Страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.11. Найдите целочисленные решения системы уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + xy = -3, \\ y - 3x = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - xy = -1, \\ y + 4x = 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 + xy = 14, \\ y - 3x = -3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 37, \\ y + x = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + xy = -3 \\ y - 3x = 7\end{cases}$
Для нахождения целочисленных решений воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x + 7$
Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + x(3x + 7) = -3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 3x^2 + 7x = -3$
$4x^2 + 7x + 3 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$
$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$
Согласно условию, мы ищем целочисленные решения, поэтому нам подходит только корень $x_1 = -1$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -1$ в выражение $y = 3x + 7$:
$y = 3(-1) + 7 = -3 + 7 = 4$
Таким образом, целочисленное решение системы - это пара чисел $(-1, 4)$.
Ответ: $(-1, 4)$.

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - xy = -1 \\ y + 4x = 6\end{cases}$
Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 6 - 4x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 - x(6 - 4x) = -1$
$x^2 - 6x + 4x^2 = -1$
$5x^2 - 6x + 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Из двух найденных корней только $x_2 = 1$ является целым числом.
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 1$ в выражение $y = 6 - 4x$:
$y = 6 - 4(1) = 2$
Следовательно, целочисленное решение системы - $(1, 2)$.
Ответ: $(1, 2)$.

3) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 + xy = 14 \\ y - 3x = -3\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x - 3$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2x^2 + x(3x - 3) = 14$
$2x^2 + 3x^2 - 3x = 14$
$5x^2 - 3x - 14 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14) = 9 + 280 = 289$
Так как $\sqrt{289}=17$, найдем корни:
$x_1 = \frac{3 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{-14}{10} = -1.4$
$x_2 = \frac{3 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$
Условию о целочисленных решениях удовлетворяет только $x_2 = 2$.
Найдем соответствующее значение $y$ при $x = 2$ из выражения $y = 3x - 3$:
$y = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$
Таким образом, целочисленное решение системы: $(2, 3)$.
Ответ: $(2, 3)$.

4) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 37 \\ y + x = 4\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 4 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + 4(4 - x)^2 = 37$
$x^2 + 4(16 - 8x + x^2) = 37$
$x^2 + 64 - 32x + 4x^2 = 37$
$5x^2 - 32x + 64 - 37 = 0$
$5x^2 - 32x + 27 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 27 = 1024 - 540 = 484$
Так как $\sqrt{484}=22$, найдем корни:
$x_1 = \frac{32 - 22}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{32 + 22}{2 \cdot 5} = \frac{54}{10} = 5.4$
Из найденных корней целым числом является только $x_1 = 1$.
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 1$ в $y = 4 - x$:
$y = 4 - 1 = 3$
Итак, целочисленное решение системы: $(1, 3)$.
Ответ: $(1, 3)$.

3.12. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 7, \\ x - y - 2 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 1, \\ x - y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y^2 = -8, \\ xy = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = -1, \\ xy = 2. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 7, \\ x - y - 2 = 0; \end{cases} $
Это система, состоящая из одного линейного и одного нелинейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.
Из второго, линейного, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$ x - y - 2 = 0 \implies x = y + 2 $
Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$ (y + 2)^2 - 2y^2 = 7 $
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$ (y^2 + 4y + 4) - 2y^2 = 7 $
Приведем подобные слагаемые:
$ -y^2 + 4y + 4 = 7 $
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ -y^2 + 4y + 4 - 7 = 0 $
$ -y^2 + 4y - 3 = 0 $
Для удобства умножим обе части уравнения на -1:
$ y^2 - 4y + 3 = 0 $
Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.
Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя формулу $x = y + 2$:
1. При $y_1 = 1$, получаем $x_1 = 1 + 2 = 3$. Первое решение: $(3; 1)$.
2. При $y_2 = 3$, получаем $x_2 = 3 + 2 = 5$. Второе решение: $(5; 3)$.
Проверим решения, подставив их в исходную систему.
Для $(3; 1)$: $3^2 - 2(1^2) = 9 - 2 = 7$; $3 - 1 - 2 = 0$. Верно.
Для $(5; 3)$: $5^2 - 2(3^2) = 25 - 18 = 7$; $5 - 3 - 2 = 0$. Верно.
Ответ: $(3; 1), (5; 3)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 1, \\ x - y = 1; \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$ x = y + 1 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ (y + 1)^2 - 2y^2 = 1 $
Раскроем скобки и упростим:
$ (y^2 + 2y + 1) - 2y^2 = 1 $
$ -y^2 + 2y + 1 = 1 $
$ -y^2 + 2y = 0 $
Умножим на -1:
$ y^2 - 2y = 0 $
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$ y(y - 2) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 2$.
Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y + 1$:
1. При $y_1 = 0$, получаем $x_1 = 0 + 1 = 1$. Первое решение: $(1; 0)$.
2. При $y_2 = 2$, получаем $x_2 = 2 + 1 = 3$. Второе решение: $(3; 2)$.
Проверим решения:
Для $(1; 0)$: $1^2 - 2(0^2) = 1 - 0 = 1$; $1 - 0 = 1$. Верно.
Для $(3; 2)$: $3^2 - 2(2^2) = 9 - 8 = 1$; $3 - 2 = 1$. Верно.
Ответ: $(1; 0), (3; 2)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = -8, \\ xy = 3; \end{cases} $
Из второго уравнения видно, что ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю. Выразим $y$ из второго уравнения:
$ y = \frac{3}{x} $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x^2 - (\frac{3}{x})^2 = -8 $
$ x^2 - \frac{9}{x^2} = -8 $
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все уравнение на $x^2$:
$ x^4 - 9 = -8x^2 $
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:
$ x^4 + 8x^2 - 9 = 0 $
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, $t \ge 0$.
$ t^2 + 8t - 9 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -9$.
Корень $t_2 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.
Возвращаемся к исходной переменной:
$ x^2 = 1 $
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{3}{x}$:
1. При $x_1 = 1$, получаем $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Первое решение: $(1; 3)$.
2. При $x_2 = -1$, получаем $y_2 = \frac{3}{-1} = -3$. Второе решение: $(-1; -3)$.
Проверим решения:
Для $(1; 3)$: $1^2 - 3^2 = 1 - 9 = -8$; $1 \cdot 3 = 3$. Верно.
Для $(-1; -3)$: $(-1)^2 - (-3)^2 = 1 - 9 = -8$; $(-1) \cdot (-3) = 3$. Верно.
Ответ: $(1; 3), (-1; -3)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + xy - y^2 = -1, \\ xy = 2. \end{cases} $
Эта система решается простой подстановкой значения $xy$ из второго уравнения в первое.
Подставим $xy = 2$ в первое уравнение:
$ x^2 + (2) - y^2 = -1 $
Упростим полученное уравнение:
$ x^2 - y^2 = -1 - 2 $
$ x^2 - y^2 = -3 $
Теперь исходная система эквивалентна следующей, более простой системе:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = -3, \\ xy = 2. \end{cases} $
Эта система аналогична предыдущей. Из второго уравнения выразим $y = \frac{2}{x}$ (здесь $x \neq 0$).
Подставим это в первое уравнение новой системы:
$ x^2 - (\frac{2}{x})^2 = -3 $
$ x^2 - \frac{4}{x^2} = -3 $
Умножим на $x^2$:
$ x^4 - 4 = -3x^2 $
$ x^4 + 3x^2 - 4 = 0 $
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$ t^2 + 3t - 4 = 0 $
Корни этого квадратного уравнения по теореме Виета: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не подходит, так как $t \ge 0$.
Выполняем обратную замену:
$ x^2 = 1 $, что дает $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{2}{x}$:
1. При $x_1 = 1$, получаем $y_1 = \frac{2}{1} = 2$. Первое решение: $(1; 2)$.
2. При $x_2 = -1$, получаем $y_2 = \frac{2}{-1} = -2$. Второе решение: $(-1; -2)$.
Проверим решения в исходной системе:
Для $(1; 2)$: $1^2 + 1 \cdot 2 - 2^2 = 1 + 2 - 4 = -1$; $1 \cdot 2 = 2$. Верно.
Для $(-1; -2)$: $(-1)^2 + (-1)(-2) - (-2)^2 = 1 + 2 - 4 = -1$; $(-1)(-2) = 2$. Верно.
Ответ: $(1; 2), (-1; -2)$.

3.13. Найдите решение системы уравнений:

1)

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{26}{5}, \\ xy = 6; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{6(x-y)}{x+y} = 5, \\ xy = 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3}, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{5(x-y)}{x+y} = -6, \\ x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{26}{5} \\ xy = 6 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Введем замену в первом уравнении. Пусть $t = \frac{x+y}{x-y}$. Тогда $\frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{t}$.

Первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{26}{5}$

Умножим обе части на $5t$ (при $t \neq 0$):

$5t^2 + 5 = 26t$

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

$t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 5$.

$\frac{x+y}{x-y} = 5$

$x+y = 5(x-y)$

$x+y = 5x-5y$

$6y = 4x$, откуда $x = \frac{3}{2}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $xy=6$:

$(\frac{3}{2}y)y = 6$

$\frac{3}{2}y^2 = 6$

$y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2$, $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Получили две пары решений: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{5}$.

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{5}$

$5(x+y) = x-y$

$5x+5y = x-y$

$4x = -6y$, откуда $x = -\frac{3}{2}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $xy=6$:

$(-\frac{3}{2}y)y = 6$

$-\frac{3}{2}y^2 = 6$

$y^2 = -4$. В этом случае действительных решений нет.

Проверим найденные решения: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$. Для них $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{6(x-y)}{x+y} = 5 \\ xy = 2 \end{cases} $

ОДЗ: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Введем замену $t = \frac{x+y}{x-y}$. Первое уравнение примет вид:

$t + \frac{6}{t} = 5$

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$):

$t^2 + 6 = 5t$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 2$.

$\frac{x+y}{x-y} = 2$

$x+y = 2(x-y) \implies x+y = 2x-2y \implies x = 3y$.

Подставим в $xy=2$:

$(3y)y = 2 \implies 3y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{2}{3}$.

$y = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Если $y_1 = \frac{\sqrt{6}}{3}$, то $x_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$.

Если $y_2 = -\frac{\sqrt{6}}{3}$, то $x_2 = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{3}) = -\sqrt{6}$.

Получили решения: $(\sqrt{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ и $(-\sqrt{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3})$.

Случай 2: $t = 3$.

$\frac{x+y}{x-y} = 3$

$x+y = 3(x-y) \implies x+y = 3x-3y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$.

Подставим в $xy=2$:

$(2y)y = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1$.

$y = \pm 1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Все четыре пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(\sqrt{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$, $(-\sqrt{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3})$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

ОДЗ: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Введем замену $t = \frac{x+y}{x-y}$. Первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$

Умножим на $3t$ (при $t \neq 0$):

$3t^2 + 3 = 10t$

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 3$.

$\frac{x+y}{x-y} = 3 \implies x+y = 3(x-y) \implies x+y = 3x-3y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$.

Подставим в $x^2 + y^2 = 5$:

$(2y)^2 + y^2 = 5 \implies 4y^2 + y^2 = 5 \implies 5y^2 = 5 \implies y^2 = 1$.

$y = \pm 1$.

Если $y_1=1$, то $x_1=2$. Если $y_2=-1$, то $x_2=-2$.

Решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{3}$.

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{3} \implies 3(x+y) = x-y \implies 3x+3y = x-y \implies 2x = -4y \implies x = -2y$.

Подставим в $x^2 + y^2 = 5$:

$(-2y)^2 + y^2 = 5 \implies 4y^2 + y^2 = 5 \implies 5y^2 = 5 \implies y^2 = 1$.

$y = \pm 1$.

Если $y_3=1$, то $x_3=-2$. Если $y_4=-1$, то $x_4=2$.

Решения: $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.

Все четыре пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

4)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{5(x-y)}{x+y} = -6 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $

ОДЗ: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Введем замену $t = \frac{x+y}{x-y}$. Первое уравнение примет вид:

$t + \frac{5}{t} = -6$

Умножим на $t$ (при $t \neq 0$):

$t^2 + 5 = -6t$

$t^2 + 6t + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = -1$, $t_2 = -5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = -1$.

$\frac{x+y}{x-y} = -1 \implies x+y = -(x-y) \implies x+y = -x+y \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

Подставим в $x^2 + y^2 = 13$:

$0^2 + y^2 = 13 \implies y^2 = 13$.

$y = \pm \sqrt{13}$.

Решения: $(0, \sqrt{13})$ и $(0, -\sqrt{13})$.

Случай 2: $t = -5$.

$\frac{x+y}{x-y} = -5 \implies x+y = -5(x-y) \implies x+y = -5x+5y \implies 6x = 4y \implies y = \frac{3}{2}x$.

Подставим в $x^2 + y^2 = 13$:

$x^2 + (\frac{3}{2}x)^2 = 13 \implies x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13 \implies \frac{13}{4}x^2 = 13 \implies x^2 = 4$.

$x = \pm 2$.

Если $x_3=2$, то $y_3=\frac{3}{2} \cdot 2 = 3$. Если $x_4=-2$, то $y_4=\frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Решения: $(2, 3)$ и $(-2, -3)$.

Все четыре пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(0, \sqrt{13})$, $(0, -\sqrt{13})$, $(2, 3)$, $(-2, -3)$.

3.14. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + z^2 = 5, \\ x^4 - z^4 = 15; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^4 + x^2 z^2 = 90, \\ x^2 + z^2 = 10; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - z^2 = 3, \\ x^4 - z^4 = 15; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} zx^2 + z^3 = 5, \\ x^3 + xz^2 = 10. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + z^2 = 5, \\ x^4 - z^4 = 15; \end{cases} $

Второе уравнение можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2$ и $b = z^2$:

$x^4 - z^4 = (x^2)^2 - (z^2)^2 = (x^2 - z^2)(x^2 + z^2) = 15.$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $x^2 + z^2 = 5$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$(x^2 - z^2) \cdot 5 = 15.$

Отсюда находим выражение для $x^2 - z^2$:

$x^2 - z^2 = \frac{15}{5} = 3.$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений относительно $x^2$ и $z^2$:

$ \begin{cases} x^2 + z^2 = 5, \\ x^2 - z^2 = 3. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 + z^2) + (x^2 - z^2) = 5 + 3$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$

Подставим значение $x^2 = 4$ в первое уравнение исходной системы:

$4 + z^2 = 5$

$z^2 = 1 \implies z = \pm 1.$

Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^4 + x^2 z^2 = 90, \\ x^2 + z^2 = 10; \end{cases} $

В первом уравнении вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + z^2) = 90.$

Из второго уравнения мы знаем, что $x^2 + z^2 = 10$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$x^2 \cdot 10 = 90.$

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = \frac{90}{10} = 9 \implies x = \pm 3.$

Теперь подставим значение $x^2 = 9$ во второе уравнение системы:

$9 + z^2 = 10$

$z^2 = 10 - 9 = 1 \implies z = \pm 1.$

Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(3, 1)$, $(3, -1)$, $(-3, 1)$, $(-3, -1)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - z^2 = 3, \\ x^4 - z^4 = 15; \end{cases} $

Разложим второе уравнение на множители по формуле разности квадратов:

$x^4 - z^4 = (x^2 - z^2)(x^2 + z^2) = 15.$

Из первого уравнения системы известно, что $x^2 - z^2 = 3$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$3 \cdot (x^2 + z^2) = 15.$

Отсюда находим выражение для $x^2 + z^2$:

$x^2 + z^2 = \frac{15}{3} = 5.$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - z^2 = 3, \\ x^2 + z^2 = 5. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 - z^2) + (x^2 + z^2) = 3 + 5$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$

Подставим значение $x^2 = 4$ в уравнение $x^2 + z^2 = 5$:

$4 + z^2 = 5$

$z^2 = 1 \implies z = \pm 1.$

Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} zx^2 + z^3 = 5, \\ x^3 + xz^2 = 10. \end{cases} $

Вынесем общие множители в каждом уравнении:

$ \begin{cases} z(x^2 + z^2) = 5, \\ x(x^2 + z^2) = 10. \end{cases} $

Заметим, что $x^2 + z^2 \neq 0$, так как в противном случае правые части уравнений были бы равны нулю. Также $z \neq 0$ и $x \neq 0$.

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{x(x^2 + z^2)}{z(x^2 + z^2)} = \frac{10}{5}.$

Сократив $x^2 + z^2$, получим:

$\frac{x}{z} = 2 \implies x = 2z.$

Подставим выражение $x = 2z$ во второе уравнение исходной системы:

$(2z)^3 + (2z)z^2 = 10$

$8z^3 + 2z^3 = 10$

$10z^3 = 10$

$z^3 = 1.$

В действительных числах это уравнение имеет единственный корень $z = 1$.

Теперь найдем $x$:

$x = 2z = 2 \cdot 1 = 2.$

Получили единственное действительное решение.

Ответ: $(2, 1)$.

3.15. Решите способом алгебраического сложения систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0; \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + xy - 6y^2 = 0, \\ x^2 - 5xy + 2y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 0, \\ x^2 - y^2 = -12; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y^2 - 3x^2 - 2xy = 0, \\ y^2 - xy - 4x^2 = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\x^2 + y^2 = 20\end{cases}$

Применим метод алгебраического сложения. Вычтем первое уравнение из второго:

$(x^2 + y^2) - (x^2 - 3xy + 2y^2) = 20 - 0$

$x^2 + y^2 - x^2 + 3xy - 2y^2 = 20$

$3xy - y^2 = 20$

Теперь наша система эквивалентна следующей:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 20 \\3xy - y^2 = 20\end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$x^2 + y^2 = 3xy - y^2$

$x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Разложим его на множители. Можно рассматривать его как квадратное уравнение относительно $x$. Дискриминант $D = (-3y)^2 - 4(1)(2y^2) = 9y^2 - 8y^2 = y^2$.

Корни: $x = \frac{3y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{3y \pm y}{2}$.

Отсюда получаем два случая:

1. $x = \frac{3y + y}{2} = 2y$

2. $x = \frac{3y - y}{2} = y$

Подставим эти соотношения во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 20$.

Случай 1: $x = 2y$

$(2y)^2 + y^2 = 20$

$4y^2 + y^2 = 20$

$5y^2 = 20 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.

Если $y=2$, то $x = 2(2) = 4$.

Если $y=-2$, то $x = 2(-2) = -4$.

Получаем решения: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Случай 2: $x = y$

$y^2 + y^2 = 20$

$2y^2 = 20 \implies y^2 = 10 \implies y = \pm \sqrt{10}$.

Если $y=\sqrt{10}$, то $x = \sqrt{10}$.

Если $y=-\sqrt{10}$, то $x = -\sqrt{10}$.

Получаем решения: $(\sqrt{10}, \sqrt{10})$ и $(-\sqrt{10}, -\sqrt{10})$.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(\sqrt{10}, \sqrt{10})$, $(-\sqrt{10}, -\sqrt{10})$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + xy - 6y^2 = 0 \\x^2 - 5xy + 2y^2 + 4 = 0\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение к виду $x^2 - 5xy + 2y^2 = -4$.

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + xy - 6y^2) - (x^2 - 5xy + 2y^2) = 0 - (-4)$

$x^2 + xy - 6y^2 - x^2 + 5xy - 2y^2 = 4$

$6xy - 8y^2 = 4$

Разделим обе части на 2:

$3xy - 4y^2 = 2$

Теперь решим систему из первого исходного уравнения и нового полученного:

$\begin{cases}x^2 + xy - 6y^2 = 0 \\3xy - 4y^2 = 2\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $3xy = 2 + 4y^2 \implies x = \frac{2 + 4y^2}{3y}$. (Заметим, что $y \neq 0$, иначе $0=2$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(\frac{2 + 4y^2}{3y})^2 + (\frac{2 + 4y^2}{3y})y - 6y^2 = 0$

$\frac{4 + 16y^2 + 16y^4}{9y^2} + \frac{2 + 4y^2}{3} - 6y^2 = 0$

Умножим все уравнение на $9y^2$:

$(4 + 16y^2 + 16y^4) + 3y^2(2 + 4y^2) - 54y^4 = 0$

$4 + 16y^2 + 16y^4 + 6y^2 + 12y^4 - 54y^4 = 0$

$-26y^4 + 22y^2 + 4 = 0$

Разделим на -2: $13y^4 - 11y^2 - 2 = 0$.

Сделаем замену $t = y^2$ ($t \ge 0$): $13t^2 - 11t - 2 = 0$.

$D = (-11)^2 - 4(13)(-2) = 121 + 104 = 225 = 15^2$.

$t = \frac{11 \pm 15}{26}$.

$t_1 = \frac{11+15}{26} = 1$, $t_2 = \frac{11-15}{26} = -\frac{4}{26}$ (не подходит, так как $t \ge 0$).

Итак, $y^2 = 1$, откуда $y = \pm 1$.

Если $y=1$, то $x = \frac{2 + 4(1)^2}{3(1)} = \frac{6}{3} = 2$.

Если $y=-1$, то $x = \frac{2 + 4(-1)^2}{3(-1)} = \frac{6}{-3} = -2$.

Получаем решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}2x^2 - 3xy + y^2 = 0 \\x^2 - y^2 = -12\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(2x^2 - 3xy + y^2) + (x^2 - y^2) = 0 + (-12)$

$3x^2 - 3xy = -12$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - xy = -4$

Теперь решим систему из второго исходного уравнения и нового полученного:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = -12 \\x^2 - xy = -4\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $xy = x^2 + 4$. Если $x \neq 0$, то $y = \frac{x^2+4}{x}$. Если $x=0$, то $0=-4$, что неверно, значит $x \neq 0$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{x^2+4}{x})^2 = -12$

$x^2 - \frac{x^4 + 8x^2 + 16}{x^2} = -12$

Умножим все уравнение на $x^2$:

$x^4 - (x^4 + 8x^2 + 16) = -12x^2$

$x^4 - x^4 - 8x^2 - 16 = -12x^2$

$-8x^2 - 16 = -12x^2$

$4x^2 = 16$

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Если $x=2$, то $y = \frac{2^2+4}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Если $x=-2$, то $y = \frac{(-2)^2+4}{-2} = \frac{8}{-2} = -4$.

Получаем решения: $(2, 4)$ и $(-2, -4)$.

Ответ: $(2, 4)$, $(-2, -4)$.

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases}y^2 - 3x^2 - 2xy = 0 \\y^2 - xy - 4x^2 = 4\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(y^2 - xy - 4x^2) - (y^2 - 3x^2 - 2xy) = 4 - 0$

$y^2 - xy - 4x^2 - y^2 + 3x^2 + 2xy = 4$

$xy - x^2 = 4$

Получили новое, более простое уравнение. Решим систему, заменив второе уравнение на новое:

$\begin{cases}y^2 - 3x^2 - 2xy = 0 \\xy - x^2 = 4\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $xy = x^2 + 4$. Так как $x=0$ не является решением ($0=4$), то $y = \frac{x^2+4}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(\frac{x^2+4}{x})^2 - 3x^2 - 2x(\frac{x^2+4}{x}) = 0$

$\frac{(x^2+4)^2}{x^2} - 3x^2 - 2(x^2+4) = 0$

$\frac{x^4 + 8x^2 + 16}{x^2} - 3x^2 - 2x^2 - 8 = 0$

$\frac{x^4 + 8x^2 + 16}{x^2} - 5x^2 - 8 = 0$

Умножим все уравнение на $x^2$:

$x^4 + 8x^2 + 16 - 5x^4 - 8x^2 = 0$

$-4x^4 + 16 = 0$

$4x^4 = 16$

$x^4 = 4$

Так как $x^2$ должно быть неотрицательным, то $x^2 = 2$, откуда $x = \pm \sqrt{2}$.

Если $x = \sqrt{2}$, то $y = \frac{(\sqrt{2})^2+4}{\sqrt{2}} = \frac{2+4}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

Если $x = -\sqrt{2}$, то $y = \frac{(-\sqrt{2})^2+4}{-\sqrt{2}} = \frac{2+4}{-\sqrt{2}} = \frac{6}{-\sqrt{2}} = -3\sqrt{2}$.

Получаем решения: $(\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -3\sqrt{2})$.

Ответ: $(\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, -3\sqrt{2})$.