Страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.2. Способом подстановки решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 6, \\ x + xy = -4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 9, \\ x + y^2 = 29; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 - 2y = 26; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - y = -8, \\ x^2 + y = 14; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x - 1 = y^2, \\ y - x + 3 = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 0,5x - 1 = y^2, \\ y + 3x - 7 = 0; \end{cases}$

7) $\begin{cases} xy = -7, \\ y - x - 8 = 0; \end{cases}$

8) $\begin{cases} x + y - 5 = 0, \\ y \cdot x - 6 = 0. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - y = 6 \\ x + xy = -4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 6 + y$.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(6 + y) + (6 + y)y = -4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6 + y + 6y + y^2 = -4$

$y^2 + 7y + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета находим корни:

$y_1 = -2$, $y_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, подставив значения $y$ в выражение $x = 6 + y$:

Если $y_1 = -2$, то $x_1 = 6 + (-2) = 4$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 6 + (-5) = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4; -2)$, $(1; -5)$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y = 9 \\ x + y^2 = 29 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 9 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(9 - y) + y^2 = 29$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 - y + 9 - 29 = 0$

$y^2 - y - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$y_1 = 5$, $y_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 9 - 5 = 4$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 9 - (-4) = 13$.

Ответ: $(4; 5)$, $(13; -4)$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 - 2y = 26 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x - 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - 2(x - 1) = 26$

$x^2 - 2x + 2 = 26$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$x_1 = 6$, $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 - 1 = -5$.

Ответ: $(6; 5)$, $(-4; -5)$.

4) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - y = -8 \\ x^2 + y = 14 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x + 8$.

Подставим во второе уравнение:

$x^2 + (x + 8) = 14$

$x^2 + x + 8 - 14 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 + 8 = 10$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -3 + 8 = 5$.

Ответ: $(2; 10)$, $(-3; 5)$.

5) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - 1 = y^2 \\ y - x + 3 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 3$.

Подставим в первое уравнение:

$(y + 3) - 1 = y^2$

$y + 2 = y^2$

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$y_1 = 2$, $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 + 3 = 2$.

Ответ: $(5; 2)$, $(2; -1)$.

6) Дана система уравнений: $\begin{cases} 0,5x - 1 = y^2 \\ y + 3x - 7 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - 3x$.

Подставим в первое уравнение:

$0,5x - 1 = (7 - 3x)^2$

$0,5x - 1 = 49 - 42x + 9x^2$

$9x^2 - 42x - 0,5x + 49 + 1 = 0$

$9x^2 - 42,5x + 50 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$18x^2 - 85x + 100 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-85)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 \pm 5}{2 \cdot 18} = \frac{85 \pm 5}{36}$

$x_1 = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2} = 2,5$

$x_2 = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2,5$, то $y_1 = 7 - 3 \cdot 2,5 = 7 - 7,5 = -0,5$.

Если $x_2 = \frac{20}{9}$, то $y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21 - 20}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $(2,5; -0,5)$, $(\frac{20}{9}; \frac{1}{3})$.

7) Дана система уравнений: $\begin{cases} xy = -7 \\ y - x - 8 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = x + 8$.

Подставим в первое уравнение:

$x(x + 8) = -7$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$x_1 = -1$, $x_2 = -7$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = -1$, то $y_1 = -1 + 8 = 7$.

Если $x_2 = -7$, то $y_2 = -7 + 8 = 1$.

Ответ: $(-1; 7)$, $(-7; 1)$.

8) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y - 5 = 0 \\ y \cdot x - 6 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - x$.

Подставим во второе уравнение (учитывая, что $y \cdot x = xy$):

$(5 - x)x = 6$

$5x - x^2 = 6$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.

3.3. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x + 1 = -y \\ xy + 3x - 1 = 0 \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^2 - 4 = -y \\ 3y - x = -14 \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 4x + 3 = 4y^2 \\ 3y - x - 2 = 0 \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x + 1 = 2y \\ 5xy + y^2 - 16 = 0 \end{cases}$

5)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ y - x + 3 = 0 \end{cases}$

6)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ 4y - 3x = 0 \end{cases}$

7)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 8.5 \\ y - x + 4 = 0 \end{cases}$

8)

$\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ 2y + x - 3 = 0 \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 1 = -y \\ xy + 3x - 1 = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим y:
$ y = -(x + 1) = -x - 1 $
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$ x(-x - 1) + 3x - 1 = 0 $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ -x^2 - x + 3x - 1 = 0 $
$ -x^2 + 2x - 1 = 0 $
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$ x^2 - 2x + 1 = 0 $
Левая часть уравнения является полным квадратом разности:
$ (x - 1)^2 = 0 $
Отсюда находим значение x:
$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $
Теперь найдем соответствующее значение y, подставив x = 1 в выражение $ y = -x - 1 $:
$ y = -1 - 1 = -2 $
Таким образом, решение системы — пара чисел (1, -2).
Ответ: (1, -2).

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 4 = -y \\ 3y - x = -14 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим y:
$ y = -(2x^2 - 4) = 4 - 2x^2 $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ 3(4 - 2x^2) - x = -14 $
$ 12 - 6x^2 - x = -14 $
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$ -6x^2 - x + 12 + 14 = 0 $
$ -6x^2 - x + 26 = 0 $
Умножим на -1:
$ 6x^2 + x - 26 = 0 $
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(6)(-26) = 1 + 624 = 625 = 25^2 $
$ x_1 = \frac{-1 + 25}{2 \cdot 6} = \frac{24}{12} = 2 $
$ x_2 = \frac{-1 - 25}{2 \cdot 6} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6} $
Теперь найдем соответствующие значения y для каждого x:
Если $ x_1 = 2 $, то $ y_1 = 4 - 2(2^2) = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4 $.
Если $ x_2 = -\frac{13}{6} $, то $ y_2 = 4 - 2\left(-\frac{13}{6}\right)^2 = 4 - 2\left(\frac{169}{36}\right) = 4 - \frac{169}{18} = \frac{72 - 169}{18} = -\frac{97}{18} $.
Ответ: (2, -4), $(-\frac{13}{6}, -\frac{97}{18})$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x + 3 = 4y^2 \\ 3y - x - 2 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим x:
$ x = 3y - 2 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 4(3y - 2) + 3 = 4y^2 $
$ 12y - 8 + 3 = 4y^2 $
$ 12y - 5 = 4y^2 $
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$ 4y^2 - 12y + 5 = 0 $
Решим квадратное уравнение относительно y:
$ D = (-12)^2 - 4(4)(5) = 144 - 80 = 64 = 8^2 $
$ y_1 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5 $
$ y_2 = \frac{12 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5 $
Найдем соответствующие значения x:
Если $ y_1 = 2,5 $, то $ x_1 = 3(2,5) - 2 = 7,5 - 2 = 5,5 $.
Если $ y_2 = 0,5 $, то $ x_2 = 3(0,5) - 2 = 1,5 - 2 = -0,5 $.
Ответ: (5,5; 2,5), (-0,5; 0,5).

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 1 = 2y \\ 5xy + y^2 - 16 = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим x:
$ x = 2y - 1 $
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ 5(2y - 1)y + y^2 - 16 = 0 $
$ 10y^2 - 5y + y^2 - 16 = 0 $
$ 11y^2 - 5y - 16 = 0 $
Решим квадратное уравнение относительно y:
$ D = (-5)^2 - 4(11)(-16) = 25 + 704 = 729 = 27^2 $
$ y_1 = \frac{5 + 27}{2 \cdot 11} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11} $
$ y_2 = \frac{5 - 27}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1 $
Найдем соответствующие значения x:
Если $ y_1 = \frac{16}{11} $, то $ x_1 = 2\left(\frac{16}{11}\right) - 1 = \frac{32}{11} - \frac{11}{11} = \frac{21}{11} $.
Если $ y_2 = -1 $, то $ x_2 = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 $.
Ответ: $(\frac{21}{11}, \frac{16}{11})$, (-3, -1).

5) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ y - x + 3 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим y:
$ y = x - 3 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x^2 + (x - 3)^2 = 17 $
$ x^2 + x^2 - 6x + 9 = 17 $
$ 2x^2 - 6x - 8 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ x^2 - 3x - 4 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения y:
Если $ x_1 = 4 $, то $ y_1 = 4 - 3 = 1 $.
Если $ x_2 = -1 $, то $ y_2 = -1 - 3 = -4 $.
Ответ: (4, 1), (-1, -4).

6) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ 4y - 3x = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим y:
$ 4y = 3x \implies y = \frac{3}{4}x $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x^2 + \left(\frac{3}{4}x\right)^2 = 100 $
$ x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 100 $
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{16x^2 + 9x^2}{16} = 100 $
$ \frac{25x^2}{16} = 100 $
$ x^2 = \frac{100 \cdot 16}{25} = 4 \cdot 16 = 64 $
Отсюда $ x = \pm\sqrt{64} $, то есть $ x_1 = 8 $ и $ x_2 = -8 $.
Найдем соответствующие значения y:
Если $ x_1 = 8 $, то $ y_1 = \frac{3}{4}(8) = 6 $.
Если $ x_2 = -8 $, то $ y_2 = \frac{3}{4}(-8) = -6 $.
Ответ: (8, 6), (-8, -6).

7) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 8,5 \\ y - x + 4 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим y:
$ y = x - 4 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x^2 + (x - 4)^2 = 8,5 $
$ x^2 + x^2 - 8x + 16 = 8,5 $
$ 2x^2 - 8x + 16 - 8,5 = 0 $
$ 2x^2 - 8x + 7,5 = 0 $
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
$ 4x^2 - 16x + 15 = 0 $
Решим квадратное уравнение:
$ D = (-16)^2 - 4(4)(15) = 256 - 240 = 16 = 4^2 $
$ x_1 = \frac{16 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5 $
$ x_2 = \frac{16 - 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5 $
Найдем соответствующие значения y:
Если $ x_1 = 2,5 $, то $ y_1 = 2,5 - 4 = -1,5 $.
Если $ x_2 = 1,5 $, то $ y_2 = 1,5 - 4 = -2,5 $.
Ответ: (2,5; -1,5), (1,5; -2,5).

8) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ 2y + x - 3 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим x:
$ x = 3 - 2y $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ 3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11 $
$ 3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11 $
$ 27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11 $
$ 14y^2 - 36y + 27 - 11 = 0 $
$ 14y^2 - 36y + 16 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ 7y^2 - 18y + 8 = 0 $
Решим квадратное уравнение относительно y:
$ D = (-18)^2 - 4(7)(8) = 324 - 224 = 100 = 10^2 $
$ y_1 = \frac{18 + 10}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2 $
$ y_2 = \frac{18 - 10}{2 \cdot 7} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} $
Найдем соответствующие значения x:
Если $ y_1 = 2 $, то $ x_1 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1 $.
Если $ y_2 = \frac{4}{7} $, то $ x_2 = 3 - 2\left(\frac{4}{7}\right) = 3 - \frac{8}{7} = \frac{21 - 8}{7} = \frac{13}{7} $.
Ответ: (-1, 2), $(\frac{13}{7}, \frac{4}{7})$.

3.4. Найдите решение системы:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = x - y, \\ 2y - 3x + 5 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 3y^2 + 6 - y = 0, \\ 2y - 3x + 2 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y^2 - x - y = 0, \\ 2x + 3y - 1 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - y^2 = xy + 19, \\ y - x + 7 = 0. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}x^2 + y^2 = x - y, \\2y - 3x + 5 = 0;\end{cases}$
Это система, состоящая из уравнения второй степени и линейного уравнения. Для ее решения используем метод подстановки.
Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$2y = 3x - 5 \implies y = \frac{3x - 5}{2}$.
Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + \left(\frac{3x - 5}{2}\right)^2 = x - \left(\frac{3x - 5}{2}\right)$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$x^2 + \frac{(3x-5)^2}{4} = \frac{2x - (3x - 5)}{2}$
$x^2 + \frac{9x^2 - 30x + 25}{4} = \frac{2x - 3x + 5}{2}$
$x^2 + \frac{9x^2 - 30x + 25}{4} = \frac{-x + 5}{2}$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
$4x^2 + (9x^2 - 30x + 25) = 2(-x + 5)$
$4x^2 + 9x^2 - 30x + 25 = -2x + 10$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$13x^2 - 30x + 2x + 25 - 10 = 0$
$13x^2 - 28x + 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-28)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 15 = 784 - 780 = 4 = 2^2$.
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-(-28) + \sqrt{4}}{2 \cdot 13} = \frac{28 + 2}{26} = \frac{30}{26} = \frac{15}{13}$.
$x_2 = \frac{-(-28) - \sqrt{4}}{2 \cdot 13} = \frac{28 - 2}{26} = \frac{26}{26} = 1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в выражение $y = \frac{3x - 5}{2}$:
Для $x_1 = \frac{15}{13}$:
$y_1 = \frac{3 \cdot \frac{15}{13} - 5}{2} = \frac{\frac{45}{13} - \frac{65}{13}}{2} = \frac{-\frac{20}{13}}{2} = -\frac{10}{13}$.
Для $x_2 = 1$:
$y_2 = \frac{3 \cdot 1 - 5}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(1, -1)$, $(\frac{15}{13}, -\frac{10}{13})$.

2) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}2x^2 - 3y^2 + 6 - y = 0, \\2y - 3x + 2 = 0;\end{cases}$
Используем метод подстановки. Из второго линейного уравнения выразим $y$ через $x$:
$2y = 3x - 2 \implies y = \frac{3x - 2}{2}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x^2 - 3\left(\frac{3x - 2}{2}\right)^2 + 6 - \left(\frac{3x - 2}{2}\right) = 0$
Упростим полученное уравнение:
$2x^2 - 3\frac{9x^2 - 12x + 4}{4} + 6 - \frac{3x - 2}{2} = 0$
Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
$8x^2 - 3(9x^2 - 12x + 4) + 24 - 2(3x - 2) = 0$
$8x^2 - 27x^2 + 36x - 12 + 24 - 6x + 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-19x^2 + 30x + 16 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$19x^2 - 30x - 16 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-16) = 900 + 1216 = 2116 = 46^2$.
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{30 + 46}{2 \cdot 19} = \frac{76}{38} = 2$.
$x_2 = \frac{30 - 46}{2 \cdot 19} = \frac{-16}{38} = -\frac{8}{19}$.
Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = \frac{3x - 2}{2}$:
Для $x_1 = 2$:
$y_1 = \frac{3 \cdot 2 - 2}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Для $x_2 = -\frac{8}{19}$:
$y_2 = \frac{3 \cdot (-\frac{8}{19}) - 2}{2} = \frac{-\frac{24}{19} - \frac{38}{19}}{2} = \frac{-\frac{62}{19}}{2} = -\frac{31}{19}$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(2, 2)$, $(-\frac{8}{19}, -\frac{31}{19})$.

3) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}x^2 - y^2 - x - y = 0, \\2x + 3y - 1 = 0;\end{cases}$
Преобразуем первое уравнение. Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов:
$(x^2 - y^2) - (x + y) = 0$
$(x - y)(x + y) - (x + y) = 0$
Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:
$(x + y)(x - y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям.
Случай 1: $x + y = 0 \implies y = -x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2x + 3(-x) - 1 = 0$
$2x - 3x - 1 = 0$
$-x - 1 = 0 \implies x = -1$.
Тогда $y = -(-1) = 1$.
Получили первое решение: $(-1, 1)$.
Случай 2: $x - y - 1 = 0 \implies y = x - 1$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2x + 3(x - 1) - 1 = 0$
$2x + 3x - 3 - 1 = 0$
$5x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{5}$.
Тогда $y = \frac{4}{5} - 1 = -\frac{1}{5}$.
Получили второе решение: $(\frac{4}{5}, -\frac{1}{5})$.
Ответ: $(-1, 1)$, $(\frac{4}{5}, -\frac{1}{5})$.

4) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}x^2 - y^2 = xy + 19, \\y - x + 7 = 0.\end{cases}$
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = x - 7$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 - (x - 7)^2 = x(x - 7) + 19$
Раскроем скобки и упростим:
$x^2 - (x^2 - 14x + 49) = x^2 - 7x + 19$
$x^2 - x^2 + 14x - 49 = x^2 - 7x + 19$
$14x - 49 = x^2 - 7x + 19$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$0 = x^2 - 7x - 14x + 19 + 49$
$x^2 - 21x + 68 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68 = 441 - 272 = 169 = 13^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{21 + 13}{2} = \frac{34}{2} = 17$.
$x_2 = \frac{21 - 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x - 7$:
Для $x_1 = 17$:
$y_1 = 17 - 7 = 10$.
Для $x_2 = 4$:
$y_2 = 4 - 7 = -3$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(17, 10)$, $(4, -3)$.

3.5. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 9, \\ x - y = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 16, \\ x + y = -2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 4, \\ x - y = 4; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} xy + x + y = 11, \\ xy(x + y) = 30; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} x^2 - 5y^2 = -1, \\ 3xy + 7y^2 = 1; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ x^3 - y^3 = 7(x - y). \end{cases} $

1)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 9 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
Левая часть первого уравнения является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Таким образом, система принимает вид: $\begin{cases} (x+y)^2 = 9 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
Из первого уравнения получаем два возможных случая: $x+y = 3$ или $x+y = -3$.
Рассмотрим каждый случай отдельно.
а) Решим систему: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = 3+1$, что дает $2x = 4$, откуда $x=2$.
Подставим $x=2$ в первое уравнение: $2+y=3$, откуда $y=1$.
Получили решение $(2, 1)$.
б) Решим систему: $\begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = -3+1$, что дает $2x = -2$, откуда $x=-1$.
Подставим $x=-1$ в первое уравнение: $-1+y=-3$, откуда $y=-2$.
Получили решение $(-1, -2)$.

Ответ: $(2, 1), (-1, -2)$.

2)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 16 \\ x + y = -2 \end{cases}$.
Левая часть первого уравнения является полным квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.
Система принимает вид: $\begin{cases} (x-y)^2 = 16 \\ x + y = -2 \end{cases}$.
Из первого уравнения получаем: $x-y = 4$ или $x-y = -4$.
Рассмотрим два случая.
а) Решим систему: $\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = -2 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = 4-2$, что дает $2x = 2$, откуда $x=1$.
Подставим $x=1$ во второе уравнение: $1+y=-2$, откуда $y=-3$.
Получили решение $(1, -3)$.
б) Решим систему: $\begin{cases} x - y = -4 \\ x + y = -2 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = -4-2$, что дает $2x = -6$, откуда $x=-3$.
Подставим $x=-3$ во второе уравнение: $-3+y=-2$, откуда $y=1$.
Получили решение $(-3, 1)$.

Ответ: $(1, -3), (-3, 1)$.

3)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 4 \\ x - y = 4 \end{cases}$.
Преобразуем первое уравнение, используя формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = 4$.
Система принимает вид: $\begin{cases} (x+y)^2 = 4 \\ x - y = 4 \end{cases}$.
Из первого уравнения: $x+y = 2$ или $x+y = -2$.
Рассмотрим два случая.
а) Решим систему: $\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $2x = 6$, откуда $x=3$.
Подставим $x=3$ в первое уравнение: $3+y=2$, откуда $y=-1$.
Получили решение $(3, -1)$.
б) Решим систему: $\begin{cases} x + y = -2 \\ x - y = 4 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $2x = 2$, откуда $x=1$.
Подставим $x=1$ в первое уравнение: $1+y=-2$, откуда $y=-3$.
Получили решение $(1, -3)$.

Ответ: $(3, -1), (1, -3)$.

4)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} xy + x + y = 11 \\ xy(x+y) = 30 \end{cases}$.
Это симметрическая система. Введем новые переменные: $a = x+y$ и $b = xy$.
Система в новых переменных: $\begin{cases} b + a = 11 \\ b \cdot a = 30 \end{cases}$.
По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$.
Находим корни: $t_1 = 5, t_2 = 6$.
Это дает две системы для $a$ и $b$.
а) $a = 5, b = 6$. Возвращаемся к переменным $x, y$: $\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$.
$x$ и $y$ являются корнями уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.
Корни: $z_1=2, z_2=3$. Решения: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.
б) $a = 6, b = 5$. Возвращаемся к переменным $x, y$: $\begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 5 \end{cases}$.
$x$ и $y$ являются корнями уравнения $z^2 - 6z + 5 = 0$.
Корни: $z_1=1, z_2=5$. Решения: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)$.

5)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 - 5y^2 = -1 \\ 3xy + 7y^2 = 1 \end{cases}$.
Это система однородных уравнений. Сложим два уравнения, чтобы избавиться от свободных членов:
$(x^2 - 5y^2) + (3xy + 7y^2) = -1 + 1$
$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$
Предположим, что $y \neq 0$ (если $y=0$, то из первого уравнения $x^2=-1$, что не имеет действительных решений). Разделим уравнение на $y^2$:
$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) + 2 = 0$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$: $t^2 + 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = -1, t_2 = -2$.
Рассмотрим два случая.
а) $\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$. Подставим во второе исходное уравнение:
$3(-y)y + 7y^2 = 1 \implies -3y^2+7y^2=1 \implies 4y^2=1 \implies y = \pm\frac{1}{2}$.
Если $y=\frac{1}{2}$, то $x=-\frac{1}{2}$. Решение: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
Если $y=-\frac{1}{2}$, то $x=\frac{1}{2}$. Решение: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.
б) $\frac{x}{y} = -2 \implies x = -2y$. Подставим во второе исходное уравнение:
$3(-2y)y + 7y^2 = 1 \implies -6y^2+7y^2=1 \implies y^2=1 \implies y = \pm 1$.
Если $y=1$, то $x=-2$. Решение: $(-2, 1)$.
Если $y=-1$, то $x=2$. Решение: $(2, -1)$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-2, 1), (2, -1)$.

6)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^3 - y^3 = 7(x-y) \end{cases}$.
Разложим левые части на множители: $\begin{cases} (x-y)(x+y) = 3 \\ (x-y)(x^2+xy+y^2) = 7(x-y) \end{cases}$.
Из первого уравнения следует, что $x-y \neq 0$. Значит, мы можем разделить второе уравнение на $(x-y)$:
$x^2+xy+y^2 = 7$.
Получаем новую систему: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases}$.
Вычтем из второго уравнения первое: $(x^2+xy+y^2) - (x^2-y^2) = 7-3$, что дает $xy+2y^2=4$.
Предположим, что $y \neq 0$ (если $y=0$, то $0=4$, что неверно). Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{4-2y^2}{y}$.
Подставим это выражение в первое уравнение $x^2-y^2=3$:
$(\frac{4-2y^2}{y})^2 - y^2 = 3$
$\frac{16-16y^2+4y^4}{y^2} - y^2 = 3$
$16-16y^2+4y^4 - y^4 = 3y^2$
$3y^4 - 19y^2 + 16 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Пусть $z = y^2$ ($z \ge 0$).
$3z^2 - 19z + 16 = 0$.
Решаем квадратное уравнение: $z = \frac{19 \pm \sqrt{19^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3} = \frac{19 \pm \sqrt{361-192}}{6} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{6} = \frac{19 \pm 13}{6}$.
$z_1 = \frac{19+13}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$. $z_2 = \frac{19-13}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
а) $y^2 = 1 \implies y=\pm 1$.
Если $y=1$, то $x = \frac{4-2(1)^2}{1} = 2$. Решение: $(2, 1)$.
Если $y=-1$, то $x = \frac{4-2(-1)^2}{-1} = -2$. Решение: $(-2, -1)$.
б) $y^2 = \frac{16}{3} \implies y=\pm\frac{4}{\sqrt{3}} = \pm\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Если $y=\frac{4\sqrt{3}}{3}$, то $x = \frac{4-2(16/3)}{4\sqrt{3}/3} = \frac{(12-32)/3}{4\sqrt{3}/3} = \frac{-20/3}{4\sqrt{3}/3} = -\frac{20}{4\sqrt{3}} = -\frac{5}{\sqrt{3}} = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Решение: $(-\frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3})$.
Если $y=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$, то $x = \frac{-20/3}{-4\sqrt{3}/3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$. Решение: $(\frac{5\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1), (-\frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3}), (\frac{5\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$.