Страница 193, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

283 Решите систему неравенств $ \begin{cases} -28 - 4x \le 0, \\ 5x + 35 \le 0. \end{cases} $

1) $x \le -7;$

2) $x \ge -7;$

3) $x = -7;$

4) решений нет.

Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение множеств их решений.

1. Решение первого неравенства:

$-28 - 4x \le 0$

Перенесем $-28$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$-4x \le 28$

Разделим обе части на $-4$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \frac{28}{-4}$

$x \ge -7$

Решением первого неравенства является множество всех чисел, больших или равных $-7$.

2. Решение второго неравенства:

$5x + 35 \le 0$

Перенесем $35$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$5x \le -35$

Разделим обе части на $5$. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \le \frac{-35}{5}$

$x \le -7$

Решением второго неравенства является множество всех чисел, меньших или равных $-7$.

3. Поиск решения системы:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \ge -7$ и $x \le -7$.

Единственное число, которое одновременно не меньше $-7$ и не больше $-7$, это само число $-7$.

Таким образом, решением системы является $x = -7$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $x = -7$

284 a) Решите систему неравенств

$\begin{cases} -2 \le 3x + 1 \le 7 \\ x + 23 > 5x - 1 \end{cases}$

б) Решите систему неравенств

$\begin{cases} -3 < 2x - 7 < 3 \\ 6x - 13 < x + 17 \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} -2 \le 3x + 1 \le 7, \\ x + 23 > 5x - 1. \end{cases} $

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое, двойное неравенство $-2 \le 3x + 1 \le 7$.

Вычтем 1 из всех трех частей неравенства, чтобы выделить слагаемое с $x$ в центре:

$-2 - 1 \le 3x + 1 - 1 \le 7 - 1$

$-3 \le 3x \le 6$

Теперь разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$\frac{-3}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{6}{3}$

$-1 \le x \le 2$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $[-1; 2]$.

2. Решим второе неравенство $x + 23 > 5x - 1$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а постоянные члены — в другой. Перенесем $x$ вправо, а $-1$ влево:

$23 + 1 > 5x - x$

$24 > 4x$

Разделим обе части неравенства на 4:

$6 > x$

Это неравенство эквивалентно $x < 6$. Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 6)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $-1 \le x \le 2$ и $x < 6$.

Пересечением множеств $[-1; 2]$ и $(-\infty; 6)$ является множество $[-1; 2]$.

Ответ: $x \in [-1; 2]$.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} -3 < 2x - 7 < 3, \\ 6x - 13 < x + 17. \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое двойное неравенство $-3 < 2x - 7 < 3$.

Прибавим 7 ко всем трем частям неравенства:

$-3 + 7 < 2x - 7 + 7 < 3 + 7$

$4 < 2x < 10$

Теперь разделим все части на 2:

$\frac{4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{10}{2}$

$2 < x < 5$

Решением первого неравенства является интервал $(2; 5)$.

2. Решим второе неравенство $6x - 13 < x + 17$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$6x - x < 17 + 13$

$5x < 30$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x < 6$

Решением второго неравенства является интервал $(-\infty; 6)$.

3. Найдем пересечение решений.

Нам нужно найти все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $2 < x < 5$ и $x < 6$.

Все числа, которые больше 2 и меньше 5, автоматически меньше 6. Таким образом, пересечением интервалов $(2; 5)$ и $(-\infty; 6)$ является интервал $(2; 5)$.

Ответ: $x \in (2; 5)$.

285 a) Решите систему неравенств

$ \begin{cases} 1 \le 5x - 4 \le 26, \\ x + 21 > 7x + 3. \end{cases} $

б) Решите систему неравенств

$ \begin{cases} -4 < 7x + 3 < 31, \\ x - 13 \le 2x - 13. \end{cases} $

а)

Для решения системы неравенств$\begin{cases}1 \le 5x - 4 \le 26 \\x + 21 > 7x + 3\end{cases}$нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство $1 \le 5x - 4 \le 26$.

Это двойное неравенство. Чтобы найти $x$, выполним преобразования со всеми тремя частями неравенства.

Прибавим 4 ко всем частям:

$1 + 4 \le 5x - 4 + 4 \le 26 + 4$

$5 \le 5x \le 30$

Разделим все части на 5 (знак неравенства не меняется, так как 5 > 0):

$\frac{5}{5} \le \frac{5x}{5} \le \frac{30}{5}$

$1 \le x \le 6$

Решение первого неравенства в виде промежутка: $x \in [1; 6]$.

2. Решим второе неравенство $x + 21 > 7x + 3$.

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$21 - 3 > 7x - x$

$18 > 6x$

Разделим обе части на 6:

$3 > x$, что то же самое, что и $x < 3$.

Решение второго неравенства в виде промежутка: $x \in (-\infty; 3)$.

3. Найдем пересечение решений.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \in [1; 6]$ и $x \in (-\infty; 3)$.

Пересечением этих двух промежутков является промежуток от 1 (включительно) до 3 (не включительно).

Ответ: $x \in [1; 3)$.

б)

Для решения системы неравенств$\begin{cases}-4 < 7x + 3 < 31 \\x - 13 \le 2x - 13\end{cases}$также решим каждое неравенство и найдем пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство $-4 < 7x + 3 < 31$.

Вычтем 3 из всех частей двойного неравенства:

$-4 - 3 < 7x + 3 - 3 < 31 - 3$

$-7 < 7x < 28$

Разделим все части на 7:

$\frac{-7}{7} < \frac{7x}{7} < \frac{28}{7}$

$-1 < x < 4$

Решение первого неравенства в виде промежутка: $x \in (-1; 4)$.

2. Решим второе неравенство $x - 13 \le 2x - 13$.

Прибавим 13 к обеим частям неравенства:

$x - 13 + 13 \le 2x - 13 + 13$

$x \le 2x$

Перенесем $x$ в правую часть, вычитая его из обеих частей:

$0 \le 2x - x$

$0 \le x$, что эквивалентно $x \ge 0$.

Решение второго неравенства в виде промежутка: $x \in [0; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in (-1; 4)$ и $x \in [0; +\infty)$.

Пересечением этих двух промежутков является промежуток от 0 (включительно) до 4 (не включительно).

Ответ: $x \in [0; 4)$.

286 Решите систему неравенств $\begin{cases} x^2 - x - 56 < 0, \\ x + 4 \ge 0. \end{cases}$

1) $-4 \le x < 8;$

2) $-7 < x \le 4$ и $x > 8;$

3) $x < -7$ и $-4 \le x < 8;$

4) $4 \le x < 7.$

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти решения для каждого неравенства в отдельности, а затем определить их общую часть (пересечение).

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 56 < 0$.

Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 56 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{225}}{2} = \frac{1 - 15}{2} = -7$;

$x_2 = \frac{1 + \sqrt{225}}{2} = \frac{1 + 15}{2} = 8$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = x^2 - x - 56$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - x - 56 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства — интервал $(-7; 8)$, то есть $-7 < x < 8$.

Теперь решим второе неравенство: $x + 4 \ge 0$.

Это простое линейное неравенство. Перенесем 4 в правую часть:

$x \ge -4$.

Решением этого неравенства является промежуток $[-4; +\infty)$.

На последнем шаге найдем пересечение полученных решений: $-7 < x < 8$ и $x \ge -4$.

Для наглядности можно представить эти промежутки на числовой оси. Область, удовлетворяющая обоим условиям, начинается с -4 (включительно) и заканчивается 8 (не включительно).

Следовательно, решением системы является полуинтервал $[-4; 8)$, что можно записать в виде двойного неравенства: $-4 \le x < 8$.

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это ответ номер 1.

Ответ: $-4 \le x < 8$.

287 Укажите геометрическую модель решения системы неравенств

$ \begin{cases} x - 10 < 0, \\ x^2 - 2x - 63 \ge 0. \end{cases} $

1) Штриховка слева от $ -7 $ (закрашенная точка), между $ 9 $ (закрашенная точка) и $ 10 $ (выколотая точка), а также справа от $ 10 $ (выколотая точка). Ось $ x $.

2) Штриховка между $ 9 $ (закрашенная точка) и $ 10 $ (выколотая точка). Ось $ x $.

3) Штриховка между $ -7 $ (закрашенная точка) и $ 9 $ (закрашенная точка), а также справа от $ 10 $ (выколотая точка). Ось $ x $.

4) Штриховка справа от $ -7 $ (закрашенная точка). Ось $ x $.

Для того чтобы указать верную геометрическую модель, необходимо решить данную систему неравенств. Решение системы — это пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Решим первое неравенство: $x - 10 < 0$

Переносим константу в правую часть неравенства:

$x < 10$

Множество решений этого неравенства — интервал $(-\infty; 10)$. На числовой оси это все точки левее 10, при этом точка 10 является выколотой (не входит в решение).

Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 63 \ge 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{256}}{2} = \frac{2 - 16}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{256}}{2} = \frac{2 + 16}{2} = 9$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 63$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции не меньше нуля ($y \ge 0$) на промежутках, где график находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при $x \le -7$ и при $x \ge 9$.

Таким образом, множество решений второго неравенства — это объединение промежутков $(-\infty; -7] \cup [9; \infty)$. Точки -7 и 9 являются закрашенными (входят в решение).

Найдем решение системы

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств:

$x \in (-\infty; 10) \cap ((-\infty; -7] \cup [9; \infty))$

Для наглядности можно изобразить оба решения на одной числовой прямой. Пересечением (общей частью) этих множеств будут числа, которые одновременно меньше 10 и при этом либо меньше или равны -7, либо больше или равны 9.

Это приводит к объединению двух промежутков:

$(-\infty; -7] \cup [9; 10)$

Данное множество решений соответствует геометрической модели, где заштрихована область от $-\infty$ до -7 включительно (с закрашенной точкой на -7) и область от 9 включительно до 10 не включительно (с закрашенной точкой на 9 и выколотой точкой на 10).

Среди предложенных вариантов такая модель представлена на рисунке 1.

Ответ: 1

288 Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$.

1) $[-1; +\infty)$;

2) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$;

3) $(-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$;

4) $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ содержит две операции, накладывающие ограничения: извлечение квадратного корня и деление.

1. Ограничение для квадратного корня.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.
$x + 1 \ge 0$
Перенесем 1 в правую часть неравенства:
$x \ge -1$
Таким образом, допустимые значения $x$ принадлежат промежутку $[-1; +\infty)$.

2. Ограничение для дроби.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Это означает, что значение $x=2$ должно быть исключено из области определения.

Нахождение итоговой области определения.
Для нахождения итоговой области определения необходимо учесть оба ограничения одновременно. Мы должны взять все значения $x$ из промежутка $[-1; +\infty)$ и исключить из него точку $x=2$.
На числовой прямой это выглядит как промежуток от $-1$ (включительно) до $+\infty$, с "выколотой" точкой $2$.
Это множество можно записать в виде объединения двух интервалов: $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$.
Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом под номером 4.

Ответ: 4) $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

289 Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}-2}$.

1) $[-1; 2)$;

2) $(2; +\infty)$;

3) $(-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$;

4) $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}-2}$ необходимо выполнить следующие условия:

1. Выражение под знаком корня в числителе должно быть неотрицательным.
2. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть неотрицательным.
3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем эти условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим каждое условие по отдельности:

1) $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$

2) $x \ge 0$

3) $\sqrt{x} - 2 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 2$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x \neq 4$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий: $x \ge -1$, $x \ge 0$ и $x \neq 4$.

Пересечением первых двух неравенств ($x \ge -1$ и $x \ge 0$) является промежуток $[0; +\infty)$.

Учитывая третье условие ($x \neq 4$), мы должны исключить точку $4$ из этого промежутка.

Таким образом, область определения функции, записанной в задании, есть объединение промежутков $[0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Данный результат отсутствует среди предложенных вариантов ответа. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее частой опечаткой в таких случаях является отсутствие знака корня над переменной в знаменателе. Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$.

Найдем ее область определения:

1) $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$

2) $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен $-1$, но не равен $2$. В виде интервала это записывается как $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$. Этот результат совпадает с вариантом ответа под номером 4.

Ответ: 4)