Страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Будут ли равносильными системы двух уравнений с двумя переменными, если вторая система получена из первой способом умножения или деления уравнений первой системы?

2. Какое уравнение с двумя переменными является однородным уравнением с двумя переменными?

1. Нет, в общем случае системы не будут равносильными. Равносильными называются системы уравнений, множества решений которых совпадают. Умножение или деление уравнений системы друг на друга является неравносильным преобразованием, так как оно может привести к появлению посторонних решений или к потере существующих решений.

Рассмотрим исходную систему уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} f_1(x, y) = 0 \\ f_2(x, y) = 0 \end{cases} $

Решением этой системы является любая пара $(x, y)$, которая одновременно обращает в верное равенство и первое, и второе уравнение.

Умножение уравнений

Предположим, мы заменяем второе уравнение $f_2(x, y) = 0$ на произведение первого и второго уравнений, получая новую систему:

$ \begin{cases} f_1(x, y) = 0 \\ f_1(x, y) \cdot f_2(x, y) = 0 \end{cases} $

Любое решение исходной системы будет решением и новой системы. Однако новая система может иметь решения, которые не являются решениями исходной. Так как первое уравнение новой системы $f_1(x, y) = 0$, то второе уравнение $f_1(x, y) \cdot f_2(x, y) = 0$ автоматически превращается в $0 \cdot f_2(x, y) = 0$, то есть в тождество $0 = 0$. Это означает, что решением новой системы будет любая пара $(x, y)$, удовлетворяющая первому уравнению $f_1(x, y) = 0$, независимо от того, удовлетворяет ли она второму уравнению $f_2(x, y) = 0$. Таким образом, мы получаем посторонние решения.

Пример:

Исходная система: $ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} $ Эта система имеет единственное решение: $(2, 3)$.

Новая система, полученная умножением: $ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ (x - 2)(y - 3) = 0 \end{cases} $ Из первого уравнения следует, что $x = 2$. Подставив это во второе уравнение, получим $(2-2)(y-3)=0$, то есть $0 \cdot (y-3)=0$. Это равенство верно для любого значения $y$. Следовательно, решением новой системы является любая пара вида $(2, y)$, где $y$ — любое действительное число. Множество решений новой системы (прямая линия) шире, чем множество решений исходной (одна точка). Значит, системы не равносильны.

Деление уравнений

При делении одного уравнения на другое, например, при замене $f_2(x, y) = 0$ на $\frac{f_1(x, y)}{f_2(x, y)} = 0$, возникает ограничение: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $f_2(x, y) \neq 0$. Это противоречит самому уравнению $f_2(x, y) = 0$, которое мы делим. Если же делить уравнение $f_1(x, y) = g_1(x, y)$ на $f_2(x, y) = g_2(x, y)$, то мы вводим ограничения $f_2(x, y) \neq 0$ и $g_2(x, y) \neq 0$. Это может привести к потере тех решений исходной системы, для которых эти выражения обращались в ноль.

Пример:

Исходная система: $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases} $ Эта система имеет два решения: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Получим новое уравнение, разделив первое уравнение на второе (почленно): $\frac{y}{y} = \frac{x^2}{x}$. Это преобразование законно только при $y \neq 0$ и $x \neq 0$. Оно дает нам уравнение $1=x$. Составим новую систему: $ \begin{cases} y = x \\ x = 1 \end{cases} $ Эта система имеет единственное решение: $(1, 1)$. Решение $(0, 0)$ было потеряно, так как при выполнении деления мы неявно предположили, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Следовательно, системы не равносильны.

Ответ: Нет, системы, полученные умножением или делением уравнений, в общем случае не будут равносильны исходным, так как умножение может привести к появлению посторонних решений, а деление — к потере решений.

2. Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ вида $P(x, y) = 0$ называется однородным, если функция $P(x, y)$ является однородной функцией. Функция $P(x, y)$ называется однородной степени $k$, если для любого действительного числа $t \neq 0$ выполняется тождество:

$P(tx, ty) = t^k P(x, y)$

На практике, когда речь идет об алгебраических уравнениях, однородным уравнением называют такое уравнение $P(x, y) = 0$, где $P(x, y)$ — многочлен (полином), у которого все его члены (одночлены) имеют одну и ту же степень. Степенью одночлена $a x^n y^m$ называется сумма показателей степеней переменных, то есть $n+m$.

Ключевая особенность геометрического смысла однородных уравнений: если пара чисел $(x_0, y_0)$ является решением однородного уравнения, то и любая пара вида $(tx_0, ty_0)$ для любого $t$ также будет его решением. Это означает, что множество решений (если оно непустое) представляет собой набор прямых, проходящих через начало координат.

Примеры однородных уравнений:

• $2x - 3y = 0$ — однородное уравнение 1-й степени. Степень члена $2x$ равна 1, степень члена $-3y$ равна 1.
• $x^2 + 5xy - 4y^2 = 0$ — однородное уравнение 2-й степени. Степени членов $x^2$, $5xy$ ($1+1=2$) и $-4y^2$ равны 2.
• $x^3 - 7x^2y + y^3 = 0$ — однородное уравнение 3-й степени. Степени всех членов равны 3.

Примеры уравнений, не являющихся однородными:

• $x^2 + y = 0$ — не является однородным, так как степень члена $x^2$ равна 2, а степень члена $y$ равна 1.
• $x + y = 1$ — не является однородным, так как свободный член 1 можно рассматривать как $1 \cdot x^0 y^0$, его степень равна 0, в то время как степени членов $x$ и $y$ равны 1.

Ответ: Однородное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида $P(x, y) = 0$, где $P(x, y)$ — многочлен, все члены которого имеют одинаковую суммарную степень переменных.

3.1. Найдите координаты точек, в которых пересекаются:

1) парабола, заданная формулой $y = x^2 - 6x + 5$, и прямая, заданная формулой $y = 3x - 3$;

2) окружность, заданная формулой $x^2 + y^2 = 16$, и прямая, заданная формулой $y = x + 4$;

3) окружность, заданная формулой $x^2 + y^2 = 25$, и парабола, заданная формулой $y = x^2 + 5$.

1) Чтобы найти координаты точек пересечения параболы $y = x^2 - 6x + 5$ и прямой $y = 3x - 3$, нужно решить систему этих уравнений. Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):
$x^2 - 6x + 5 = 3x - 3$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 3x + 5 + 3 = 0$
$x^2 - 9x + 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 9, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в уравнение прямой $y = 3x - 3$:
При $x_1 = 1$: $y_1 = 3(1) - 3 = 3 - 3 = 0$.
При $x_2 = 8$: $y_2 = 3(8) - 3 = 24 - 3 = 21$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.
Ответ: $(1; 0)$ и $(8; 21)$.

2) Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 16$ и прямой $y = x + 4$, решим систему этих уравнений. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x^2 + (x + 4)^2 = 16$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (x^2 + 8x + 16) = 16$
$2x^2 + 8x + 16 - 16 = 0$
$2x^2 + 8x = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x + 4) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$2x = 0 \implies x_1 = 0$
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя уравнение прямой $y = x + 4$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = 0 + 4 = 4$.
При $x_2 = -4$: $y_2 = -4 + 4 = 0$.
Получили две точки пересечения.
Ответ: $(0; 4)$ и $(-4; 0)$.

3) Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 25$ и параболы $y = x^2 + 5$, решим систему этих уравнений. Из уравнения параболы выразим $x^2$: $x^2 = y - 5$. Подставим это выражение в уравнение окружности:
$(y - 5) + y^2 = 25$
Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 + y - 5 - 25 = 0$
$y^2 + y - 30 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -30. Корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя выражение $x^2 = y - 5$:
При $y_1 = 5$: $x^2 = 5 - 5 = 0 \implies x = 0$. Получаем точку $(0; 5)$.
При $y_2 = -6$: $x^2 = -6 - 5 = -11$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, существует только одна точка пересечения.
Ответ: $(0; 5)$.

21.29. Проверьте тождество:

1) $\sin^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ - \text{tg} 45^\circ = 0;$

2) $\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ - \text{ctg} 45^\circ = 0.$

1) Для проверки тождества $sin^2 60^\circ + cos^2 60^\circ - tg 45^\circ = 0$ рассмотрим его левую часть. Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество, которое гласит, что для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Применим это тождество для угла $\alpha = 60^\circ$:

$sin^2 60^\circ + cos^2 60^\circ = 1$.

Теперь заменим сумму квадратов синуса и косинуса в исходном выражении на 1:

$1 - tg 45^\circ$.

Значение тангенса $45^\circ$ является известной величиной: $tg 45^\circ = 1$.

Подставив это значение, получаем:

$1 - 1 = 0$.

Таким образом, левая часть выражения равна правой части ($0 = 0$), что подтверждает верность тождества.

Ответ: тождество верно.

2) Для проверки тождества $sin^2 45^\circ + cos^2 45^\circ - ctg 45^\circ = 0$ поступим аналогичным образом. Преобразуем левую часть выражения, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Для угла $\alpha = 45^\circ$ это тождество также справедливо:

$sin^2 45^\circ + cos^2 45^\circ = 1$.

Подставим это значение в левую часть исходного равенства:

$1 - ctg 45^\circ$.

Значение котангенса $45^\circ$ является табличным значением: $ctg 45^\circ = 1$.

Выполним вычитание:

$1 - 1 = 0$.

Левая часть выражения оказалась равна правой ($0 = 0$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество верно.

21.30. В каких четвертях $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ принимают значения:

1) одного знака;

2) разных знаков?

Для определения знаков тригонометрических функций $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ в разных четвертях используется единичная окружность в декартовой системе координат. По определению, для точки на окружности, соответствующей углу $\alpha$, ее абсцисса (координата по оси x) равна $\cos \alpha$, а ее ордината (координата по оси y) равна $\sin \alpha$. Знак координаты зависит от четверти, в которой находится точка.

Проанализируем знаки в каждой координатной четверти:
I четверть (от 0° до 90°): x > 0, y > 0. Следовательно, $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$.
II четверть (от 90° до 180°): x < 0, y > 0. Следовательно, $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha > 0$.
III четверть (от 180° до 270°): x < 0, y < 0. Следовательно, $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha < 0$.
IV четверть (от 270° до 360°): x > 0, y < 0. Следовательно, $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha < 0$.

1) одного знака;

Функции $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ принимают значения одного знака, когда они обе положительны или обе отрицательны. Исходя из анализа по четвертям, это происходит:
- в I четверти, где $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$ (оба положительны);
- в III четверти, где $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$ (оба отрицательны).
Ответ: в I и III четвертях.

2) разных знаков?

Функции $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ принимают значения разных знаков, когда одна из них положительна, а другая отрицательна. Исходя из анализа по четвертям, это происходит:
- во II четверти, где $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$;
- в IV четверти, где $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Ответ: во II и IV четвертях.