Страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.16. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x^2 + 3xy = 54, \\ 4y^2 + xy = 115; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 17, \\ x^2 - 2xy = -3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 - xy + 3x + 7y = y^2 - 3, \\ 2y^2 + xy = x^2; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} y^2 - 3xy = 2, \\ y^2 - 4xy + x^2 = 3; \end{cases}$

5)

$\begin{cases} 2x^2 - 3xy = 3 - y^2, \\ x^2 - 2y^2 + 2xy = 6; \end{cases}$

6)

$\begin{cases} 3x^2 + xy - 2x = 5 - y, \\ 2x^2 - 3x - xy = 5 + y; \end{cases}$

7)

$\begin{cases} x^2 - 3y + x = 2 - y^2, \\ x^2 + y^2 - 5x = 2 + y; \end{cases}$

8)

$\begin{cases} x^2 + x + y = 18 - y^2, \\ x^2 + y^2 + xy = 12; \end{cases}$

9)

$\begin{cases} 3x^2 - 2xy = 35 - 5y^2, \\ x^2 - 2y^2 = 1. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + 3xy = 54 \\ 4y^2 + xy = 115 \end{cases} $Это система однородных уравнений. Умножим первое уравнение на 115, а второе на 54, чтобы избавиться от свободных членов:$ 115(x^2 + 3xy) = 54(4y^2 + xy) $$ 115x^2 + 345xy = 216y^2 + 54xy $$ 115x^2 + 291xy - 216y^2 = 0 $Предположим, что $y \neq 0$, и разделим уравнение на $y^2$:$ 115(\frac{x}{y})^2 + 291(\frac{x}{y}) - 216 = 0 $Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:$ 115t^2 + 291t - 216 = 0 $Найдем дискриминант: $D = 291^2 - 4 \cdot 115 \cdot (-216) = 84681 + 99360 = 184041 = 429^2$.$ t_{1,2} = \frac{-291 \pm 429}{230} $$ t_1 = \frac{138}{230} = \frac{3}{5} $$ t_2 = \frac{-720}{230} = -\frac{72}{23} $Рассмотрим два случая:1. $\frac{x}{y} = \frac{3}{5} \implies x = \frac{3}{5}y$. Подставим в первое уравнение системы:$ (\frac{3}{5}y)^2 + 3(\frac{3}{5}y)y = 54 $$ \frac{9}{25}y^2 + \frac{9}{5}y^2 = 54 \implies \frac{9y^2 + 45y^2}{25} = 54 \implies \frac{54y^2}{25} = 54 \implies y^2 = 25 $.Отсюда $y_1 = 5, y_2 = -5$.Если $y_1 = 5$, то $x_1 = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3$.Если $y_2 = -5$, то $x_2 = \frac{3}{5} \cdot (-5) = -3$.Получаем решения $(3, 5)$ и $(-3, -5)$.2. $\frac{x}{y} = -\frac{72}{23} \implies x = -\frac{72}{23}y$. Подставим в первое уравнение:$ (-\frac{72}{23}y)^2 + 3(-\frac{72}{23}y)y = 54 $$ \frac{5184}{529}y^2 - \frac{216}{23}y^2 = 54 \implies \frac{5184y^2 - 4968y^2}{529} = 54 \implies \frac{216y^2}{529} = 54 \implies y^2 = \frac{54 \cdot 529}{216} = \frac{529}{4} $.Отсюда $y_3 = \frac{23}{2}, y_4 = -\frac{23}{2}$.Если $y_3 = \frac{23}{2}$, то $x_3 = -\frac{72}{23} \cdot \frac{23}{2} = -36$.Если $y_4 = -\frac{23}{2}$, то $x_4 = -\frac{72}{23} \cdot (-\frac{23}{2}) = 36$.Получаем решения $(-36, \frac{23}{2})$ и $(36, -\frac{23}{2})$.Если $y=0$, то из первого уравнения $x^2=54$, а из второго $0=115$, что невозможно.

Ответ: $(3, 5)$, $(-3, -5)$, $(-36, \frac{23}{2})$, $(36, -\frac{23}{2})$.

2)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 17 \\ x^2 - 2xy = -3 \end{cases} $Вычтем второе уравнение из первого:$ (x^2 + 2y^2) - (x^2 - 2xy) = 17 - (-3) $$ 2y^2 + 2xy = 20 \implies y^2 + xy = 10 $.Из этого уравнения выразим $x$ (при $y \neq 0$): $x = \frac{10 - y^2}{y}$.Подставим это выражение в первое уравнение системы:$ (\frac{10-y^2}{y})^2 + 2y^2 = 17 $$ \frac{100 - 20y^2 + y^4}{y^2} + 2y^2 = 17 $$ 100 - 20y^2 + y^4 + 2y^4 = 17y^2 $$ 3y^4 - 37y^2 + 100 = 0 $Сделаем замену $z = y^2$ ($z \ge 0$):$ 3z^2 - 37z + 100 = 0 $$ D = (-37)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1369 - 1200 = 169 = 13^2 $.$ z_{1,2} = \frac{37 \pm 13}{6} $$ z_1 = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} $, $ z_2 = \frac{24}{6} = 4 $.Возвращаемся к $y$:1. $y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.Если $y = 2$, то $x = \frac{10 - 4}{2} = 3$. Решение $(3, 2)$.Если $y = -2$, то $x = \frac{10 - 4}{-2} = -3$. Решение $(-3, -2)$.2. $y^2 = \frac{25}{3} \implies y = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} = \pm \frac{5\sqrt{3}}{3}$.Если $y = \frac{5\sqrt{3}}{3}$, то $x = \frac{10 - 25/3}{5/\sqrt{3}} = \frac{5/3}{5/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Решение $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5\sqrt{3}}{3})$.Если $y = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$, то $x = \frac{10 - 25/3}{-5/\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Решение $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{5\sqrt{3}}{3})$.Случай $y=0$ приводит к противоречию ($x^2=17$ и $x^2=-3$).

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$, $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{5\sqrt{3}}{3})$.

3)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 - xy + 3x + 7y = y^2 - 3 \\ 2y^2 + xy = x^2 \end{cases} $Перепишем систему в виде:$ \begin{cases} x^2 - y^2 - xy + 3x + 7y + 3 = 0 \\ x^2 - xy - 2y^2 = 0 \end{cases} $Второе уравнение является однородным. Решим его. Предположим, что $y \neq 0$, и разделим на $y^2$:$ (\frac{x}{y})^2 - (\frac{x}{y}) - 2 = 0 $Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $t^2 - t - 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.1. $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$. Подставим в первое преобразованное уравнение:$ (2y)^2 - y^2 - (2y)y + 3(2y) + 7y + 3 = 0 $$ 4y^2 - y^2 - 2y^2 + 6y + 7y + 3 = 0 $$ y^2 + 13y + 3 = 0 $$ D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 169 - 12 = 157 $.$ y = \frac{-13 \pm \sqrt{157}}{2} $.Соответствующие значения $x = 2y$: $x = -13 \pm \sqrt{157}$.Получаем два решения: $(-13 + \sqrt{157}, \frac{-13 + \sqrt{157}}{2})$ и $(-13 - \sqrt{157}, \frac{-13 - \sqrt{157}}{2})$.2. $\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$. Подставим в первое преобразованное уравнение:$ (-y)^2 - y^2 - (-y)y + 3(-y) + 7y + 3 = 0 $$ y^2 - y^2 + y^2 - 3y + 7y + 3 = 0 $$ y^2 + 4y + 3 = 0 \implies (y+1)(y+3) = 0 $.$y_3 = -1, y_4 = -3$.Если $y_3 = -1$, то $x_3 = -(-1) = 1$. Решение $(1, -1)$.Если $y_4 = -3$, то $x_4 = -(-3) = 3$. Решение $(3, -3)$.Случай $y=0$ приводит к $x=0$, что не удовлетворяет первому уравнению ($0=-3$).

Ответ: $(1, -1)$, $(3, -3)$, $(-13 + \sqrt{157}, \frac{-13 + \sqrt{157}}{2})$, $(-13 - \sqrt{157}, \frac{-13 - \sqrt{157}}{2})$.

4)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y^2 - 3xy = 2 \\ y^2 - 4xy + x^2 = 3 \end{cases} $Умножим первое уравнение на 3, второе на 2, и вычтем второе из первого, чтобы получить однородное уравнение:$ 3(y^2 - 3xy) - 2(y^2 - 4xy + x^2) = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 $$ 3y^2 - 9xy - 2y^2 + 8xy - 2x^2 = 0 $$ y^2 - xy - 2x^2 = 0 $Предположим, что $x \neq 0$, и разделим на $x^2$:$ (\frac{y}{x})^2 - (\frac{y}{x}) - 2 = 0 $Пусть $t = \frac{y}{x}$, тогда $t^2 - t - 2 = 0$. Корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.1. $\frac{y}{x} = 2 \implies y = 2x$. Подставим в первое уравнение системы:$ (2x)^2 - 3x(2x) = 2 \implies 4x^2 - 6x^2 = 2 \implies -2x^2 = 2 \implies x^2 = -1 $. Действительных решений нет.2. $\frac{y}{x} = -1 \implies y = -x$. Подставим в первое уравнение:$ (-x)^2 - 3x(-x) = 2 \implies x^2 + 3x^2 = 2 \implies 4x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{1}{2} $.Отсюда $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.Если $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Если $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Случай $x=0$ приводит к противоречию ($y^2=2$ и $y^2=3$).

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

5)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} 2x^2 - 3xy = 3 - y^2 \\ x^2 - 2y^2 + 2xy = 6 \end{cases} $Перепишем систему:$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 3xy = 3 \\ x^2 - 2y^2 + 2xy = 6 \end{cases} $Умножим первое уравнение на 2:$ 4x^2 + 2y^2 - 6xy = 6 $Теперь приравняем левые части полученного уравнения и второго уравнения исходной системы:$ 4x^2 + 2y^2 - 6xy = x^2 - 2y^2 + 2xy $$ 3x^2 - 8xy + 4y^2 = 0 $Предположим, что $y \neq 0$, и разделим на $y^2$:$ 3(\frac{x}{y})^2 - 8(\frac{x}{y}) + 4 = 0 $Пусть $t = \frac{x}{y}$. $3t^2 - 8t + 4 = 0$.$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 = 4^2 $.$ t_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{6} $. $ t_1 = 2 $, $ t_2 = \frac{2}{3} $.1. $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$. Подставим в уравнение $x^2 - 2y^2 + 2xy = 6$:$ (2y)^2 - 2y^2 + 2(2y)y = 6 \implies 4y^2 - 2y^2 + 4y^2 = 6 \implies 6y^2 = 6 \implies y^2 = 1 $.$y = \pm 1$.Если $y = 1$, то $x = 2$. Решение $(2, 1)$.Если $y = -1$, то $x = -2$. Решение $(-2, -1)$.2. $\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \implies x = \frac{2}{3}y$. Подставим в то же уравнение:$ (\frac{2}{3}y)^2 - 2y^2 + 2(\frac{2}{3}y)y = 6 \implies \frac{4}{9}y^2 - 2y^2 + \frac{4}{3}y^2 = 6 $.$ 4y^2 - 18y^2 + 12y^2 = 54 \implies -2y^2 = 54 \implies y^2 = -27 $. Действительных решений нет.Случай $y=0$ приводит к $x=0$, что не удовлетворяет системе ($0=3$ и $0=6$).

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

6)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} 3x^2 + xy - 2x = 5 - y \\ 2x^2 - 3x - xy = 5 + y \end{cases} $Сложим два уравнения системы:$ (3x^2 + xy - 2x) + (2x^2 - 3x - xy) = (5 - y) + (5 + y) $$ 5x^2 - 5x = 10 $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ (x-2)(x+1) = 0 $Это означает, что решения могут существовать только при $x=2$ или $x=-1$.1. Пусть $x=2$. Подставим в первое уравнение исходной системы:$ 3(2^2) + 2y - 2(2) = 5 - y $$ 12 + 2y - 4 = 5 - y $$ 8 + 2y = 5 - y \implies 3y = -3 \implies y = -1 $.Получили решение $(2, -1)$. Проверим его по второму уравнению:$ 2(2^2) - 3(2) - (2)(-1) = 5 + (-1) \implies 8 - 6 + 2 = 4 \implies 4=4 $. Верно.2. Пусть $x=-1$. Подставим в первое уравнение исходной системы:$ 3(-1)^2 + (-1)y - 2(-1) = 5 - y $$ 3 - y + 2 = 5 - y $$ 5 - y = 5 - y \implies 5 = 5 $.Это тождество, верное для любого $y$. Проверим второе уравнение при $x=-1$:$ 2(-1)^2 - 3(-1) - (-1)y = 5 + y $$ 2 + 3 + y = 5 + y $$ 5 + y = 5 + y \implies 5 = 5 $.Это также тождество. Значит, решением является любая пара чисел $(-1, y)$, где $y$ - любое действительное число.

Ответ: $(2, -1)$, а также все точки прямой $x=-1$, то есть $(-1, c)$ для любого $c \in \mathbb{R}$.

7)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 - 3y + x = 2 - y^2 \\ x^2 + y^2 - 5x = 2 + y \end{cases} $Перепишем систему, перенеся все члены в левую часть:$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x - 3y - 2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 5x - y - 2 = 0 \end{cases} $Вычтем второе уравнение из первого:$ (x^2 + y^2 + x - 3y - 2) - (x^2 + y^2 - 5x - y - 2) = 0 $$ (x - (-5x)) + (-3y - (-y)) = 0 $$ 6x - 2y = 0 \implies y = 3x $.Подставим $y=3x$ в любое из исходных уравнений, например во второе:$ x^2 + (3x)^2 - 5x = 2 + 3x $$ x^2 + 9x^2 - 5x = 2 + 3x $$ 10x^2 - 8x - 2 = 0 $$ 5x^2 - 4x - 1 = 0 $Решим квадратное уравнение. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.$ x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{10} $.$ x_1 = \frac{10}{10} = 1 $.$ x_2 = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5} $.Найдем соответствующие значения $y$:Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Решение $(1, 3)$.Если $x_2 = -\frac{1}{5}$, то $y_2 = 3 \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{3}{5}$. Решение $(-\frac{1}{5}, -\frac{3}{5})$.

Ответ: $(1, 3)$, $(-\frac{1}{5}, -\frac{3}{5})$.

8)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + x + y = 18 - y^2 \\ x^2 + y^2 + xy = 12 \end{cases} $Перепишем первое уравнение: $x^2 + y^2 + x + y = 18$.Система имеет вид:$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 + y^2 + xy = 12 \end{cases} $Введем замены $u = x+y$ и $v = xy$. Тогда $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.Система в новых переменных:$ \begin{cases} (u^2 - 2v) + u = 18 \\ (u^2 - 2v) + v = 12 \end{cases} \implies \begin{cases} u^2 + u - 2v = 18 \\ u^2 - v = 12 \end{cases} $Из второго уравнения $v = u^2 - 12$. Подставим в первое:$ u^2 + u - 2(u^2 - 12) = 18 $$ u^2 + u - 2u^2 + 24 = 18 $$ -u^2 + u + 6 = 0 \implies u^2 - u - 6 = 0 $.$ (u-3)(u+2) = 0 $. Отсюда $u_1=3, u_2=-2$.1. $u=3$. Тогда $v = 3^2 - 12 = 9 - 12 = -3$.Возвращаемся к $x, y$: $\begin{cases} x+y=3 \\ xy=-3 \end{cases}$.$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t - 3 = 0$.$D = (-3)^2 - 4(1)(-3) = 9+12=21$. $t = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.Решения: $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, \frac{3-\sqrt{21}}{2})$ и $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, \frac{3+\sqrt{21}}{2})$.2. $u=-2$. Тогда $v = (-2)^2 - 12 = 4 - 12 = -8$.Возвращаемся к $x, y$: $\begin{cases} x+y=-2 \\ xy=-8 \end{cases}$.$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$, или $(t+4)(t-2)=0$.Корни $t_1=2, t_2=-4$.Решения: $(2, -4)$ и $(-4, 2)$.

Ответ: $(2, -4)$, $(-4, 2)$, $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, \frac{3-\sqrt{21}}{2})$, $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, \frac{3+\sqrt{21}}{2})$.

9)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy = 35 - 5y^2 \\ x^2 - 2y^2 = 1 \end{cases} $Перепишем первое уравнение: $3x^2 - 2xy + 5y^2 = 35$.Система:$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy + 5y^2 = 35 \\ x^2 - 2y^2 = 1 \end{cases} $Умножим второе уравнение на 35: $35x^2 - 70y^2 = 35$.Приравняем левые части первого уравнения и полученного:$ 3x^2 - 2xy + 5y^2 = 35x^2 - 70y^2 $$ 32x^2 + 2xy - 75y^2 = 0 $Предположим, $y \neq 0$, и разделим на $y^2$: $32(\frac{x}{y})^2 + 2(\frac{x}{y}) - 75 = 0$.Пусть $t=\frac{x}{y}$. $32t^2+2t-75=0$.$D = 2^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-75) = 4 + 9600 = 9604 = 98^2$.$t = \frac{-2 \pm 98}{64}$. $t_1 = \frac{96}{64} = \frac{3}{2}$, $t_2 = \frac{-100}{64} = -\frac{25}{16}$.1. $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x=\frac{3}{2}y$. Подставим в $x^2-2y^2=1$:$ (\frac{3}{2}y)^2 - 2y^2 = 1 \implies \frac{9}{4}y^2 - 2y^2 = 1 \implies \frac{1}{4}y^2=1 \implies y^2=4$.$y = \pm 2$.Если $y=2$, $x=3$. Решение $(3,2)$.Если $y=-2$, $x=-3$. Решение $(-3,-2)$.2. $\frac{x}{y} = -\frac{25}{16} \implies x = -\frac{25}{16}y$. Подставим в $x^2-2y^2=1$:$ (-\frac{25}{16}y)^2 - 2y^2 = 1 \implies \frac{625}{256}y^2 - 2y^2 = 1 \implies \frac{625-512}{256}y^2 = 1 \implies \frac{113}{256}y^2 = 1$.$y^2 = \frac{256}{113} \implies y = \pm \frac{16}{\sqrt{113}}$.Если $y=\frac{16}{\sqrt{113}}$, $x = -\frac{25}{16} \cdot \frac{16}{\sqrt{113}} = -\frac{25}{\sqrt{113}}$.Если $y=-\frac{16}{\sqrt{113}}$, $x = \frac{25}{\sqrt{113}}$.Случай $y=0$ приводит к $x^2=1$, но $3(\pm 1)^2 = 3 \neq 35$.

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$, $(-\frac{25\sqrt{113}}{113}, \frac{16\sqrt{113}}{113})$, $(\frac{25\sqrt{113}}{113}, -\frac{16\sqrt{113}}{113})$.

3.17. Являются ли равносильными системы уравнений:

1) $ \begin{cases} 2xy - 3y^2 = 0, \\ 5x^2 + 2y = 3 \end{cases} $ и $ \begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ 5x^2 + 2y = 3 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} (x + y)^2 = 9, \\ xy = 2 \end{cases} $ и $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2? \end{cases} $

1)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $\begin{cases}2xy - 3y^2 = 0, \\5x^2 + 2y = 3\end{cases}$

Вторая система: $\begin{cases}2x - 3y = 0, \\5x^2 + 2y = 3\end{cases}$

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы проверить равносильность, сравним их решения.

Преобразуем первое уравнение первой системы: $2xy - 3y^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(2x - 3y) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $y=0$ или $2x - 3y = 0$.

Следовательно, первая система равносильна совокупности двух систем:

Система (А): $\begin{cases}y = 0, \\5x^2 + 2y = 3\end{cases}$ и Система (Б): $\begin{cases}2x - 3y = 0, \\5x^2 + 2y = 3\end{cases}$

Система (Б) полностью совпадает со второй из заданных систем. Это означает, что все решения второй системы являются также решениями первой. Однако, чтобы системы были равносильны, необходимо, чтобы все решения первой системы были решениями второй.

Рассмотрим решения, которые дает система (А). Подставим $y=0$ во второе уравнение системы (А):

$5x^2 + 2(0) = 3$

$5x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{5}$

$x = \pm\sqrt{\frac{3}{5}}$

Таким образом, первая система имеет, среди прочих, решения $(\sqrt{\frac{3}{5}}, 0)$ и $(-\sqrt{\frac{3}{5}}, 0)$.

Проверим, являются ли эти пары чисел решениями второй системы. Подставим, например, пару $(\sqrt{\frac{3}{5}}, 0)$ в первое уравнение второй системы $2x - 3y = 0$:

$2\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right) - 3(0) = 2\sqrt{\frac{3}{5}} \neq 0$

Так как равенство не выполняется, пара $(\sqrt{\frac{3}{5}}, 0)$ не является решением второй системы.

Поскольку мы нашли решение первой системы, которое не является решением второй, множества решений этих систем не совпадают. Следовательно, данные системы не равносильны. Переход от первой системы ко второй был осуществлен путем деления уравнения $y(2x - 3y) = 0$ на $y$, что является недопустимым преобразованием, так как приводит к потере корней (в данном случае, решений, где $y=0$).

Ответ: нет.

2)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $\begin{cases}(x + y)^2 = 9, \\xy = 2\end{cases}$

Вторая система: $\begin{cases}x^2 + y^2 = 5, \\xy = 2\end{cases}$

Вторые уравнения в обеих системах идентичны. Проверим равносильность первых уравнений при условии, что $xy=2$.

Начнем с первой системы. Преобразуем ее первое уравнение, используя формулу квадрата суммы:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 9$

Из второго уравнения этой системы мы знаем, что $xy = 2$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$x^2 + 2(2) + y^2 = 9$

$x^2 + 4 + y^2 = 9$

$x^2 + y^2 = 5$

Полученное уравнение является первым уравнением второй системы. Так как второе уравнение ($xy=2$) у систем общее, мы путем равносильных преобразований (подстановки) получили из первой системы вторую. Это означает, что любое решение первой системы является решением второй.

Теперь проверим, можно ли из второй системы получить первую. Начнем с первого уравнения второй системы:

$x^2 + y^2 = 5$

Прибавим к обеим частям уравнения $2xy$:

$x^2 + 2xy + y^2 = 5 + 2xy$

Левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$(x+y)^2 = 5 + 2xy$

Теперь используем второе уравнение системы, $xy = 2$, и подставим его в правую часть:

$(x+y)^2 = 5 + 2(2)$

$(x+y)^2 = 9$

Это первое уравнение первой системы. Таким образом, мы из второй системы получили первую путем равносильных преобразований. Это означает, что любое решение второй системы является решением первой.

Поскольку из первой системы следует вторая, и из второй системы следует первая, эти системы имеют одинаковые множества решений, то есть они равносильны.

Ответ: да.

3.18. Решите систему уравнений, где $a$ — параметр:

1)

$\begin{cases} x + y = 3a, \\ xy = 2a^2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x + y = 4a, \\ xy = 3a^2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x - y = 3a, \\ xy = 4a^2; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5a^2, \\ xy = 2a^2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 3a \\ xy = 2a^2 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив в него значения из системы, получим:

$t^2 - 3at + 2a^2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2) = 9a^2 - 8a^2 = a^2$.

Найдем корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{3a \pm \sqrt{a^2}}{2} = \frac{3a \pm |a|}{2}$.

Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, и корни $t_1 = \frac{3a+a}{2} = 2a$, $t_2 = \frac{3a-a}{2} = a$.

Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и корни $t_1 = \frac{3a-a}{2} = a$, $t_2 = \frac{3a+(-a)}{2} = \frac{2a}{2} = a$, $t_2 = \frac{3a-(-a)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$. (Correction: $t_1 = \frac{3a+(-a)}{2} = a$, $t_2 = \frac{3a-(-a)}{2} = 2a$). В любом случае, корнями уравнения являются $a$ и $2a$.

Следовательно, решениями системы являются пары $(x,y)$.

Ответ: $(a, 2a), (2a, a)$.

2)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 4a \\ xy = 3a^2 \end{cases}$

Используя обратную теорему Виета, составляем квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$t^2 - 4at + 3a^2 = 0$

Дискриминант: $D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2) = 16a^2 - 12a^2 = 4a^2$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{4a \pm \sqrt{4a^2}}{2} = \frac{4a \pm 2|a|}{2}$.

Независимо от знака $a$, корнями уравнения являются $a$ и $3a$.

Таким образом, решениями системы являются следующие пары $(x,y)$.

Ответ: $(a, 3a), (3a, a)$.

3)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x - y = 3a \\ xy = 4a^2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 3a$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $(y + 3a)y = 4a^2$.

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $y^2 + 3ay - 4a^2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4a^2) = 9a^2 + 16a^2 = 25a^2$.

Найдем корни для $y$: $y_{1,2} = \frac{-3a \pm \sqrt{25a^2}}{2} = \frac{-3a \pm 5|a|}{2}$.

Рассмотрим два случая для $y$:

1. $y_1 = \frac{-3a + 5|a|}{2}$. Если $a \ge 0$, то $y_1 = a$, и тогда $x_1 = a + 3a = 4a$. Если $a < 0$, то $y_1 = -4a$, и тогда $x_1 = -4a + 3a = -a$.

2. $y_2 = \frac{-3a - 5|a|}{2}$. Если $a \ge 0$, то $y_2 = -4a$, и тогда $x_2 = -4a + 3a = -a$. Если $a < 0$, то $y_2 = a$, и тогда $x_2 = a + 3a = 4a$.

В обоих случаях получаем две пары решений: $(4a, a)$ и $(-a, -4a)$.

Ответ: $(4a, a), (-a, -4a)$.

4)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5a^2 \\ xy = 2a^2 \end{cases}$

Преобразуем систему. Сложим первое уравнение с удвоенным вторым:

$x^2 + y^2 + 2xy = 5a^2 + 2(2a^2) \Rightarrow (x+y)^2 = 9a^2 \Rightarrow x+y = \pm 3a$.

Вычтем из первого уравнения удвоенное второе:

$x^2 + y^2 - 2xy = 5a^2 - 2(2a^2) \Rightarrow (x-y)^2 = a^2 \Rightarrow x-y = \pm a$.

Исходная система эквивалентна совокупности четырех систем линейных уравнений:

а) $\begin{cases} x+y = 3a \\ x-y = a \end{cases} \Rightarrow 2x=4a, 2y=2a \Rightarrow x=2a, y=a$.

б) $\begin{cases} x+y = 3a \\ x-y = -a \end{cases} \Rightarrow 2x=2a, 2y=4a \Rightarrow x=a, y=2a$.

в) $\begin{cases} x+y = -3a \\ x-y = a \end{cases} \Rightarrow 2x=-2a, 2y=-4a \Rightarrow x=-a, y=-2a$.

г) $\begin{cases} x+y = -3a \\ x-y = -a \end{cases} \Rightarrow 2x=-4a, 2y=-2a \Rightarrow x=-2a, y=-a$.

Объединяя все решения, получаем четыре пары.

Ответ: $(2a, a), (a, 2a), (-a, -2a), (-2a, -a)$.

3.19. Найдите решение системы:

1)

$\begin{cases} x^3 + xy^2 = 10, \\ x^3 + x^2y = 5; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ y^6 + x^2y^4 = 80; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ y^4 + x^2y^2 = 90; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x + y^2 = 3, \\ y^4 + x^4 + 6x = 29. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^3 + xy^2 = 10 \\ x^3 + x^2y = 5 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:
$x(x^2 + y^2) = 10$
$x^2(x + y) = 5$

Заметим, что $x=0$ не является решением системы. Сделаем подстановку $y = kx$. Подставим это выражение в оба уравнения:
$x(x^2 + (kx)^2) = 10 \implies x^3(1+k^2) = 10$
$x^2(x + kx) = 5 \implies x^3(1+k) = 5$

Разделим первое полученное уравнение на второе (так как $x \ne 0$):
$\frac{x^3(1+k^2)}{x^3(1+k)} = \frac{10}{5} \implies \frac{1+k^2}{1+k} = 2$
$1+k^2 = 2(1+k) \implies 1+k^2 = 2+2k \implies k^2 - 2k - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $k$:
$D = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 8$
$k = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Теперь найдем $x$ и $y$ для каждого значения $k$, используя уравнение $x^3(1+k) = 5$.

Случай 1: $k = 1 + \sqrt{2}$
$x^3(1 + 1+\sqrt{2}) = 5 \implies x^3(2+\sqrt{2}) = 5 \implies x^3 = \frac{5}{2+\sqrt{2}} = \frac{5(2-\sqrt{2})}{2}$
$x = \sqrt[3]{\frac{5(2-\sqrt{2})}{2}}$, тогда $y = kx = (1+\sqrt{2})\sqrt[3]{\frac{5(2-\sqrt{2})}{2}}$.

Случай 2: $k = 1 - \sqrt{2}$
$x^3(1 + 1-\sqrt{2}) = 5 \implies x^3(2-\sqrt{2}) = 5 \implies x^3 = \frac{5}{2-\sqrt{2}} = \frac{5(2+\sqrt{2})}{2}$
$x = \sqrt[3]{\frac{5(2+\sqrt{2})}{2}}$, тогда $y = kx = (1-\sqrt{2})\sqrt[3]{\frac{5(2+\sqrt{2})}{2}}$.

Ответ: $(\sqrt[3]{\frac{5(2-\sqrt{2})}{2}}, (1+\sqrt{2})\sqrt[3]{\frac{5(2-\sqrt{2})}{2}})$; $(\sqrt[3]{\frac{5(2+\sqrt{2})}{2}}, (1-\sqrt{2})\sqrt[3]{\frac{5(2+\sqrt{2})}{2}})$.

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ y^6 + x^2y^4 = 80 \end{cases} $

Во втором уравнении вынесем общий множитель $y^4$ за скобки:
$y^4(y^2 + x^2) = 80$

Из первого уравнения известно, что $x^2 + y^2 = 5$. Подставим это значение во второе уравнение:
$y^4 \cdot 5 = 80$
$y^4 = 16$

Отсюда $y^2 = 4$ (так как $y^2 \ge 0$), что дает $y = 2$ или $y = -2$.

Подставим $y^2 = 4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$x^2 + 4 = 5 \implies x^2 = 1$
Отсюда $x=1$ или $x=-1$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, -2)$.

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y^4 + x^2y^2 = 90 \end{cases} $

Во втором уравнении вынесем $y^2$ за скобки:
$y^2(y^2 + x^2) = 90$

Из первого уравнения $x^2 + y^2 = 10$. Подставим это во второе уравнение:
$y^2 \cdot 10 = 90$
$y^2 = 9$

Отсюда $y=3$ или $y=-3$.

Подставим $y^2=9$ в первое уравнение:
$x^2 + 9 = 10 \implies x^2 = 1$
Отсюда $x=1$ или $x=-1$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(1, 3)$, $(-1, 3)$, $(1, -3)$, $(-1, -3)$.

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y^2 = 3 \\ y^4 + x^4 + 6x = 29 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 3 - x$.
Следовательно, $y^4 = (y^2)^2 = (3-x)^2$. Подставим это во второе уравнение:
$(3-x)^2 + x^4 + 6x = 29$

Раскроем скобки и упростим:
$9 - 6x + x^2 + x^4 + 6x = 29$
$x^4 + x^2 + 9 = 29$
$x^4 + x^2 - 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $u = x^2$ ($u \ge 0$):
$u^2 + u - 20 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $u_1 = 4$ и $u_2 = -5$.

Корень $u_2 = -5$ не удовлетворяет условию $u \ge 0$.
Следовательно, $x^2 = 4$, откуда $x=2$ или $x=-2$.

Найдем соответствующие значения $y$ из $y^2 = 3-x$.
Случай 1: $x = 2$.
$y^2 = 3 - 2 = 1 \implies y = \pm 1$. Решения: $(2, 1)$ и $(2, -1)$.
Случай 2: $x = -2$.
$y^2 = 3 - (-2) = 5 \implies y = \pm \sqrt{5}$. Решения: $(-2, \sqrt{5})$ и $(-2, -\sqrt{5})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, \sqrt{5})$, $(-2, -\sqrt{5})$.

3.20. Решите способом подстановки и способом сложения систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ xy^2 + x^2y = -2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^3 - y^3 = 65, \\ xy^2 - x^2y = 20; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^3 - y^3 = 65, \\ xy^2 - x^2y = 20; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - xy = 2, \\ y^2 - xy = -1. \end{cases} $

1) Способ сложения:
Исходная система:$\begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ xy^2 + x^2y = -2\end{cases}$
Преобразуем второе уравнение, вынеся общий множитель: $xy(x+y) = -2$.
Умножим второе уравнение на $3$: $3xy^2 + 3x^2y = -6$.
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(x^3 + y^3) + (3x^2y + 3xy^2) = 7 + (-6)$
$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 1$
Левая часть является развернутой формулой куба суммы: $(x+y)^3$.
Получаем уравнение $(x+y)^3 = 1$, откуда следует, что $x+y=1$.
Выразим $y$ через $x$: $y = 1 - x$.
Подставим это выражение во второе исходное уравнение $xy(x+y) = -2$ (зная, что $x+y=1$):
$x(1-x)(1) = -2$
$x - x^2 = -2$
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Находим соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 1 - 2 = -1$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 1 - (-1) = 2$.
Таким образом, получаем две пары решений.

Способ подстановки:
Преобразуем уравнения, используя формулу суммы кубов и вынесение общего множителя:
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 7$
$xy^2 + x^2y = xy(x+y) = -2$
Сделаем замену переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$.
Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2-2v$.
Подставим в первое уравнение: $u(u^2-2v-v) = 7$, то есть $u(u^2-3v) = 7$.
Второе уравнение примет вид $uv = -2$.
Получили систему для $u$ и $v$:$\begin{cases} u(u^2 - 3v) = 7, \\ uv = -2\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $v = -2/u$ (при $u \ne 0$) и подставим в первое:
$u(u^2 - 3(-2/u)) = 7$
$u(u^2 + 6/u) = 7$
$u^3 + 6 = 7$
$u^3 = 1$, откуда $u=1$.
Тогда $v = -2/1 = -2$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$x+y = u = 1$
$xy = v = -2$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - t - 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Следовательно, решения системы: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.
Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

2) и 3)
Способ сложения:
Исходная система:$\begin{cases} x^3 - y^3 = 65, \\ xy^2 - x^2y = 20\end{cases}$
Преобразуем второе уравнение: $xy(y-x) = 20$, или $-xy(x-y) = 20$.
Умножим второе уравнение на $3$: $3xy^2 - 3x^2y = 60$.
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(x^3 - y^3) + (3xy^2 - 3x^2y) = 65 + 60$
$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = 125$
Левая часть является формулой куба разности: $(x-y)^3$.
Получаем уравнение $(x-y)^3 = 125$, откуда $x-y = 5$.
Выразим $x$ через $y$: $x = y + 5$.
Подставим это выражение во второе исходное уравнение $xy(y-x) = 20$ (зная, что $y-x = -(x-y) = -5$):
$(y+5)y(-5) = 20$
$(y^2+5y)(-5)=20$
$-5y^2-25y=20$
$5y^2+25y+20=0$
$y^2 + 5y + 4 = 0$
Корни уравнения: $y_1 = -1$, $y_2 = -4$.
Находим соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 5 = 4$.
Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 5 = 1$.
Решения: $(4, -1)$ и $(1, -4)$.

Способ подстановки:
Преобразуем уравнения:
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) = 65$
$xy^2 - x^2y = -xy(x-y) = 20$
Сделаем замену переменных. Пусть $u = x-y$ и $v = xy$.
Выразим $x^2+y^2$: $x^2+y^2 = (x-y)^2 + 2xy = u^2+2v$.
Подставим в первое уравнение: $u(u^2+2v+v) = 65$, то есть $u(u^2+3v) = 65$.
Второе уравнение примет вид $-uv = 20$ или $uv = -20$.
Получили систему для $u$ и $v$:$\begin{cases} u(u^2 + 3v) = 65, \\ uv = -20\end{cases}$
Из второго уравнения $v = -20/u$. Подставим в первое:
$u(u^2 + 3(-20/u)) = 65$
$u(u^2 - 60/u) = 65$
$u^3 - 60 = 65$
$u^3 = 125$, откуда $u=5$.
Тогда $v = -20/5 = -4$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$x-y = u = 5$
$xy = v = -4$
Из первого уравнения $x = y+5$. Подставим во второе: $(y+5)y=-4$.
$y^2 + 5y + 4 = 0$.
Корни: $y_1=-1$, $y_2=-4$.
Соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = -1$, $x_1 = 4$.
Если $y_2 = -4$, $x_2 = 1$.
Решения: $(4, -1)$ и $(1, -4)$.
Ответ: $(4, -1), (1, -4)$.

4) Способ сложения:
Исходная система:$\begin{cases} x^2 - xy = 2, \\ y^2 - xy = -1\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = 2 + (-1)$
$x^2 - 2xy + y^2 = 1$
Левая часть является полным квадратом разности: $(x-y)^2$.
Получаем уравнение $(x-y)^2 = 1$, откуда следуют два случая: $x-y = 1$ или $x-y = -1$.
Рассмотрим каждый случай отдельно, используя преобразованное первое уравнение $x(x-y)=2$.
Случай 1: $x-y = 1$.
Подставляем в $x(x-y)=2$: $x(1) = 2$, откуда $x=2$.
Находим $y$: $y = x - 1 = 2 - 1 = 1$.
Получаем решение $(2, 1)$.
Случай 2: $x-y = -1$.
Подставляем в $x(x-y)=2$: $x(-1) = 2$, откуда $x=-2$.
Находим $y$: $y = x + 1 = -2 + 1 = -1$.
Получаем решение $(-2, -1)$.

Способ подстановки:
Вынесем общие множители в каждом уравнении:
$\begin{cases} x(x - y) = 2 \\ y(y - x) = -1\end{cases}$
Преобразуем второе уравнение: $y(-(x-y)) = -1$, что эквивалентно $y(x-y) = 1$.
Теперь система выглядит так:
$\begin{cases} x(x - y) = 2 \\ y(x - y) = 1\end{cases}$
Разделим первое уравнение на второе (предполагая, что $y \ne 0$ и $x-y \ne 0$):
$\frac{x(x-y)}{y(x-y)} = \frac{2}{1}$
$\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.
Теперь подставим $x=2y$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое: $x^2 - xy = 2$.
$(2y)^2 - (2y)y = 2$
$4y^2 - 2y^2 = 2$
$2y^2 = 2$
$y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.
Находим соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2(1) = 2$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2(-1) = -2$.
Решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.
Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

1. Произведение каких тригонометрических функций равно 1?

2. Каким тождественным равенством связаны функции синус и косинус?

3. Можно ли, зная значения синуса некоторого угла и его принадлежность некоторой четверти, вычислить значение котангенса этого угла?

1. Единице равно произведение взаимно обратных тригонометрических функций одного и того же угла. Основными парами таких функций являются тангенс и котангенс. Их определения: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Их произведение равно $1$ (при условии, что угол $\alpha$ не является таким, при котором одна из функций не определена):
$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1$.
Другими парами взаимно обратных функций являются синус и косеканс, а также косинус и секанс:
$\sin\alpha \cdot \operatorname{cosec}\alpha = 1$
$\cos\alpha \cdot \sec\alpha = 1$
Ответ: Произведение тангенса и котангенса; синуса и косеканса; косинуса и секанса (для одного и того же угла).

2. Функции синус и косинус связаны одним из фундаментальных соотношений в тригонометрии — основным тригонометрическим тождеством. Оно утверждает, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
Ответ: Основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

3. Да, это возможно. Для вычисления котангенса необходимо знать значения и синуса, и косинуса, так как по определению $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Значение синуса нам известно по условию. Значение косинуса можно найти, используя основное тригонометрическое тождество:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$
$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$
Чтобы выбрать правильный знак («+» или «–») перед корнем, необходимо знать, в какой координатной четверти находится угол. Эта информация дана в условии.
- Если угол находится в I или IV четверти, $\cos\alpha > 0$.
- Если угол находится во II или III четверти, $\cos\alpha < 0$.
Таким образом, зная значение синуса и четверть, мы можем однозначно определить значение косинуса. После этого мы легко вычисляем котангенс, разделив найденный косинус на данный в условии синус.
Ответ: Да, можно.

22.1. Вычислите:

1) $sin\beta$, если $cos\beta = 0,5$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$;

2) $cos\beta$, если $sin\beta = 0,5$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$;

3) $sin\beta$, если $cos\beta = -0,5$ и $90^\circ < \beta < 180^\circ$;

4) $cos\beta$, если $sin\beta = -0,5$ и $180^\circ < \beta < 270^\circ$.

1) Для вычисления $sin\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$. Отсюда $sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$. Подставим данное значение $cos\beta = 0,5$:$sin^2\beta = 1 - (0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.Следовательно, $sin\beta = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.По условию угол $\beta$ находится в интервале $0^\circ < \beta < 90^\circ$, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти синус имеет положительное значение. Значит, $sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) Для вычисления $cos\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$. Отсюда $cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$. Подставим данное значение $sin\beta = 0,5$:$cos^2\beta = 1 - (0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.Следовательно, $cos\beta = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.По условию угол $\beta$ находится в интервале $0^\circ < \beta < 90^\circ$, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти косинус имеет положительное значение. Значит, $cos\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Для вычисления $sin\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$. Отсюда $sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$. Подставим данное значение $cos\beta = -0,5$:$sin^2\beta = 1 - (-0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.Следовательно, $sin\beta = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.По условию угол $\beta$ находится в интервале $90^\circ < \beta < 180^\circ$, что соответствует II координатной четверти. В этой четверти синус имеет положительное значение. Значит, $sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) Для вычисления $cos\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$. Отсюда $cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$. Подставим данное значение $sin\beta = -0,5$:$cos^2\beta = 1 - (-0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.Следовательно, $cos\beta = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.По условию угол $\beta$ находится в интервале $180^\circ < \beta < 270^\circ$, что соответствует III координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательное значение. Значит, $cos\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

22.2. Упростите выражение:

1) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$;

2) $\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin \alpha}$;

3) $\sin^2 \alpha - (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha$;

4) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha) \cdot \sin^2 \alpha$.

1) Для упрощения выражения $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Подставим это в числитель дроби:
$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}$
Сократим дробь на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):
$\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha$.
Ответ: $\cos \alpha$.

2) Для упрощения выражения $\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin \alpha}$ снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Выразим из него $\cos^2 \alpha - 1$:
$\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin \alpha} = \frac{-\sin^2 \alpha}{\sin \alpha}$
Сократим дробь на $\sin \alpha$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$):
$\frac{-\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = -\sin \alpha$.
Ответ: $-\sin \alpha$.

3) Упростим выражение $\sin^2 \alpha - (1 + \text{tg}^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha$.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\sin^2 \alpha - \left(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) \cdot \cos^2 \alpha$
Произведение $\left(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) \cdot \cos^2 \alpha = 1$.
Таким образом, выражение упрощается до:
$\sin^2 \alpha - 1$
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.
Ответ: $-\cos^2 \alpha$.

4) Упростим выражение $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot (1 + \text{ctg}^2 \alpha) \cdot \sin^2 \alpha$.
Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
Подставим его в исходное выражение:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) \cdot \sin^2 \alpha$
Теперь упростим второе слагаемое. Множители $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$ и $\sin^2 \alpha$ взаимно сокращаются:
$\cos^2 \alpha \cdot \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) \cdot \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$
Подставим упрощенное слагаемое обратно в выражение:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$
Это основное тригонометрическое тождество, которое равно 1.
Ответ: $1$.

22.3. Найдите значение выражения:

1)

$1 - \sin\alpha \cos\alpha \text{ctg}\alpha, \text{ если } \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3};$

2)

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha}{\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha}, \text{ если } \text{tg}\alpha = \frac{2}{3};$

3)

$\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}, \text{ если } \text{tg}\alpha = \frac{2}{5};$

4)

$\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}, \text{ если } \text{tg}\alpha = \frac{3}{2};$

5)

$\frac{1 - \text{tg}^2\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}, \text{ если } \sin\alpha = \frac{2}{3};$

6)

$\frac{1 - \text{tg}^2\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}, \text{ если } \cos\alpha = -\frac{1}{3}.$

1) Упростим данное выражение, используя определение котангенса $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$1 - \sin\alpha \cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha = 1 - \sin\alpha \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1 - \cos^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Таким образом, нам нужно найти значение $\sin^2\alpha$.
По условию $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Тогда $\sin^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Известно, что $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.
Если $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{3}$, то $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
Подставим значения тангенса и котангенса в выражение:
$\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{ctg}\alpha} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}}{\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = \frac{\frac{4+9}{6}}{\frac{4-9}{6}} = \frac{\frac{13}{6}}{-\frac{5}{6}} = -\frac{13}{5} = -2.6$.
Ответ: $-2.6$.

3) Разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$ (это возможно, так как если $\cos\alpha = 0$, то $\operatorname{tg}\alpha$ не был бы определен).
$\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\operatorname{tg}\alpha - 1}{\operatorname{tg}\alpha + 1}$.
Подставим значение $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}$:
$\frac{\frac{2}{5} - 1}{\frac{2}{5} + 1} = \frac{\frac{2-5}{5}}{\frac{2+5}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{7}{5}} = -\frac{3}{7}$.
Ответ: $-\frac{3}{7}$.

4) Разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2\alpha$ (это возможно, так как если $\cos\alpha = 0$, то $\operatorname{tg}\alpha$ не был бы определен).
$\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2 - 1} = \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha - 1}$.
Подставим значение $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{2}$:
$\frac{\frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2 - 1} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{4} - 1} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{9-4}{4}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1.2$.
Ответ: $1.2$.

5) Сначала упростим выражение, используя тождество $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$:
$\frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 - \frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - 1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{-( \operatorname{tg}^2\alpha - 1)}{\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - 1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} = -(\operatorname{tg}^2\alpha - 1) \cdot \frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha - 1} = -\operatorname{tg}^2\alpha$.
Теперь найдем $\operatorname{tg}^2\alpha$, зная, что $\sin\alpha = \frac{2}{3}$.
По основному тригонометрическому тождеству $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Тогда $\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{(2/3)^2}{5/9} = \frac{4/9}{5/9} = \frac{4}{5}$.
Значение исходного выражения равно $-\operatorname{tg}^2\alpha = -\frac{4}{5}$.
Ответ: $-\frac{4}{5}$.

6) Выражение $\frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha}$ идентично выражению из предыдущего пункта. Как мы уже показали, оно равно $-\operatorname{tg}^2\alpha$.
Найдем $\operatorname{tg}^2\alpha$, зная, что $\cos\alpha = -\frac{1}{3}$.
$\cos^2\alpha = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Тогда $\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{8/9}{1/9} = 8$.
Значение исходного выражения равно $-\operatorname{tg}^2\alpha = -8$.
Ответ: $-8$.

22.4. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} - 1;$

2) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} - 1;$

3) $\frac{1}{1 - \cos \alpha} - \frac{1}{1 + \cos \alpha};$

4) $\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha};$

5) $\frac{1 - \operatorname{ctg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha};$

6) $\frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{\operatorname{ctg} \alpha - 1};$

7) $\frac{1}{1 + \sin \alpha} - \frac{1}{1 - \sin \alpha};$

8) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha + 1}{\operatorname{tg} \alpha + 1};$

9) $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha;$

10) $\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \operatorname{tg} \alpha;$

11) $\frac{\sin \beta}{1 - \cos \beta} + \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta};$

12) $\frac{\cos \beta}{1 + \sin \beta} + \frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta}.$

1) Для упрощения выражения используем основное тригонометрическое тождество $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\tg\alpha} - 1 = \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} - 1 = \frac{\sin\alpha\cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha} - 1 = \cos^2\alpha - 1$.
Из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.
Ответ: $-\sin^2\alpha$.

2) Используем тождество $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\ctg\alpha} - 1 = \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} - 1 = \frac{\sin\alpha\cos\alpha \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha} - 1 = \sin^2\alpha - 1$.
Из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$.
Ответ: $-\cos^2\alpha$.

3) Приводим дроби к общему знаменателю $(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha) = 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
$\frac{1}{1-\cos\alpha} - \frac{1}{1+\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)} - \frac{1-\cos\alpha}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)} = \frac{(1+\cos\alpha) - (1-\cos\alpha)}{1-\cos^2\alpha} = \frac{1+\cos\alpha-1+\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{2\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{2\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$.

4) Заменяем $\tg\alpha$ и $\ctg\alpha$ через синус и косинус.
$\frac{1+\tg\alpha}{1+\ctg\alpha} = \frac{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$.
Ответ: $\tg\alpha$.

5) Заменяем $\ctg\alpha$ и $\tg\alpha$ через синус и косинус.
$\frac{1-\ctg\alpha}{1-\tg\alpha} = \frac{1-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{-(\sin\alpha-\cos\alpha)} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\ctg\alpha$.
Ответ: $-\ctg\alpha$.

6) Заменяем $\tg\alpha$ и $\ctg\alpha$ через синус и косинус.
$\frac{\tg\alpha-1}{\ctg\alpha-1} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-1} = \frac{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{-(\sin\alpha-\cos\alpha)} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tg\alpha$.
Ответ: $-\tg\alpha$.

7) Приводим дроби к общему знаменателю $(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
$\frac{1}{1+\sin\alpha} - \frac{1}{1-\sin\alpha} = \frac{1-\sin\alpha}{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)} - \frac{1+\sin\alpha}{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)} = \frac{(1-\sin\alpha)-(1+\sin\alpha)}{1-\sin^2\alpha} = \frac{1-\sin\alpha-1-\sin\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{-2\sin\alpha}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{-2\sin\alpha}{\cos^2\alpha}$.

8) Заменяем $\ctg\alpha$ и $\tg\alpha$ через синус и косинус.
$\frac{\ctg\alpha+1}{\tg\alpha+1} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1} = \frac{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \ctg\alpha$.
Ответ: $\ctg\alpha$.

9) Заменяем $\ctg\alpha$ на $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и приводим к общему знаменателю.
$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} + \ctg\alpha = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos\alpha(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha + \cos\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{1}{\sin\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin\alpha}$.

10) Заменяем $\tg\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и приводим к общему знаменателю.
$\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} - \tg\alpha = \frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin\alpha(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha(1-\sin\alpha)} = \frac{\cos^2\alpha - \sin\alpha + \sin^2\alpha}{\cos\alpha(1-\sin\alpha)} = \frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha(1-\sin\alpha)} = \frac{1}{\cos\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos\alpha}$.

11) Приводим дроби к общему знаменателю $(1-\cos\beta)(1+\cos\beta) = 1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$.
$\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta} + \frac{\sin\beta}{1+\cos\beta} = \frac{\sin\beta(1+\cos\beta) + \sin\beta(1-\cos\beta)}{(1-\cos\beta)(1+\cos\beta)} = \frac{\sin\beta+\sin\beta\cos\beta+\sin\beta-\sin\beta\cos\beta}{1-\cos^2\beta} = \frac{2\sin\beta}{\sin^2\beta} = \frac{2}{\sin\beta}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin\beta}$.

12) Приводим дроби к общему знаменателю $(1+\sin\beta)(1-\sin\beta) = 1 - \sin^2\beta = \cos^2\beta$.
$\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta} + \frac{\cos\beta}{1-\sin\beta} = \frac{\cos\beta(1-\sin\beta) + \cos\beta(1+\sin\beta)}{(1+\sin\beta)(1-\sin\beta)} = \frac{\cos\beta-\cos\beta\sin\beta+\cos\beta+\cos\beta\sin\beta}{1-\sin^2\beta} = \frac{2\cos\beta}{\cos^2\beta} = \frac{2}{\cos\beta}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos\beta}$.