Страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

229 Определите, сколько решений имеет система уравнений:

a) $ \begin{cases} x^2 + 4x = y - 2, \\ x + y + 2 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y = 2x + 2, \\ y - 3 = 0. \end{cases} $

а) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + 4x = y - 2 \\x + y + 2 = 0\end{cases}$.
Для определения количества решений, выразим $y$ из второго уравнения и подставим в первое.
Из второго уравнения получаем: $y = -x - 2$.
Подставляем это выражение в первое уравнение:
$x^2 + 4x = (-x - 2) - 2$
$x^2 + 4x = -x - 4$
Приводим полученное квадратное уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 5x + 4 = 0$
Количество решений данного квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=5$, $c=4$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$
Поскольку $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Каждому значению $x$ соответствует одно единственное значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y = 2x + 2 \\y - 3 = 0\end{cases}$.
Из второго уравнения системы сразу находим значение $y$:
$y - 3 = 0 \implies y = 3$
Подставим это значение в первое уравнение:
$x^2 + 3 = 2x + 2$
Приведем полученное квадратное уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 2x + 3 - 2 = 0$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(x-1)^2 = 0$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, чтобы определить количество корней.
Здесь $a=1$, $b=-2$, $c=1$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$
Поскольку $D = 0$, квадратное уравнение имеет один единственный действительный корень. Так как значение $y$ также определено однозначно ($y=3$), система имеет одно решение.
Ответ: 1 решение.

230 Определите, сколько решений имеет система уравнений:

a) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ xy + 4 = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x^2 - y = -5. \end{cases}$$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ xy + 4 = 0 \end{cases} $$

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $xy + 4 = 0$ можно переписать в виде $y = -\frac{4}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Чтобы найти количество решений системы, нужно определить количество точек пересечения графиков этих двух функций. Для этого решим систему алгебраически. Выразим $y$ из второго уравнения и подставим в первое:

$y = -\frac{4}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$)

Подставляем в первое уравнение:

$x^2 + \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = 16$

$x^2 + \frac{16}{x^2} = 16$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (так как $x \neq 0$):

$x^4 + 16 = 16x^2$

$x^4 - 16x^2 + 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x$ — действительное число, то $t \ge 0$.

$t^2 - 16t + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 256 - 64 = 192$

Поскольку $D = 192 > 0$, уравнение имеет два различных корня.

$t_1 = \frac{16 + \sqrt{192}}{2} = \frac{16 + 8\sqrt{3}}{2} = 8 + 4\sqrt{3}$

$t_2 = \frac{16 - \sqrt{192}}{2} = \frac{16 - 8\sqrt{3}}{2} = 8 - 4\sqrt{3}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $t > 0$.

$t_1 = 8 + 4\sqrt{3} > 0$.

Для $t_2 = 8 - 4\sqrt{3}$ сравним $8$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $8^2 = 64$ и $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $64 > 48$, то $8 > 4\sqrt{3}$, следовательно $t_2 = 8 - 4\sqrt{3} > 0$.

Оба корня для $t$ положительны. Вернемся к замене $x^2 = t$.

Уравнение $x^2 = t_1 = 8 + 4\sqrt{3}$ имеет два различных действительных корня для $x$: $x_{1,2} = \pm\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$.

Уравнение $x^2 = t_2 = 8 - 4\sqrt{3}$ также имеет два различных действительных корня для $x$: $x_{3,4} = \pm\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$.

Таким образом, мы получили четыре различных значения для $x$. Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y = -4/x$. Следовательно, система имеет четыре различных решения.

Ответ: 4 решения.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y = -5 \end{cases} $$

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $x^2 - y = -5$ можно переписать в виде $y = x^2 + 5$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, 5).

Чтобы найти количество решений, решим систему методом подстановки. Выразим $x^2$ из второго уравнения:

$x^2 = y - 5$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, должно выполняться условие $y - 5 \ge 0$, то есть $y \ge 5$.

Подставим выражение для $x^2$ в первое уравнение:

$(y - 5) + y^2 = 25$

$y^2 + y - 5 - 25 = 0$

$y^2 + y - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни уравнения:

$y_1 + y_2 = -1$

$y_1 \cdot y_2 = -30$

Отсюда находим корни $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $y \ge 5$.

Корень $y_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 5$).

Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию ($-6 < 5$).

Следовательно, единственное возможное значение для $y$ — это $y=5$. Найдем соответствующее значение $x$:

$x^2 = y - 5 = 5 - 5 = 0$

$x^2 = 0 \implies x = 0$

Таким образом, система имеет единственное решение $(0, 5)$. Это соответствует тому, что парабола $y = x^2+5$ касается окружности $x^2+y^2=25$ в своей вершине.

Ответ: 1 решение.

231 Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} x^2 y^2 - 6xy = -5, \\ 3x + 3y = 10; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} 2x^2 y^2 - 5xy = -2, \\ x - y = -1. \end{cases} $

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2y^2 - 6xy = -5, \\ 3x + 3y = 10; \end{cases}$

Это нелинейная система. Введем замену переменной в первом уравнении. Пусть $t = xy$. Тогда первое уравнение примет вид:

$t^2 - 6t = -5$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $xy = 1$.

Из второго уравнения исходной системы $3x + 3y = 10$ выразим сумму $x+y$:
$3(x+y) = 10 \implies x+y = \frac{10}{3}$.

Получаем систему:
$\begin{cases} x+y = \frac{10}{3}, \\ xy = 1. \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (x+y)z + xy = 0$. Подставим наши значения:

$z^2 - \frac{10}{3}z + 1 = 0$

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3z^2 - 10z + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения: $z = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$z_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$z_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Таким образом, получаем две пары решений: $(3; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; 3)$.

Случай 2: $xy = 5$.

Сумма переменных остается той же: $x+y = \frac{10}{3}$.

Получаем систему:
$\begin{cases} x+y = \frac{10}{3}, \\ xy = 5. \end{cases}$

Составим квадратное уравнение для $z$, корнями которого будут $x$ и $y$:

$z^2 - \frac{10}{3}z + 5 = 0$

Умножим на 3:

$3z^2 - 10z + 15 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 100 - 180 = -80$.

Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет, а значит, в этом случае система не имеет действительных решений.

Ответ: $(3; \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}; 3)$.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2y^2 - 5xy = -2, \\ x - y = -1. \end{cases}$

Сделаем замену переменной в первом уравнении. Пусть $t = xy$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - 5t = -2$

Перенесем все в левую часть:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $xy = 2$.

Из второго уравнения исходной системы $x - y = -1$ выразим $x$: $x = y - 1$.

Подставим это выражение в $xy = 2$:

$(y-1)y = 2$

$y^2 - y - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 - 1 = 1$. Получаем решение $(1; 2)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 - 1 = -2$. Получаем решение $(-2; -1)$.

Случай 2: $xy = \frac{1}{2}$.

Используем то же выражение $x = y - 1$ и подставляем его в $xy = \frac{1}{2}$:

$(y-1)y = \frac{1}{2}$

$y^2 - y - \frac{1}{2} = 0$

Умножим уравнение на 2:

$2y^2 - 2y - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $y = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

$y_3 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ и $y_4 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, то $x_3 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{1 + \sqrt{3} - 2}{2} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$.

Получаем решение $(\frac{\sqrt{3}-1}{2}; \frac{\sqrt{3}+1}{2})$.

Если $y_4 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$, то $x_4 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{1 - \sqrt{3} - 2}{2} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$.

Получаем решение $(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $(1; 2), (-2; -1), (\frac{\sqrt{3}-1}{2}; \frac{\sqrt{3}+1}{2}), (\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2})$.

232 а) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{4y}{x} = 3, \\ x - 3y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{5y}{x} = -6, \\ 2x + 7y = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{4y}{x} = 3 \\ x - 3y = 1 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется условиями $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

В первом уравнении введем новую переменную. Пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x}$ будет равно $\frac{1}{t}$. Первое уравнение можно переписать в виде:

$t - 4 \cdot \frac{1}{t} = 3$

Умножим обе части этого уравнения на $t$, предполагая, что $t \neq 0$ (что следует из ОДЗ, так как $x \neq 0$):

$t^2 - 4 = 3t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$ и рассмотреть два случая.

Случай 1: $t = 4$.

Это означает, что $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение исходной системы $x - 3y = 1$:

$4y - 3y = 1$

$y = 1$

Зная $y$, найдем соответствующий $x$:

$x = 4y = 4 \cdot 1 = 4$

Таким образом, первая пара решений — $(4, 1)$. Эта пара удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $t = -1$.

Это означает, что $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы $x - 3y = 1$:

$-y - 3y = 1$

$-4y = 1$

$y = -\frac{1}{4}$

Зная $y$, найдем соответствующий $x$:

$x = -y = -(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$

Таким образом, вторая пара решений — $(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$. Эта пара также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(4, 1), (\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{5y}{x} = -6 \\ 2x + 7y = 6 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Аналогично предыдущему пункту, введем замену $t = \frac{x}{y}$ в первом уравнении. Уравнение примет вид:

$t + \frac{5}{t} = -6$

Умножим обе части уравнения на $t$ (где $t \neq 0$):

$t^2 + 5 = -6t$

Приведем к стандартному виду:

$t^2 + 6t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно 5. Корни уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = -5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t = -1$.

$\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x + 7y = 6$:

$2(-y) + 7y = 6$

$-2y + 7y = 6$

$5y = 6$

$y = \frac{6}{5}$

Найдем $x$:

$x = -y = -\frac{6}{5}$

Первая пара решений: $(-\frac{6}{5}, \frac{6}{5})$.

Случай 2: $t = -5$.

$\frac{x}{y} = -5$, откуда $x = -5y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x + 7y = 6$:

$2(-5y) + 7y = 6$

$-10y + 7y = 6$

$-3y = 6$

$y = -2$

Найдем $x$:

$x = -5y = -5(-2) = 10$

Вторая пара решений: $(10, -2)$.

Обе пары решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(-\frac{6}{5}, \frac{6}{5}), (10, -2)$.

233 a) Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \frac{8}{x-y} - \frac{1}{x+y} = 5, \\ \frac{15}{x-y} - \frac{6}{x+y} = -3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{9}{2x+y} - \frac{4}{x-y} = 2, \\ \frac{3}{2x+y} + \frac{5}{x-y} = 26. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{8}{x - y} - \frac{1}{x + y} = 5 \\ \frac{15}{x - y} - \frac{6}{x + y} = -3 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно ввести новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x - y}$ и $v = \frac{1}{x + y}$. При этом необходимо учесть, что $x - y \ne 0$ и $x + y \ne 0$.

После замены система примет вид:

$$ \begin{cases} 8u - v = 5 \\ 15u - 6v = -3 \end{cases} $$

Это система двух линейных уравнений с двумя переменными. Решим ее методом сложения. Умножим первое уравнение на 6, чтобы коэффициенты при переменной $v$ стали равными по модулю:

$$ 6 \cdot (8u - v) = 6 \cdot 5 $$

$$ 48u - 6v = 30 $$

Теперь вычтем второе уравнение ($15u - 6v = -3$) из полученного нового уравнения ($48u - 6v = 30$):

$$ (48u - 6v) - (15u - 6v) = 30 - (-3) $$

$$ 48u - 15u = 33 $$

$$ 33u = 33 $$

$$ u = 1 $$

Подставим найденное значение $u = 1$ в первое уравнение ($8u - v = 5$):

$$ 8(1) - v = 5 $$

$$ 8 - v = 5 $$

$$ v = 3 $$

Теперь, когда мы нашли значения $u$ и $v$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$$ u = \frac{1}{x - y} = 1 \implies x - y = 1 $$

$$ v = \frac{1}{x + y} = 3 \implies x + y = \frac{1}{3} $$

Мы получили новую, более простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$$ (x - y) + (x + y) = 1 + \frac{1}{3} $$

$$ 2x = \frac{4}{3} $$

$$ x = \frac{2}{3} $$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = \frac{1}{3}$:

$$ \frac{2}{3} + y = \frac{1}{3} $$

$$ y = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} $$

Проверка ОДЗ: $x-y = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{3}) = 1 \ne 0$; $x+y = \frac{2}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \ne 0$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{9}{2x + y} - \frac{4}{x - y} = 2 \\ \frac{3}{2x + y} + \frac{5}{x - y} = 26 \end{cases} $$

Как и в предыдущем случае, введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{2x + y}$ и $b = \frac{1}{x - y}$. ОДЗ: $2x + y \ne 0$ и $x - y \ne 0$.

Система преобразуется к виду:

$$ \begin{cases} 9a - 4b = 2 \\ 3a + 5b = 26 \end{cases} $$

Решим эту систему. Умножим второе уравнение на 3, чтобы уравнять коэффициенты при $a$:

$$ 3 \cdot (3a + 5b) = 3 \cdot 26 $$

$$ 9a + 15b = 78 $$

Теперь вычтем первое уравнение ($9a - 4b = 2$) из полученного нового:

$$ (9a + 15b) - (9a - 4b) = 78 - 2 $$

$$ 15b + 4b = 76 $$

$$ 19b = 76 $$

$$ b = 4 $$

Подставим значение $b = 4$ в уравнение $3a + 5b = 26$:

$$ 3a + 5(4) = 26 $$

$$ 3a + 20 = 26 $$

$$ 3a = 6 $$

$$ a = 2 $$

Выполним обратную замену:

$$ a = \frac{1}{2x + y} = 2 \implies 2x + y = \frac{1}{2} $$

$$ b = \frac{1}{x - y} = 4 \implies x - y = \frac{1}{4} $$

Получили систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} 2x + y = \frac{1}{2} \\ x - y = \frac{1}{4} \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$$ (2x + y) + (x - y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $$

$$ 3x = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

$$ x = \frac{1}{4} $$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x - y = \frac{1}{4}$:

$$ \frac{1}{4} - y = \frac{1}{4} $$

$$ -y = 0 $$

$$ y = 0 $$

Проверка ОДЗ: $2x+y = 2(\frac{1}{4}) + 0 = \frac{1}{2} \ne 0$; $x-y = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4} \ne 0$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; 0)$

234 Найдите целое значение $a$, при котором $ax + 5y = 0$, если пара чисел $(x; y)$ является решением системы уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 41, \\ x + 2y = 3. \end{cases}$

Для того чтобы найти значение параметра $a$, сначала необходимо найти пару чисел $(x; y)$, которая является решением системы уравнений. После этого мы подставим найденные значения $x$ и $y$ в уравнение $ax + 5y = 0$ и найдем $a$.

1. Решим систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 41, \\x + 2y = 3.\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 3 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(3 - 2y)^2 + y^2 = 41$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9 - 12y + 4y^2 + y^2 = 41$

$5y^2 - 12y + 9 - 41 = 0$

$5y^2 - 12y - 32 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-32) = 144 + 640 = 784$

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 28}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 28}{2 \cdot 5} = \frac{-16}{10} = -1.6$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 3 - 2y_1 = 3 - 2 \cdot 4 = 3 - 8 = -5$.

Если $y_2 = -1.6$, то $x_2 = 3 - 2y_2 = 3 - 2 \cdot (-1.6) = 3 + 3.2 = 6.2$.

Таким образом, система имеет два решения: $(-5; 4)$ и $(6.2; -1.6)$.

2. Найдем значение $a$. По условию, $a$ должно быть целым числом. Подставим поочередно каждую пару решений $(x; y)$ в уравнение $ax + 5y = 0$.

Случай 1: Пара чисел $(-5; 4)$.

$a \cdot (-5) + 5 \cdot 4 = 0$

$-5a + 20 = 0$

$-5a = -20$

$a = \frac{-20}{-5} = 4$

Значение $a = 4$ является целым числом.

Случай 2: Пара чисел $(6.2; -1.6)$.

$a \cdot (6.2) + 5 \cdot (-1.6) = 0$

$6.2a - 8 = 0$

$6.2a = 8$

$a = \frac{8}{6.2} = \frac{80}{62} = \frac{40}{31}$

Значение $a = \frac{40}{31}$ не является целым числом.

Поскольку в задаче требуется найти целое значение $a$, из двух полученных вариантов подходит только $a = 4$.

Ответ: 4

235 Найдите целое значение $a$, при котором $ax + y = 6$, если пара чисел $(x; y)$ является решением системы уравнений

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 32, \\ 2x - y = 11. \end{cases}$

Для того чтобы найти целое значение параметра $a$, необходимо сначала решить систему уравнений, чтобы определить значения $x$ и $y$.

Дана система уравнений:$$\begin{cases} x^2 - y^2 = 32, \\ 2x - y = 11.\end{cases}$$

Из второго уравнения системы выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 2x - 11$.

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 - (2x - 11)^2 = 32$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - (4x^2 - 44x + 121) = 32$
$x^2 - 4x^2 + 44x - 121 = 32$
$-3x^2 + 44x - 121 - 32 = 0$
$-3x^2 + 44x - 153 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на $-1$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$3x^2 - 44x + 153 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 153 = 1936 - 1836 = 100$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Найдем корни уравнения для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-44) + 10}{2 \cdot 3} = \frac{44 + 10}{6} = \frac{54}{6} = 9$.
$x_2 = \frac{-(-44) - 10}{2 \cdot 3} = \frac{44 - 10}{6} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя формулу $y = 2x - 11$.

1. Если $x_1 = 9$, то $y_1 = 2 \cdot 9 - 11 = 18 - 11 = 7$.
Первая пара чисел, являющаяся решением системы, — $(9; 7)$.

2. Если $x_2 = \frac{17}{3}$, то $y_2 = 2 \cdot \frac{17}{3} - 11 = \frac{34}{3} - \frac{33}{3} = \frac{1}{3}$.
Вторая пара чисел, являющаяся решением системы, — $(\frac{17}{3}; \frac{1}{3})$.

По условию задачи, найденная пара $(x; y)$ также удовлетворяет уравнению $ax + y = 6$. Проверим обе пары, чтобы найти, при какой из них $a$ будет целым числом.

Подставим первую пару $(9; 7)$ в уравнение $ax + y = 6$:
$a \cdot 9 + 7 = 6$
$9a = -1$
$a = -\frac{1}{9}$.
Это значение не является целым.

Подставим вторую пару $(\frac{17}{3}; \frac{1}{3})$ в уравнение $ax + y = 6$:
$a \cdot \frac{17}{3} + \frac{1}{3} = 6$
$a \cdot \frac{17}{3} = 6 - \frac{1}{3}$
$a \cdot \frac{17}{3} = \frac{18}{3} - \frac{1}{3}$
$a \cdot \frac{17}{3} = \frac{17}{3}$
$a = 1$.
Это значение является целым числом.

Следовательно, искомое целое значение $a$ равно 1.

Ответ: $1$

236 При каком значении $a$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ |x| - y = a \end{cases}$ имеет три решения?

Для решения задачи используем графический метод. Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков функций, входящих в систему.

Первое уравнение системы, $x^2 + y^2 = 16$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение системы, $|x| - y = a$, можно преобразовать к виду $y = |x| - a$. Этот график представляет собой "галочку" (объединение двух лучей), полученную смещением графика функции $y = |x|$ на $a$ единиц вниз по оси ординат. Вершина этой "галочки" находится в точке $(0, -a)$. При изменении параметра $a$ график $y = |x| - a$ будет перемещаться вертикально.

Нам необходимо найти такое значение параметра $a$, при котором графики окружности и "галочки" будут иметь ровно три общие точки. Рассмотрим различные положения графика $y = |x| - a$ относительно окружности.

Три точки пересечения возможны в случае, когда вершина "галочки" лежит на окружности, а ее ветви пересекают окружность в двух других точках.

Вершина графика $y = |x| - a$ имеет координаты $(0, -a)$. Окружность $x^2 + y^2 = 16$ пересекает ось OY в точках $(0, 4)$ и $(0, -4)$. Следовательно, вершина "галочки" может лежать на окружности в двух случаях.

Случай 1: Вершина "галочки" в точке $(0, 4)$

Координаты вершины $(0, -a)$ должны совпадать с $(0, 4)$, откуда $-a = 4$, то есть $a = -4$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ |x| - y = -4 \end{cases} $$ Из второго уравнения $y = |x| + 4$. Подставим это выражение в первое уравнение: $x^2 + (|x| + 4)^2 = 16$ $x^2 + (|x|^2 + 8|x| + 16) = 16$ Так как $|x|^2 = x^2$, получаем: $2x^2 + 8|x| = 0$ $2|x|(|x| + 4) = 0$ Поскольку $|x| \ge 0$, то $|x| + 4 > 0$. Следовательно, единственное решение этого уравнения — $|x| = 0$, что означает $x = 0$. Если $x = 0$, то $y = |0| + 4 = 4$. Таким образом, при $a = -4$ система имеет только одно решение: $(0, 4)$. Этот случай нам не подходит.

Случай 2: Вершина "галочки" в точке $(0, -4)$

Координаты вершины $(0, -a)$ должны совпадать с $(0, -4)$, откуда $-a = -4$, то есть $a = 4$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ |x| - y = 4 \end{cases} $$ Из второго уравнения $y = |x| - 4$. Подставим это выражение в первое уравнение: $x^2 + (|x| - 4)^2 = 16$ $x^2 + (|x|^2 - 8|x| + 16) = 16$ $2x^2 - 8|x| = 0$ $2|x|(|x| - 4) = 0$ Это уравнение имеет два решения для $|x|$: 1) $|x| = 0 \implies x = 0$. Если $x = 0$, то $y = |0| - 4 = -4$. Получаем первую точку пересечения $(0, -4)$. 2) $|x| - 4 = 0 \implies |x| = 4$. Отсюда $x = 4$ или $x = -4$. Если $x = 4$, то $y = |4| - 4 = 0$. Получаем вторую точку пересечения $(4, 0)$. Если $x = -4$, то $y = |-4| - 4 = 4 - 4 = 0$. Получаем третью точку пересечения $(-4, 0)$.

Таким образом, при $a=4$ система имеет ровно три различных решения: $(0, -4)$, $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

Ответ: $a=4$.

237 При каком значении $a$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ |x| + y = a \end{cases}$ имеет одно решение?

Данная система уравнений состоит из двух уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ |x| + y = a \end{cases} $$

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, является уравнением окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение, $|x| + y = a$, можно представить в виде $y = a - |x|$. График этой зависимости состоит из двух лучей, образующих "галочку" с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, a)$.

Решить систему — значит найти все пары $(x, y)$, удовлетворяющие обоим уравнениям. Геометрически это соответствует нахождению всех точек пересечения окружности и графика "галочки". Нам нужно найти такое значение параметра $a$, при котором существует ровно одна точка пересечения.

Для решения задачи применим аналитический метод. Выразим $y$ из второго уравнения и подставим в первое:

$$ y = a - |x| $$

$$ x^2 + (a - |x|)^2 = 9 $$

Воспользуемся тем фактом, что $x^2 = |x|^2$. Это позволяет переписать уравнение в виде:

$$ |x|^2 + (a - |x|)^2 = 9 $$

Введем новую переменную $t = |x|$. Так как модуль любого числа не может быть отрицательным, на новую переменную накладывается ограничение $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$$ t^2 + (a - t)^2 = 9 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $t$:

$$ t^2 + a^2 - 2at + t^2 = 9 $$

$$ 2t^2 - 2at + (a^2 - 9) = 0 $$

Теперь необходимо проанализировать, как количество решений исходной системы $(x, y)$ связано с количеством неотрицательных корней $t$ этого квадратного уравнения.

• Если $t > 0$ является корнем, то из уравнения $|x| = t$ следуют два различных значения для $x$: $x_1 = t$ и $x_2 = -t$. Каждое из них дает одно значение $y=a-t$. Таким образом, один положительный корень $t$ порождает два решения $(x, y)$ для исходной системы.
• Если $t = 0$ является корнем, то из $|x| = 0$ следует единственное значение $x = 0$. Это порождает одно решение $(x, y)$ для исходной системы, а именно $(0, a)$.

Для того чтобы исходная система имела ровно одно решение, необходимо, чтобы квадратное уравнение $2t^2 - 2at + (a^2 - 9) = 0$ имело ровно один неотрицательный корень, и этим корнем должен быть $t=0$.

Это означает, что один корень уравнения должен быть $t_1 = 0$, а второй корень $t_2$ должен быть отрицательным ($t_2 < 0$).

Если $t=0$ является корнем, то при его подстановке в уравнение должно получиться верное равенство:

$$ 2(0)^2 - 2a(0) + (a^2 - 9) = 0 $$

$$ a^2 - 9 = 0 $$

Отсюда получаем два возможных значения для параметра: $a = 3$ и $a = -3$.

Проверим каждое из этих значений.

1. При $a = 3$:

Уравнение для $t$ принимает вид:

$$ 2t^2 - 2(3)t + (3^2 - 9) = 0 $$

$$ 2t^2 - 6t = 0 $$

$$ 2t(t - 3) = 0 $$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$. Оба корня неотрицательны. Корень $t_1=0$ дает одно решение для системы, а корень $t_2=3$ дает два решения. В сумме получаем три решения. Этот случай не удовлетворяет условию задачи.

2. При $a = -3$:

Уравнение для $t$ принимает вид:

$$ 2t^2 - 2(-3)t + ((-3)^2 - 9) = 0 $$

$$ 2t^2 + 6t = 0 $$

$$ 2t(t + 3) = 0 $$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -3$. Так как $t = |x|$ не может быть отрицательным, корень $t_2 = -3$ является посторонним. Таким образом, у нас есть единственный неотрицательный корень $t=0$.

Этот корень дает единственное решение для $x$: $|x|=0 \Rightarrow x=0$. Соответствующее значение $y$ равно $y = a - |x| = -3 - 0 = -3$.

Следовательно, при $a=-3$ система имеет ровно одно решение $(0, -3)$.

Ответ: $a = -3$.