Страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.6. Решите способом алгебраического сложения систему уравнений:

1)

$$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ y^2 - x^2 + 3 = 0; \end{cases}$$

2)

$$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1, \\ 2y^2 - 3x^2 + 1 = 0; \end{cases}$$

3)

$$\begin{cases} 2x^2 + yx = 16, \\ 3x^2 + xy = x + 18; \end{cases}$$

4)

$$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = x - 6, \\ 3y^2 - 2x^2 - 4 = 0. \end{cases}$$

1)Исходная система уравнений:$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ y^2 - x^2 + 3 = 0;\end{cases}$

Приведем второе уравнение к стандартному виду, перенеся свободный член в правую часть:$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ y^2 - x^2 = -3;\end{cases}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y^2$:
$(2x^2 + y^2) - (-x^2 + y^2) = 9 - (-3)$
$2x^2 + y^2 + x^2 - y^2 = 9 + 3$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Подставим найденные значения $x$ во второе преобразованное уравнение ($y^2 = x^2 - 3$) для нахождения соответствующих значений $y$.
1. При $x = 2$:
$y^2 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$
$y = \pm 1$. Получаем две пары решений: $(2, 1)$ и $(2, -1)$.
2. При $x = -2$:
$y^2 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$
$y = \pm 1$. Получаем еще две пары решений: $(-2, 1)$ и $(-2, -1)$.
Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

2)Исходная система уравнений:$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1, \\ 2y^2 - 3x^2 + 1 = 0;\end{cases}$

Приведем второе уравнение к стандартному виду и упорядочим переменные:$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1, \\ -3x^2 + 2y^2 = -1;\end{cases}$

Для использования метода сложения, умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y^2$ стали противоположными:
$2(2x^2 - y^2) = 2(1) \implies 4x^2 - 2y^2 = 2$
Теперь система выглядит так:$\begin{cases} 4x^2 - 2y^2 = 2, \\ -3x^2 + 2y^2 = -1;\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:
$(4x^2 - 2y^2) + (-3x^2 + 2y^2) = 2 + (-1)$
$x^2 = 1$
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Подставим найденные значения $x$ в первое исходное уравнение ($2x^2 - y^2 = 1 \implies y^2 = 2x^2 - 1$), чтобы найти $y$.
1. При $x = 1$:
$y^2 = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$
$y = \pm 1$. Получаем решения: $(1, 1)$ и $(1, -1)$.
2. При $x = -1$:
$y^2 = 2(-1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$
$y = \pm 1$. Получаем решения: $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.
Ответ: $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$.

3)Исходная система уравнений:$\begin{cases} 2x^2 + yx = 16, \\ 3x^2 + xy = x + 18;\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить член $xy$:
$(3x^2 + xy) - (2x^2 + xy) = (x + 18) - 16$
$x^2 = x + 2$
Перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение:
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Подставим найденные значения $x$ в первое уравнение ($2x^2 + xy = 16$), чтобы найти $y$. Выразим $y$: $xy = 16 - 2x^2 \implies y = \frac{16 - 2x^2}{x}$.
1. При $x = 2$:
$y = \frac{16 - 2(2^2)}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Получаем решение: $(2, 4)$.
2. При $x = -1$:
$y = \frac{16 - 2(-1)^2}{-1} = \frac{16 - 2}{-1} = \frac{14}{-1} = -14$.
Получаем решение: $(-1, -14)$.
Ответ: $(2, 4)$, $(-1, -14)$.

4)Исходная система уравнений:$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = x - 6, \\ 3y^2 - 2x^2 - 4 = 0;\end{cases}$

Приведем второе уравнение к виду, удобному для сложения: $3y^2 - 2x^2 = 4$. Поменяем местами слагаемые для наглядности: $-2x^2 + 3y^2 = 4$.
Система примет вид:$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = x - 6, \\ -2x^2 + 3y^2 = 4;\end{cases}$

Сложим два уравнения системы. Коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами, поэтому этот член сократится:
$(x^2 - 3y^2) + (-2x^2 + 3y^2) = (x - 6) + 4$
$-x^2 = x - 2$
$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Подставим найденные значения $x$ в преобразованное второе уравнение ($3y^2 = 2x^2 + 4$), чтобы найти $y$. Выразим $y^2$: $y^2 = \frac{2x^2 + 4}{3}$.
1. При $x = 1$:
$y^2 = \frac{2(1)^2 + 4}{3} = \frac{2+4}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$y = \pm\sqrt{2}$. Получаем решения: $(1, \sqrt{2})$ и $(1, -\sqrt{2})$.
2. При $x = -2$:
$y^2 = \frac{2(-2)^2 + 4}{3} = \frac{2(4)+4}{3} = \frac{8+4}{3} = \frac{12}{3} = 4$
$y = \pm 2$. Получаем решения: $(-2, 2)$ и $(-2, -2)$.
Ответ: $(-2, 2)$, $(-2, -2)$, $(1, \sqrt{2})$, $(1, -\sqrt{2})$.

3.7. Найдите решение системы:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = \frac{5}{16} \\ xy = 0.125 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0.75 \\ xy = -0.5 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 61 \\ x^2 - y^2 = 11 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} xy + 2 = 2x \\ 9 = y - xy \end{cases} $

6) $ \begin{cases} xy + y = 7 - x \\ x + 4 = y + 2xy \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 2xy = 10 + x \\ 2 = y + xy \end{cases} $

8) $ \begin{cases} xy + 12 = 0 \\ y - 6x = \frac{2}{3} \end{cases} $

1) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = \frac{5}{16} \\xy = 0,125\end{cases}$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Умножим второе уравнение на 2, получим $2xy = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.

Теперь используем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = \frac{5}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16} + \frac{4}{16} = \frac{9}{16}$. Из этого следует, что $x+y = \pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4}$.

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = \frac{5}{16} - \frac{1}{4} = \frac{5}{16} - \frac{4}{16} = \frac{1}{16}$. Из этого следует, что $x-y = \pm\sqrt{\frac{1}{16}} = \pm\frac{1}{4}$.

Мы получили четыре системы линейных уравнений:

а) $\begin{cases} x+y = \frac{3}{4} \\ x-y = \frac{1}{4} \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$. Вычтем второе из первого: $2y = \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{4}$.

б) $\begin{cases} x+y = \frac{3}{4} \\ x-y = -\frac{1}{4} \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{4}$. Вычтем второе из первого: $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$.

в) $\begin{cases} x+y = -\frac{3}{4} \\ x-y = \frac{1}{4} \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{1}{4}$. Вычтем второе из первого: $2y = -1 \implies y = -\frac{1}{2}$.

г) $\begin{cases} x+y = -\frac{3}{4} \\ x-y = -\frac{1}{4} \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$. Вычтем второе из первого: $2y = -\frac{1}{2} \implies y = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.

2) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = 0,75 \\xy = -0,5\end{cases}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0,75 = \frac{3}{4}$ и $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

Из второго уравнения выразим $y$ (при условии, что $x \neq 0$): $y = -\frac{1}{2x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (-\frac{1}{2x})^2 = \frac{3}{4}$

$x^2 - \frac{1}{4x^2} = \frac{3}{4}$

Умножим обе части уравнения на $4x^2$:

$4x^4 - 1 = 3x^2$

$4x^4 - 3x^2 - 1 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$4t^2 - 3t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

$t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 5}{8}$.

$t_1 = \frac{3+5}{8} = 1$. $t_2 = \frac{3-5}{8} = -\frac{1}{4}$.

Так как $t = x^2 \ge 0$, нам подходит только $t_1 = 1$.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.

Если $x = -1$, то $y = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $(1, -0,5)$, $(-1, 0,5)$.

3) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 10 \\xy = 3\end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2, получим $2xy = 6$.

Как и в первом задании, используем формулы квадрата суммы и разности:

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 6 = 16 \implies x+y = \pm 4$.

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 6 = 4 \implies x-y = \pm 2$.

Рассмотрим четыре системы линейных уравнений:

а) $\begin{cases} x+y = 4 \\ x-y = 2 \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = 6 \implies x = 3$. Тогда $y = 4-x = 1$.

б) $\begin{cases} x+y = 4 \\ x-y = -2 \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = 2 \implies x = 1$. Тогда $y = 4-x = 3$.

в) $\begin{cases} x+y = -4 \\ x-y = 2 \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = -2 \implies x = -1$. Тогда $y = -4-x = -3$.

г) $\begin{cases} x+y = -4 \\ x-y = -2 \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = -6 \implies x = -3$. Тогда $y = -4-x = -1$.

Ответ: $(3, 1)$, $(1, 3)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

4) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 61 \\x^2 - y^2 = 11\end{cases}$

Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$.

Сложим два уравнения: $(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 61 + 11 \implies 2x^2 = 72 \implies x^2 = 36$.

Отсюда $x = \pm \sqrt{36} = \pm 6$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 61 - 11 \implies 2y^2 = 50 \implies y^2 = 25$.

Отсюда $y = \pm \sqrt{25} = \pm 5$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(6, 5)$, $(6, -5)$, $(-6, 5)$, $(-6, -5)$.

5) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}xy + 2 = 2x \\9 = y - xy\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $xy$: $xy = y - 9$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y-9) + 2 = 2x \implies y - 7 = 2x \implies y = 2x + 7$.

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в уравнение $xy = y-9$:

$x(2x+7) = (2x+7) - 9$

$2x^2 + 7x = 2x - 2$

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-5-3}{4} = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = -1/2$, $y_1 = 2(-\frac{1}{2}) + 7 = -1 + 7 = 6$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = 2(-2) + 7 = -4 + 7 = 3$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, 6)$, $(-2, 3)$.

6) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}xy + y = 7 - x \\x + 4 = y + 2xy\end{cases}$

Перепишем систему в более удобном виде:

$\begin{cases}xy + x + y = 7 \\-2xy + x - y = -4\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2:

$\begin{cases}2xy + 2x + 2y = 14 \\-2xy + x - y = -4\end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(2xy + 2x + 2y) + (-2xy + x - y) = 14 - 4$

$3x + y = 10 \implies y = 10 - 3x$.

Подставим это выражение для $y$ в первое исходное уравнение $xy + x + y = 7$:

$x(10 - 3x) + x + (10 - 3x) = 7$

$10x - 3x^2 + x + 10 - 3x = 7$

$-3x^2 + 8x + 10 = 7$

$-3x^2 + 8x + 3 = 0$

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}$.

$x_1 = \frac{8+10}{6} = 3$.

$x_2 = \frac{8-10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 3$, $y_1 = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.

При $x_2 = -1/3$, $y_2 = 10 - 3(-\frac{1}{3}) = 10 + 1 = 11$.

Ответ: $(3, 1)$, $(-\frac{1}{3}, 11)$.

7) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}2xy = 10 + x \\2 = y + xy\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $xy$: $xy = 2 - y$.

Подставим это в первое уравнение:

$2(2 - y) = 10 + x$

$4 - 2y = 10 + x \implies x = 4 - 2y - 10 \implies x = -2y - 6$.

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в уравнение $xy = 2 - y$:

$(-2y - 6)y = 2 - y$

$-2y^2 - 6y = 2 - y$

$-2y^2 - 5y - 2 = 0$

$2y^2 + 5y + 2 = 0$

Это то же самое квадратное уравнение, что и в задаче 5, только для переменной $y$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$.

$y = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

$y_1 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$.

$y_2 = \frac{-5-3}{4} = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $y_1 = -1/2$, $x_1 = -2(-\frac{1}{2}) - 6 = 1 - 6 = -5$.

При $y_2 = -2$, $x_2 = -2(-2) - 6 = 4 - 6 = -2$.

Ответ: $(-5, -\frac{1}{2})$, $(-2, -2)$.

8) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}xy + 12 = 0 \\y - 6x = \frac{2}{3}\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 6x + \frac{2}{3}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x(6x + \frac{2}{3}) + 12 = 0$

$6x^2 + \frac{2}{3}x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$18x^2 + 2x + 36 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$9x^2 + x + 18 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot 18 = 1 - 648 = -647$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и система уравнений не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.

3.8. Решите способом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 2, \\ \frac{10}{x} + \frac{1}{y} = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y - 12 = 0, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,375; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - y = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0,8; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x - y = 5, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 0,5x - y = 1, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{1}{3}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 4 - x$.

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{4-x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(4-x)$:

$\frac{(4-x) + x}{x(4-x)} = 1$

$\frac{4}{4x - x^2} = 1$

При условии, что $4x - x^2 \ne 0$, получаем:

$4 = 4x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$(x-2)^2 = 0$

Отсюда $x-2 = 0$, следовательно, $x = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в выражение $y = 4 - x$:

$y = 4 - 2 = 2$.

Полученное решение $(2, 2)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 2, \\ \frac{10}{x} + \frac{1}{y} = 3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2 + y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{10}{2+y} + \frac{1}{y} = 3$

Приведем к общему знаменателю $y(2+y)$:

$\frac{10y + (2+y)}{y(2+y)} = 3$

$\frac{11y + 2}{2y + y^2} = 3$

При условии, что $2y + y^2 \ne 0$, получаем:

$11y + 2 = 3(2y + y^2)$

$11y + 2 = 6y + 3y^2$

$3y^2 - 5y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

$y_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -\frac{1}{3}$, то $x_1 = 2 + (-\frac{1}{3}) = \frac{5}{3}$.

Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 2 + 2 = 4$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(\frac{5}{3}, -\frac{1}{3})$, $(4, 2)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y - 12 = 0, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,375 \end{cases}$

Преобразуем систему для удобства. $0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$.

$\begin{cases} x + y = 12, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8} \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения: $y = 12 - x$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{12-x} = \frac{3}{8}$

Приведем к общему знаменателю $x(12-x)$:

$\frac{12-x+x}{x(12-x)} = \frac{3}{8}$

$\frac{12}{12x-x^2} = \frac{3}{8}$

Используем свойство пропорции:

$3(12x - x^2) = 12 \cdot 8$

$36x - 3x^2 = 96$

Разделим обе части на 3: $12x - x^2 = 32$.

$x^2 - 12x + 32 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 12$ и $x_1 \cdot x_2 = 32$. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 12 - 4 = 8$.

Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 12 - 8 = 4$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 8)$, $(8, 4)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0,8 \end{cases}$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$.

$\begin{cases} x - y = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{4}{5} \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения: $x = 4 + y$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{4+y} - \frac{1}{y} = -\frac{4}{5}$

$\frac{y - (4+y)}{y(4+y)} = -\frac{4}{5}$

$\frac{-4}{4y+y^2} = -\frac{4}{5}$

Разделим обе части на -4: $\frac{1}{4y+y^2} = \frac{1}{5}$.

Отсюда $4y+y^2 = 5$, или $y^2 + 4y - 5 = 0$.

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = -4$ и $y_1 \cdot y_2 = -5$. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 4 + 1 = 5$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 4 + (-5) = -1$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(5, 1)$, $(-1, -5)$.

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 5, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения: $x = 5 + y$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{5+y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

$\frac{y + (5+y)}{y(5+y)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2y+5}{5y+y^2} = \frac{1}{6}$

$6(2y+5) = 5y+y^2$

$12y + 30 = 5y + y^2$

$y^2 - 7y - 30 = 0$

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = 7$ и $y_1 \cdot y_2 = -30$. Корни: $y_1 = 10$, $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 10$, то $x_1 = 5 + 10 = 15$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 5 + (-3) = 2$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(15, 10)$, $(2, -3)$.

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 0,5x - y = 1, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{1}{3} \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 0,5x - 1$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{0,5x - 1} = -\frac{1}{3}$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{x-2}{2}} = -\frac{1}{3}$

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x-2} = -\frac{1}{3}$

Приведем к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{(x-2) - 2x}{x(x-2)} = -\frac{1}{3}$

$\frac{-x-2}{x^2-2x} = -\frac{1}{3}$

Умножим обе части на -1: $\frac{x+2}{x^2-2x} = \frac{1}{3}$.

$3(x+2) = x^2-2x$

$3x + 6 = x^2 - 2x$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 0,5(6) - 1 = 3 - 1 = 2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 0,5(-1) - 1 = -0,5 - 1 = -1,5 = -\frac{3}{2}$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(6, 2)$, $(-1, -1,5)$.

3.9. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} (x+5) \cdot (y+2) = 12, \\ 3x+9 = 5y-7; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} (x-1) \cdot (y+10) = 9, \\ x-y = 11; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 2(x-y) = 5-y, \\ (2x-y)^2 - 5x = 15; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 2x^2 - yx = -x, \\ 2(4x-3y) + 3y - 9 = 0. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}(x + 5) \cdot (y + 2) = 12, \\3x + 9 = 5y - 7;\end{cases}$

Сначала упростим второе уравнение:$3x + 9 = 5y - 7$$3x - 5y = -7 - 9$$3x - 5y = -16$

Выразим $y$ через $x$ из этого уравнения:$5y = 3x + 16$$y = \frac{3x + 16}{5}$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:$(x + 5) \cdot \left(\frac{3x + 16}{5} + 2\right) = 12$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:$(x + 5) \cdot \left(\frac{3x + 16 + 10}{5}\right) = 12$$(x + 5) \cdot \left(\frac{3x + 26}{5}\right) = 12$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:$(x + 5)(3x + 26) = 60$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$3x^2 + 26x + 15x + 130 = 60$$3x^2 + 41x + 130 - 60 = 0$$3x^2 + 41x + 70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 41^2 - 4 \cdot 3 \cdot 70 = 1681 - 840 = 841$$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-41 - 29}{2 \cdot 3} = \frac{-70}{6} = -\frac{35}{3}$$x_2 = \frac{-41 + 29}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = \frac{3x + 16}{5}$:

Для $x_1 = -\frac{35}{3}$:$y_1 = \frac{3 \cdot (-\frac{35}{3}) + 16}{5} = \frac{-35 + 16}{5} = \frac{-19}{5}$

Для $x_2 = -2$:$y_2 = \frac{3 \cdot (-2) + 16}{5} = \frac{-6 + 16}{5} = \frac{10}{5} = 2$

Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-\frac{35}{3}; -\frac{19}{5})$, $(-2; 2)$.

2)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}(x - 1) \cdot (y + 10) = 9, \\x - y = 11;\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:$x = 11 + y$

Подставим это выражение в первое уравнение:$((11 + y) - 1) \cdot (y + 10) = 9$$(10 + y) \cdot (y + 10) = 9$$(y + 10)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:$y + 10 = \pm\sqrt{9}$$y + 10 = \pm 3$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:1) $y_1 + 10 = 3 \implies y_1 = -7$2) $y_2 + 10 = -3 \implies y_2 = -13$

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = 11 + y$:

Для $y_1 = -7$:$x_1 = 11 + (-7) = 4$

Для $y_2 = -13$:$x_2 = 11 + (-13) = -2$

Система имеет два решения.
Ответ: $(4; -7)$, $(-2; -13)$.

3)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}2(x - y) = 5 - y, \\(2x - y)^2 - 5x = 15;\end{cases}$

Упростим первое уравнение:$2x - 2y = 5 - y$$2x - y = 5$

Заметим, что выражение $2x - y$ присутствует во втором уравнении. Подставим в него найденное значение $5$:$(5)^2 - 5x = 15$$25 - 5x = 15$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:$25 - 15 = 5x$$10 = 5x$$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=2$ в упрощенное первое уравнение $2x - y = 5$:$2(2) - y = 5$$4 - y = 5$$-y = 1$$y = -1$

Система имеет одно решение.
Ответ: $(2; -1)$.

4)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}2x^2 - yx = -x, \\2(4x - 3y) + 3y - 9 = 0.\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение:$2x^2 - yx + x = 0$Вынесем $x$ за скобки:$x(2x - y + 1) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях:Случай A: $x = 0$Случай Б: $2x - y + 1 = 0$

Теперь упростим второе уравнение системы:$8x - 6y + 3y - 9 = 0$$8x - 3y - 9 = 0$

Случай A: $x = 0$Подставим $x=0$ в упрощенное второе уравнение:$8(0) - 3y - 9 = 0$$-3y = 9$$y = -3$Получили первое решение: $(0; -3)$.

Случай Б: $2x - y + 1 = 0$Из этого уравнения выразим $y$:$y = 2x + 1$Подставим это выражение для $y$ в упрощенное второе уравнение $8x - 3y - 9 = 0$:$8x - 3(2x + 1) - 9 = 0$$8x - 6x - 3 - 9 = 0$$2x - 12 = 0$$2x = 12$$x = 6$

Найдем соответствующее значение $y$, используя $y = 2x + 1$:$y = 2(6) + 1 = 12 + 1 = 13$Получили второе решение: $(6; 13)$.

Система имеет два решения.
Ответ: $(0; -3)$, $(6; 13)$.

3.10. Решите графическим способом и способом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} xy = 1, \\ y = x^2; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 + y^2 = 16; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + 2y = 5, \\ y = x^2 + 1; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x - y = 2, \\ y = 0,5x^2 - 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} xy = 1 \\ y = x^2 \end{cases} $

Решение способом подстановки:
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения ($y = x^2$) в первое уравнение системы:
$x \cdot (x^2) = 1$
$x^3 = 1$
Из этого уравнения находим единственное действительное решение для $x$:
$x = \sqrt[3]{1} = 1$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ во второе уравнение:
$y = 1^2 = 1$
Таким образом, решение системы — точка $(1, 1)$.

Решение графическим способом:
Для решения системы графическим методом построим графики функций, соответствующих каждому уравнению, в одной системе координат.
Первое уравнение $xy=1$ эквивалентно функции $y = 1/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Второе уравнение $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.
Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы.

Графики функций пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.

2)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases} $

Решение способом подстановки:
Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = y + 4$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 4)^2 + y^2 = 16$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 16$
$2y^2 + 8y = 0$
Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:
$2y(y + 4) = 0$
Это уравнение имеет два корня:
$y_1 = 0$ или $y_2 = -4$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 0$, $x_1 = 0 + 4 = 4$. Получаем решение $(4, 0)$.
При $y_2 = -4$, $x_2 = -4 + 4 = 0$. Получаем решение $(0, -4)$.

Решение графическим способом:
Первое уравнение $x - y = 4$ можно записать как $y = x - 4$. Это уравнение прямой линии.
Второе уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.
Построим графики прямой и окружности и найдем их точки пересечения.

Графики пересекаются в двух точках с координатами $(4, 0)$ и $(0, -4)$.

Ответ: $(4, 0), (0, -4)$.

3)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ y = x^2 + 1 \end{cases} $

Решение способом подстановки:
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x + 2(x^2 + 1) = 5$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x + 2x^2 + 2 = 5$
$2x^2 + x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$
Находим два корня для $x$:
$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = x^2 + 1$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 1^2 + 1 = 2$. Решение: $(1, 2)$.
При $x_2 = -1,5$, $y_2 = (-1,5)^2 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25$. Решение: $(-1,5; 3,25)$.

Решение графическим способом:
Первое уравнение $x + 2y = 5$ преобразуем к виду $y = -0,5x + 2,5$. Это уравнение прямой линии.
Второе уравнение $y = x^2 + 1$ — это парабола, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY, с вершиной в точке $(0,1)$.
Построим графики и найдем точки их пересечения.

Графики пересекаются в двух точках с координатами $(1, 2)$ и $(-1,5; 3,25)$.

Ответ: $(1, 2), (-1,5; 3,25)$.

4)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x - y = 2 \\ y = 0,5x^2 - 2 \end{cases} $

Решение способом подстановки:
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = x - 2$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x - 2 = 0,5x^2 - 2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$0,5x^2 - x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(0,5x - 1) = 0$
Получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 0$ или $0,5x_2 - 1 = 0 \implies 0,5x_2 = 1 \implies x_2 = 2$
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x - 2$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 0 - 2 = -2$. Решение: $(0, -2)$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 2 - 2 = 0$. Решение: $(2, 0)$.

Решение графическим способом:
Первое уравнение $x - y = 2$ представим в виде $y = x - 2$. Это прямая линия.
Второе уравнение $y = 0,5x^2 - 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вверх.
Построим графики и найдем их точки пересечения.

Графики пересекаются в двух точках с координатами $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: $(0, -2), (2, 0)$.