Страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Рис. 106

189 На рисунке 106 изображена окружность $x^2 + y^2 = 1$ и графики функций $y = |x| - 1$, $y = |x - 1|$, $y = |x| + 1$. Используя рисунок, установите соответствие между системой уравнений и количеством её решений.

A. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| - 1. \end{cases}$

Б. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x - 1|. \end{cases}$

В. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| + 1. \end{cases}$

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) 4.

Для решения задачи необходимо сопоставить каждую систему уравнений с одним из графиков (А, Б или В), а затем подсчитать количество точек пересечения графиков на соответствующем рисунке. Количество точек пересечения равно количеству решений системы.

Первое уравнение во всех системах, $x^2 + y^2 = 1$, задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом 1. Эта окружность изображена на всех трех рисунках. Различие заключается во втором уравнении, которое задает V-образный график.

А.

Рассмотрим систему уравнений $x^2 + y^2 = 1$ и $y = |x| - 1$. График функции $y = |x| - 1$ получается путем смещения графика $y = |x|$ на 1 единицу вниз по оси $y$. Вершина этого графика будет в точке $(0, -1)$. Такое расположение графиков изображено на рисунке А. На нем видно, что окружность и график функции $y = |x| - 1$ пересекаются в трех точках.
Ответ: 3).

Б.

Рассмотрим систему уравнений $x^2 + y^2 = 1$ и $y = |x - 1|$. График функции $y = |x - 1|$ получается путем смещения графика $y = |x|$ на 1 единицу вправо по оси $x$. Вершина этого графика будет в точке $(1, 0)$. Такое расположение графиков изображено на рисунке Б. На нем видно, что графики пересекаются в двух точках.
Ответ: 2).

В.

Рассмотрим систему уравнений $x^2 + y^2 = 1$ и $y = |x| + 1$. График функции $y = |x| + 1$ получается путем смещения графика $y = |x|$ на 1 единицу вверх по оси $y$. Вершина этого графика будет в точке $(0, 1)$. Такое расположение графиков изображено на рисунке В. На нем видно, что графики имеют одну общую точку (касаются в одной точке).
Ответ: 1).

190 Используя графические представления, установите соответствие между системой уравнений и количеством её решений.

А. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = |x| - 2. \end{cases}$

Б. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = |x - 2|. \end{cases}$

В. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = |x| + 2. \end{cases}$

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) нет решений.

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Количество решений каждой системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков этих уравнений.

Первое уравнение во всех системах, $x^2 + y^2 = 2$, задает окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{2}$.

А.

В данной системе мы рассматриваем пересечение окружности $x^2 + y^2 = 2$ и графика функции $y = |x| - 2$.

График $y = |x| - 2$ — это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вниз по оси ординат. Его вершина находится в точке $(0, -2)$. Самая нижняя точка окружности — $(0, -\sqrt{2})$. Так как $-2 < -\sqrt{2}$, вершина графика модуля находится под окружностью, и графики пересекаются.

Найдем точки пересечения, решив систему. Подставим $y$ из второго уравнения в первое: $x^2 + (|x| - 2)^2 = 2$. Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение принимает вид $|x|^2 + (|x|^2 - 4|x| + 4) = 2$, или $2|x|^2 - 4|x| + 2 = 0$. Разделив на 2, получим $|x|^2 - 2|x| + 1 = 0$, что является полным квадратом $(|x| - 1)^2 = 0$.

Из этого следует, что $|x| = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Для обоих значений $x$ получаем $y = 1 - 2 = -1$. Точки пересечения: $(1, -1)$ и $(-1, -1)$.

Система имеет два решения.

Ответ: 2.

Б.

В данной системе мы рассматриваем пересечение окружности $x^2 + y^2 = 2$ и графика функции $y = |x - 2|$.

График $y = |x - 2|$ — это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Его вершина находится в точке $(2, 0)$. Самая правая точка окружности — $(\sqrt{2}, 0)$. Так как $2 > \sqrt{2}$, вершина графика модуля находится правее окружности.

Ветвь графика $y = x - 2$ (соответствующая $x \ge 2$) не может пересекать окружность, так как все точки окружности удовлетворяют условию $x \le \sqrt{2}$.

Рассмотрим ветвь $y = -(x-2) = 2-x$ (соответствующую $x < 2$). Подставим в уравнение окружности: $x^2 + (2 - x)^2 = 2$. Раскрыв скобки, получим $x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2$, или $2x^2 - 4x + 2 = 0$. После деления на 2 имеем $x^2 - 2x + 1 = 0$, то есть $(x - 1)^2 = 0$.

Корень уравнения $x = 1$. Это значение удовлетворяет условию $x < 2$. Соответствующее значение $y = 2 - 1 = 1$. Точка пересечения (касания) одна: $(1, 1)$.

Система имеет одно решение.

Ответ: 1.

В.

В данной системе мы рассматриваем пересечение окружности $x^2 + y^2 = 2$ и графика функции $y = |x| + 2$.

График $y = |x| + 2$ — это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вверх по оси ординат. Его вершина находится в точке $(0, 2)$, и это точка с наименьшим значением $y$. Таким образом, для всех точек этого графика $y \ge 2$.

Для окружности $x^2 + y^2 = 2$ значения $y$ ограничены диапазоном $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Наибольшее значение $y$ на окружности равно $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Поскольку минимальное значение $y$ на графике модуля (равное 2) больше максимального значения $y$ на окружности (равного $\sqrt{2}$), графики не имеют общих точек.

Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

191. При каких значениях $m$ парабола $y = -x^2 + m$ и окружность $x^2 + y^2 = 5$ имеют:

a) одну общую точку;

б) три общие точки.

Для нахождения общих точек параболы и окружности необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -x^2 + m \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x^2$: $x^2 = m - y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(m - y) + y^2 = 5$

$y^2 - y + (m - 5) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Количество общих точек исходных кривых зависит от количества действительных корней этого уравнения и от выполнения условия $x^2 = m - y \ge 0$ для каждого корня $y$. Каждое значение $y$, для которого $m - y > 0$, дает две симметричные относительно оси $Oy$ точки. Если $m - y = 0$, то $x=0$, и мы получаем одну точку на оси $Oy$. Если $m - y < 0$, действительных значений $x$ не существует.

а) одну общую точку;

Система имеет одну общую точку, если существует единственная пара $(x, y)$, удовлетворяющая обоим уравнениям. Такая ситуация возможна, если парабола касается окружности в одной точке. Касание может произойти в верхней или нижней точке окружности, которые лежат на оси симметрии параболы ($x=0$).

При $x=0$ из уравнения параболы получаем $y = m$. Подставим $x=0$ и $y=m$ в уравнение окружности:

$0^2 + m^2 = 5 \implies m = \pm\sqrt{5}$.

Рассмотрим оба случая:

1. Пусть $m = \sqrt{5}$. Уравнение для $y$ принимает вид:

$y^2 - y + (\sqrt{5} - 5) = 0$.

Один корень этого уравнения (соответствующий точке касания) равен $y_1 = m = \sqrt{5}$. Для этого корня $x^2 = m - y_1 = \sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$, что дает одно решение $x=0$. Получаем одну точку $(0, \sqrt{5})$.

По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 1$, откуда второй корень $y_2 = 1 - y_1 = 1 - \sqrt{5}$.

Для второго корня $y_2 = 1 - \sqrt{5}$ проверим условие $x^2 \ge 0$:

$x^2 = m - y_2 = \sqrt{5} - (1 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 1$. Так как $2\sqrt{5} = \sqrt{20} > \sqrt{1} = 1$, то $2\sqrt{5} - 1 > 0$. Это дает два различных решения для $x$: $x = \pm\sqrt{2\sqrt{5} - 1}$. Следовательно, есть еще две общие точки.

Всего при $m = \sqrt{5}$ получается $1 + 2 = 3$ общие точки.

2. Пусть $m = -\sqrt{5}$. Уравнение для $y$ принимает вид:

$y^2 - y + (-\sqrt{5} - 5) = 0 \implies y^2 - y - (5 + \sqrt{5}) = 0$.

Один корень этого уравнения $y_1 = m = -\sqrt{5}$. Для него $x^2 = m - y_1 = -\sqrt{5} - (-\sqrt{5}) = 0$, что дает одно решение $x=0$. Получаем точку $(0, -\sqrt{5})$.

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = 1$, откуда второй корень $y_2 = 1 - y_1 = 1 - (-\sqrt{5}) = 1 + \sqrt{5}$.

Для второго корня $y_2 = 1 + \sqrt{5}$ проверим условие $x^2 \ge 0$:

$x^2 = m - y_2 = -\sqrt{5} - (1 + \sqrt{5}) = -1 - 2\sqrt{5} < 0$.

Действительных решений для $x$ в этом случае нет.

Таким образом, при $m = -\sqrt{5}$ система имеет ровно одну общую точку.

Ответ: $m = -\sqrt{5}$.

б) три общие точки.

Три общие точки получаются, когда для одного корня уравнения для $y$ существует одно решение для $x$ ($x=0$), а для другого корня — два решения для $x$ ($x \ne 0$).

Из анализа, проведенного в пункте а), следует, что такая ситуация возникает при $m = \sqrt{5}$.

При $m = \sqrt{5}$ мы получили два действительных корня для $y$:

$y_1 = \sqrt{5}$, который дает одну общую точку $(0, \sqrt{5})$.

$y_2 = 1 - \sqrt{5}$, который дает две общие точки $(\pm\sqrt{2\sqrt{5}-1}, 1-\sqrt{5})$.

В сумме это дает $1 + 2 = 3$ общие точки.

Ответ: $m = \sqrt{5}$.

192 Решите уравнение:

a) $7x - 42 = 0$;

б) $-8x - 96 = 0$;

в) $6x + 84 = 0$;

г) $-9x + 54 = 0$.

а) $7x - 42 = 0$

Это линейное уравнение с одной переменной. Чтобы найти значение $x$, нужно изолировать член с переменной.

1. Перенесем свободный член $-42$ из левой части уравнения в правую. При переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный:

$7x = 42$

2. Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 7:

$x = \frac{42}{7}$

$x = 6$

Проверка: $7 \cdot 6 - 42 = 42 - 42 = 0$. Решение верное.

Ответ: $6$

б) $-8x - 96 = 0$

1. Перенесем свободный член $-96$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-8x = 96$

2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, равный -8:

$x = \frac{96}{-8}$

$x = -12$

Проверка: $-8 \cdot (-12) - 96 = 96 - 96 = 0$. Решение верное.

Ответ: $-12$

в) $6x + 84 = 0$

1. Перенесем свободный член $84$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$6x = -84$

2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 6:

$x = \frac{-84}{6}$

$x = -14$

Проверка: $6 \cdot (-14) + 84 = -84 + 84 = 0$. Решение верное.

Ответ: $-14$

г) $-9x + 54 = 0$

1. Перенесем свободный член $54$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-9x = -54$

2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, равный -9:

$x = \frac{-54}{-9}$

При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число:

$x = 6$

Проверка: $-9 \cdot 6 + 54 = -54 + 54 = 0$. Решение верное.

Ответ: $6$

193 Решите уравнение:

а) $12x + 6 = 0;$

б) $-15x - 3 = 0;$

в) $-20x + 5 = 0;$

г) $10x - 4 = 0.$

а) $12x + 6 = 0$

Для решения этого линейного уравнения необходимо изолировать переменную $x$. Сначала перенесем свободный член (6) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$12x = -6$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 12:

$x = \frac{-6}{12}$

Сократим полученную дробь. Можно разделить числитель и знаменатель на 6. В результате получим:

$x = -\frac{1}{2}$ или $x = -0.5$

Ответ: $x = -0.5$.

б) $-15x - 3 = 0$

Перенесем свободный член (-3) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-15x = 3$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -15:

$x = \frac{3}{-15}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = -\frac{1}{5}$ или $x = -0.2$

Ответ: $x = -0.2$.

в) $-20x + 5 = 0$

Перенесем слагаемое 5 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$-20x = -5$

Разделим обе части уравнения на -20. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат:

$x = \frac{-5}{-20} = \frac{5}{20}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$x = \frac{1}{4}$ или $x = 0.25$

Ответ: $x = 0.25$.

г) $10x - 4 = 0$

Перенесем свободный член (-4) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$10x = 4$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 10:

$x = \frac{4}{10}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$x = 0.4$

Ответ: $x = 0.4$.

194 Решите уравнение:

a) $-4x - 7 = 1$;

б) $6x + 13 = -2$;

в) $-14x + 9 = 37$;

г) $9x - 12 = 33$.

а) Дано уравнение $-4x - 7 = 1$. Чтобы найти неизвестную $x$, сначала изолируем слагаемое с $x$. Для этого перенесем свободный член -7 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
$-4x = 1 + 7$
Выполним сложение в правой части:
$-4x = 8$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -4:
$x = \frac{8}{-4}$
$x = -2$
Ответ: -2

б) Дано уравнение $6x + 13 = -2$. Перенесем слагаемое 13 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$6x = -2 - 13$
Вычислим значение правой части:
$6x = -15$
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-15}{6}$
Сократим полученную дробь на 3 и, при необходимости, представим в виде десятичной дроби:
$x = -\frac{5}{2} = -2,5$
Ответ: -2,5

в) Дано уравнение $-14x + 9 = 37$. Перенесем слагаемое 9 из левой части в правую с противоположным знаком:
$-14x = 37 - 9$
Выполним вычитание в правой части:
$-14x = 28$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент -14:
$x = \frac{28}{-14}$
$x = -2$
Ответ: -2

г) Дано уравнение $9x - 12 = 33$. Перенесем свободный член -12 в правую часть, изменив знак на "+":
$9x = 33 + 12$
Сложим числа в правой части уравнения:
$9x = 45$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9:
$x = \frac{45}{9}$
$x = 5$
Ответ: 5