sin x}{\cos x}} $

Разделим числитель на знаменатель, умножив на обратную дробь. Для удобства вынесем $ -1 $ в знаменателе:

$ (\sin x - \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} = (\sin x - \cos x) \cdot \frac{\cos x}{-(\sin x - \cos x)} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x - \cos x) $, при условии, что $ \sin x - \cos x \neq 0 $:

$ -\cos x $

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin x - \cos x}{1 - \text{tg}x} = -\cos x $.

22.6. Преобразуйте выражение:

1) $\cos^2 \alpha + \frac{\text{tg}^2 \alpha - 1}{\text{tg}^2 \alpha + 1}$;

2) $\sin^2 \varphi + \frac{\text{ctg}^2 \varphi - 1}{\text{ctg}^2 \varphi + 1}$;

3) $\frac{\text{ctg}^2 \gamma - 1}{\text{ctg}^2 \gamma + 1} - \cos^2 \gamma$;

4) $\frac{\text{tg}^2 x - 1}{\text{tg}^2 x + 1} - \sin^2 x$.

1)Исходное выражение: $cos^2 \alpha + \frac{\text{tg}^2 \alpha - 1}{\text{tg}^2 \alpha + 1}$.
Для преобразования дроби воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Заменим $\text{tg} \alpha$ на $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$\frac{\text{tg}^2 \alpha - 1}{\text{tg}^2 \alpha + 1} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1}$
Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $\cos^2 \alpha$:
$\frac{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, упростим знаменатель дроби:
$\frac{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$cos^2 \alpha + (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Ответ: $\sin^2 \alpha$.

2)Исходное выражение: $\sin^2 \phi + \frac{\text{ctg}^2 \phi - 1}{\text{ctg}^2 \phi + 1}$.
Преобразуем дробь, используя тождество $\text{ctg} \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi}$:
$\frac{\text{ctg}^2 \phi - 1}{\text{ctg}^2 \phi + 1} = \frac{\frac{\cos^2 \phi}{\sin^2 \phi} - 1}{\frac{\cos^2 \phi}{\sin^2 \phi} + 1}$
Приведем числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю $\sin^2 \phi$:
$\frac{\frac{\cos^2 \phi - \sin^2 \phi}{\sin^2 \phi}}{\frac{\cos^2 \phi + \sin^2 \phi}{\sin^2 \phi}}$
Так как $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$, получаем:
$\frac{\frac{\cos^2 \phi - \sin^2 \phi}{\sin^2 \phi}}{\frac{1}{\sin^2 \phi}} = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi$
Подставим результат в исходное выражение:
$\sin^2 \phi + (\cos^2 \phi - \sin^2 \phi) = \sin^2 \phi + \cos^2 \phi - \sin^2 \phi = \cos^2 \phi$.
Ответ: $\cos^2 \phi$.

3)Исходное выражение: $\frac{\text{ctg}^2 \gamma - 1}{\text{ctg}^2 \gamma + 1} - \cos^2 \gamma$.
Аналогично предыдущему пункту, преобразуем дробную часть. Мы уже выяснили, что:
$\frac{\text{ctg}^2 \gamma - 1}{\text{ctg}^2 \gamma + 1} = \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma$
Подставим это выражение в исходное:
$(\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma) - \cos^2 \gamma = \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma - \cos^2 \gamma = -\sin^2 \gamma$.
Ответ: $-\sin^2 \gamma$.

4)Исходное выражение: $\frac{\text{tg}^2 x - 1}{\text{tg}^2 x + 1} - \sin^2 x$.
Аналогично первому пункту, преобразуем дробь. Мы уже установили, что:
$\frac{\text{tg}^2 x - 1}{\text{tg}^2 x + 1} = \sin^2 x - \cos^2 x$
Подставим это выражение в исходное:
$(\sin^2 x - \cos^2 x) - \sin^2 x = \sin^2 x - \cos^2 x - \sin^2 x = -\cos^2 x$.
Ответ: $-\cos^2 x$.

22.7. Упростите выражение:

1) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$;

2) $\frac{2\sin^2 \alpha - 1}{\sin\alpha + \cos\alpha}$;

3) $\frac{\cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \text{tg}^3 \alpha}$;

4) $\text{ctg}\beta + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta}$.

1)

Для упрощения данного выражения представим котангенсы в знаменателе через тангенсы, используя тождество $\text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x}$.

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta$:

$\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta} = \frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$(\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$

Сокращаем одинаковые множители $(\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta)$ в числителе и знаменателе и получаем конечный результат:

$\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta$

Ответ: $\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta$

2)

Для упрощения этого выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Заменим $1$ в числителе на это выражение:

$\frac{2\sin^2\alpha - 1}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2\sin^2\alpha - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Сокращаем общий множитель $(\sin\alpha + \cos\alpha)$ в числителе и знаменателе:

$\sin\alpha - \cos\alpha$

Ответ: $\sin\alpha - \cos\alpha$

3)

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Преобразуем числитель:

$\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha = \cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \cos^2\alpha \left(1 - \frac{1}{\sin^2\alpha}\right) = \cos^2\alpha \left(\frac{\sin^2\alpha - 1}{\sin^2\alpha}\right)$

Используя тождество $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$, получаем:

$\cos^2\alpha \left(\frac{-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right) = -\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}$

Теперь преобразуем знаменатель:

$\sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2\alpha}\right) = \sin^2\alpha \left(\frac{\cos^2\alpha - 1}{\cos^2\alpha}\right)$

Используя тождество $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$, получаем:

$\sin^2\alpha \left(\frac{-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right) = -\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{-\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{-\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{\cos^6\alpha}{\sin^6\alpha} = \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^6 = \text{ctg}^6\alpha$

Ответ: $\text{ctg}^6\alpha$

4)

Для упрощения выражения представим котангенс через синус и косинус и приведем сумму к общему знаменателю.

$\text{ctg}\beta + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta}$

Общий знаменатель будет $\sin\beta(1 + \cos\beta)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{\cos\beta(1 + \cos\beta)}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} + \frac{\sin\beta \cdot \sin\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)}$

Сложим числители:

$\frac{\cos\beta(1 + \cos\beta) + \sin^2\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} = \frac{\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$, заменим сумму квадратов в числителе на единицу:

$\frac{\cos\beta + 1}{\sin\beta(1 + \cos\beta)}$

Сократим общий множитель $(1 + \cos\beta)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sin\beta}$

Ответ: $\frac{1}{\sin\beta}$

22.8. Докажите тождество:

1) $sin^2 x - cos^2 x = sin^4 x - cos^4 x;$

2) $(1 + cosa) (1 + tga ) = 1 + sina + cosa + tga;$

3) $(tgx + ctgx)^2 - (tgx - ctgx)^2 = 4;$

4) $(sina + cosa)^2 + (sina - cosa)^2 = 2;$

5) $sin^3 x (1 + ctgx) + cos^3 x (1 + tgx) = sinx + cosx;$

6) $\frac{(sina + cosa)^2 - 1}{ctga - sina cosa} = 2tg^2 a.$

1) Для доказательства тождества $sin^2 x - cos^2 x = sin^4 x - cos^4 x$ преобразуем его правую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$sin^4 x - cos^4 x = (sin^2 x)^2 - (cos^2 x)^2 = (sin^2 x - cos^2 x)(sin^2 x + cos^2 x)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$.
$(sin^2 x - cos^2 x)(sin^2 x + cos^2 x) = (sin^2 x - cos^2 x) \cdot 1 = sin^2 x - cos^2 x$.
Правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(1 + cosa)(1 + tga) = 1 + sina + cosa + tga$ преобразуем его левую часть, раскрыв скобки.
$(1 + cosa)(1 + tga) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot tga + cosa \cdot 1 + cosa \cdot tga = 1 + tga + cosa + cosa \cdot tga$.
Используем определение тангенса $tga = \frac{sina}{cosa}$.
$1 + tga + cosa + cosa \cdot \frac{sina}{cosa} = 1 + tga + cosa + sina$.
Переставив слагаемые, получаем $1 + sina + cosa + tga$, что равно правой части тождества.
Ответ: тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(tgx + ctgx)^2 - (tgx - ctgx)^2 = 4$ используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$((tgx + ctgx) - (tgx - ctgx)) \cdot ((tgx + ctgx) + (tgx - ctgx))$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
Первая скобка: $tgx + ctgx - tgx + ctgx = 2ctgx$.
Вторая скобка: $tgx + ctgx + tgx - ctgx = 2tgx$.
Перемножим полученные выражения: $2ctgx \cdot 2tgx = 4 \cdot ctgx \cdot tgx$.
Так как $ctgx \cdot tgx = 1$, получаем $4 \cdot 1 = 4$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $(sina + cosa)^2 + (sina - cosa)^2 = 2$ раскроем скобки в левой части, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.
$(sina + cosa)^2 = sin^2a + 2sinacosa + cos^2a$.
$(sina - cosa)^2 = sin^2a - 2sinacosa + cos^2a$.
Сложим эти два выражения:
$(sin^2a + 2sinacosa + cos^2a) + (sin^2a - 2sinacosa + cos^2a) = sin^2a + cos^2a + sin^2a + cos^2a + 2sinacosa - 2sinacosa$.
Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $sin^2a + cos^2a = 1$:
$(sin^2a + cos^2a) + (sin^2a + cos^2a) = 1 + 1 = 2$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

5) Для доказательства тождества $sin^3x(1 + ctgx) + cos^3x(1 + tgx) = sinx + cosx$ преобразуем левую часть.
Заменим $ctgx = \frac{cosx}{sinx}$ и $tgx = \frac{sinx}{cosx}$.
$sin^3x(1 + \frac{cosx}{sinx}) + cos^3x(1 + \frac{sinx}{cosx}) = sin^3x \cdot 1 + sin^3x \frac{cosx}{sinx} + cos^3x \cdot 1 + cos^3x \frac{sinx}{cosx}$.
$sin^3x + sin^2x cosx + cos^3x + cos^2x sinx$.
Сгруппируем слагаемые: $(sin^3x + cos^3x) + (sin^2x cosx + cos^2x sinx)$.
Разложим на множители каждую группу. Сумма кубов: $sin^3x + cos^3x = (sinx + cosx)(sin^2x - sinxcosx + cos^2x) = (sinx + cosx)(1 - sinxcosx)$.
Вторая группа: $sin^2x cosx + cos^2x sinx = sinxcosx(sinx + cosx)$.
Подставим обратно в выражение:
$(sinx + cosx)(1 - sinxcosx) + sinxcosx(sinx + cosx)$.
Вынесем общий множитель $(sinx + cosx)$ за скобки:
$(sinx + cosx)((1 - sinxcosx) + sinxcosx) = (sinx + cosx)(1) = sinx + cosx$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

6) Для доказательства тождества $\frac{(sina + cosa)^2 - 1}{ctga - sinacosa} = 2tg^2a$ преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части.
Числитель: $(sina + cosa)^2 - 1 = (sin^2a + 2sinacosa + cos^2a) - 1$.
Так как $sin^2a + cos^2a = 1$, получаем: $(1 + 2sinacosa) - 1 = 2sinacosa$.
Знаменатель: $ctga - sinacosa = \frac{cosa}{sina} - sinacosa$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{cosa}{sina} - \frac{sin^2acosa}{sina} = \frac{cosa - sin^2acosa}{sina}$.
Вынесем $cosa$ в числителе за скобку: $\frac{cosa(1 - sin^2a)}{sina}$.
Используя тождество $1 - sin^2a = cos^2a$, получаем: $\frac{cosa \cdot cos^2a}{sina} = \frac{cos^3a}{sina}$.
Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$\frac{2sinacosa}{\frac{cos^3a}{sina}} = 2sinacosa \cdot \frac{sina}{cos^3a} = \frac{2sin^2acosa}{cos^3a} = \frac{2sin^2a}{cos^2a}$.
Так как $\frac{sin^2a}{cos^2a} = tg^2a$, выражение равно $2tg^2a$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

*22.9. Докажите, что при всех допустимых значениях α верно равенство:

1) $3\sin^2 \alpha \cos^2\alpha + \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1;$

2) $\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} - \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\mathrm{tg}^2 \alpha - 1} = \sin \alpha + \cos \alpha.$

1) Докажем тождество $3\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1$.

Для доказательства воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Возведем обе части этого тождества в куб:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^3 = 1^3$

Раскроем левую часть по формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$. Тогда:

$(\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1$

Упростим выражение, зная, что $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(1) = 1$

Перегруппируем слагаемые, чтобы получить исходное выражение:

$3\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1$

Мы преобразовали основное тригонометрическое тождество и получили доказываемое равенство. Следовательно, равенство верно при всех допустимых значениях $\alpha$ (в данном случае, при любых действительных $\alpha$).

Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} - \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\tan^2\alpha - 1} = \sin\alpha + \cos\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $\sin\alpha - \cos\alpha \neq 0$, $\tan^2\alpha - 1 \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$.

Сначала упростим знаменатель второй дроби:

$\tan^2\alpha - 1 = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

Используем формулу разности квадратов $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$\tan^2\alpha - 1 = \frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos^2\alpha}$

Теперь подставим это выражение во вторую дробь:

$\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\tan^2\alpha - 1} = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos^2\alpha}} = \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)\cos^2\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}$

В ОДЗ $\sin\alpha + \cos\alpha \neq 0$ (так как $\tan\alpha \neq -1$), поэтому можно сократить эту скобку:

$\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

Теперь подставим упрощенную вторую дробь в исходное выражение:

$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

Так как знаменатели одинаковы, объединим дроби:

$\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

Снова применим формулу разности квадратов к числителю:

$\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

В ОДЗ $\sin\alpha - \cos\alpha \neq 0$, поэтому сокращаем этот множитель:

$\sin\alpha + \cos\alpha$

В результате преобразований левая часть равенства стала равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.