Страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

323 В конце года банк начисляет 9% к сумме вклада. Какую сумму получит вкладчик через 2 года, положив 30 000 р.?

Это задача на расчет сложных процентов, так как в конце каждого года проценты начисляются на сумму, уже включающую проценты за предыдущий период. Решим ее по шагам.

Расчет суммы через 1 год

Первоначальная сумма вклада составляет 30 000 р. Годовая процентная ставка — 9%.

Сначала найдем сумму процентов, которую банк начислит за первый год. Для этого вычислим 9% от 30 000 р.:
$30000 \cdot \frac{9}{100} = 2700$ р.

Теперь определим, какая сумма будет на счете вкладчика в конце первого года. Для этого к начальной сумме прибавим начисленные проценты:
$30000 + 2700 = 32700$ р.

Расчет суммы через 2 года

В начале второго года на счете находится 32 700 р. Проценты за второй год будут начисляться именно на эту сумму.

Найдем сумму процентов за второй год (9% от 32 700 р.):
$32700 \cdot \frac{9}{100} = 327 \cdot 9 = 2943$ р.

Наконец, вычислим итоговую сумму, которую вкладчик получит через два года. Для этого к сумме на начало второго года прибавим проценты за второй год:
$32700 + 2943 = 35643$ р.

Эту же задачу можно решить с помощью формулы сложных процентов:
$S = P \cdot (1 + \frac{i}{100})^n$
где S – итоговая сумма, P – первоначальный вклад (30 000 р.), i – годовая процентная ставка (9%), n – количество лет (2).
$S = 30000 \cdot (1 + \frac{9}{100})^2 = 30000 \cdot (1,09)^2 = 30000 \cdot 1,1881 = 35643$ р.

Ответ: 35 643 р.

324 В конце года банк начисляет $4\%$ к сумме вклада. Какую сумму получит вкладчик через 3 года, положив 25 000 р.?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, поскольку проценты начисляются ежегодно на текущую сумму вклада, которая уже включает в себя проценты за предыдущие годы.

Формула для расчета конечной суммы $S$ при вкладе с капитализацией процентов выглядит следующим образом:

$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

где:

• $P$ — это первоначальная сумма вклада (25 000 р.),
• $r$ — это годовая процентная ставка (4%),
• $n$ — это количество лет, на которые сделан вклад (3 года).

Подставим значения из условия в формулу:

$S = 25000 \cdot (1 + \frac{4}{100})^3$

Упростим выражение в скобках:

$S = 25000 \cdot (1 + 0.04)^3 = 25000 \cdot (1.04)^3$

Теперь вычислим $(1.04)^3$:

$1.04^3 = 1.04 \cdot 1.04 \cdot 1.04 = 1.0816 \cdot 1.04 = 1.124864$

Наконец, рассчитаем итоговую сумму:

$S = 25000 \cdot 1.124864 = 28121.6$

Таким образом, через 3 года сумма на вкладе составит 28 121,6 рубля.

Также можно рассчитать сумму пошагово для каждого года:

1. Сумма в конце первого года: $25000 + 25000 \cdot 0.04 = 25000 \cdot 1.04 = 26000$ р.
2. Сумма в конце второго года: $26000 + 26000 \cdot 0.04 = 26000 \cdot 1.04 = 27040$ р.
3. Сумма в конце третьего года: $27040 + 27040 \cdot 0.04 = 27040 \cdot 1.04 = 28121.6$ р.

Ответ: 28 121,6 р.

325 Укажите последовательность чисел, которая является арифметической прогрессией.

1) 2; 3; 5; 8; ...

2) 2; -2; -6; -10; ...

3) 2; 4; 8; 16; ...

4) 2; -1; 10; -7; 18; ...

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разность между каждым последующим и предыдущим членами постоянна. Эта постоянная разность называется разностью прогрессии ($d$). Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо проверить, одинакова ли разность между соседними членами.

1) 2; 3; 5; 8; ...
Найдем разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 3 - 2 = 1$.
Найдем разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 5 - 3 = 2$.
Так как разности не равны ($1 \neq 2$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

2) 2; -2; -6; -10; ...
Найдем разность между соседними членами:
$a_2 - a_1 = -2 - 2 = -4$.
$a_3 - a_2 = -6 - (-2) = -6 + 2 = -4$.
$a_4 - a_3 = -10 - (-6) = -10 + 6 = -4$.
Разность между всеми последовательными членами постоянна и равна $-4$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.

3) 2; 4; 8; 16; ...
Найдем разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$.
Найдем разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4$.
Так как разности не равны ($2 \neq 4$), эта последовательность не является арифметической прогрессией. (Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$).

4) 2; -1; 10; -7; 18; ...
Найдем разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = -1 - 2 = -3$.
Найдем разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 10 - (-1) = 11$.
Так как разности не равны ($-3 \neq 11$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность, которая является арифметической прогрессией, это последовательность под номером 2.
Ответ: 2

326 Укажите последовательность чисел, которая является геометрической прогрессией.

1) 2; 3; 5; 8; ...

2) 2; -2; -6; -10; ...

3) 16; 8; 4; 2; ...

4) 2; -1; 10; -7; 18; ...

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, \dots$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на определённое число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Иными словами, для любого натурального $n$ должно выполняться равенство:$b_{n+1} = b_n \cdot q$.Это эквивалентно тому, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно и равно знаменателю прогрессии $q$:$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.Проверим каждую из предложенных последовательностей на соответствие этому определению.

1) 2; 3; 5; 8; ...

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{3}{2} = 1.5$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{5}{3} \approx 1.67$.
Поскольку отношения не равны ($1.5 \neq \frac{5}{3}$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является.

2) 2; -2; -6; -10; ...

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{-2}{2} = -1$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{-6}{-2} = 3$.
Поскольку отношения не равны ($-1 \neq 3$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является.

3) 16; 8; 4; 2; ...

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Найдем отношение четвертого члена к третьему: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Отношения между всеми последовательными членами равны и составляют $\frac{1}{2}$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Ответ: является.

4) 2; -1; 10; -7; 18; ...

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{-1}{2} = -0.5$.
Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{10}{-1} = -10$.
Поскольку отношения не равны ($-0.5 \neq -10$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является.

Таким образом, единственная последовательность, которая является геометрической прогрессией, это последовательность под номером 3.

327 Укажите первые три члена арифметической прогрессии ($a_n$), если

$a_1 = 0.5$, $d = 1.5$.

1) 0,5; 1,5; 2,5;

2) 0,5; -1; -2,5;

3) 0,5; 0,75; 1,125;

4) 0,5; 2; 3,5.

Арифметическая прогрессия $(a_n)$ — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$. Это число $d$ называется разностью арифметической прогрессии. Общая формула для нахождения следующего члена: $a_{n} = a_{n-1} + d$.

В условии задачи даны:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 0,5$
• Разность прогрессии: $d = 1,5$

Требуется найти первые три члена прогрессии: $a_1$, $a_2$ и $a_3$.

Первый член $a_1$ уже известен:
$a_1 = 0,5$

Второй член $a_2$ находим, прибавляя разность $d$ к первому члену $a_1$:
$a_2 = a_1 + d = 0,5 + 1,5 = 2$

Третий член $a_3$ находим, прибавляя разность $d$ ко второму члену $a_2$:
$a_3 = a_2 + d = 2 + 1,5 = 3,5$

Таким образом, первые три члена арифметической прогрессии — это 0,5; 2; 3,5. Эта последовательность соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) 0,5; 2; 3,5.

328 Укажите первые четыре члена арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_1 = -3$, $d = -2,3$.

1) -3; -2,6; -4,9; -7,2;

2) -3; -0,7; 1,6; 3,9;

3) -3; -5,3; -7,6; -9,9;

4) -3; 6,9; -15,87; 36,501.

По определению, арифметическая прогрессия $(a_n)$ — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$. Это число $d$ называется разностью арифметической прогрессии. Таким образом, для нахождения любого члена прогрессии, кроме первого, можно использовать формулу $a_{n+1} = a_n + d$.

В условии задачи даны первый член прогрессии $a_1 = -3$ и её разность $d = -2.3$.

Найдём последовательно первые четыре члена прогрессии:

Первый член уже известен:
$a_1 = -3$

Второй член находим, прибавляя разность $d$ к первому члену $a_1$:
$a_2 = a_1 + d = -3 + (-2.3) = -3 - 2.3 = -5.3$

Третий член находим, прибавляя разность $d$ ко второму члену $a_2$:
$a_3 = a_2 + d = -5.3 + (-2.3) = -5.3 - 2.3 = -7.6$

Четвертый член находим, прибавляя разность $d$ к третьему члену $a_3$:
$a_4 = a_3 + d = -7.6 + (-2.3) = -7.6 - 2.3 = -9.9$

Таким образом, мы получили последовательность из первых четырех членов: -3; -5,3; -7,6; -9,9.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что он соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3) -3; -5,3; -7,6; -9,9.

329 Укажите первые пять членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 0,3, q = 2.$

1) 0,3; 0,6; 0,12; 0,24; 0,48;

2) 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; 4,8;

3) 0,3; 0,9; 0,27; 0,81; 0,243;

4) 0,3; 0,15; 0,075; 0,0375; 0,01875.

Для того чтобы найти первые пять членов геометрической прогрессии $(b_n)$, необходимо знать её первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Каждый последующий член прогрессии получается путем умножения предыдущего члена на знаменатель $q$. Формула для $(n+1)$-го члена выглядит так: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Согласно условию задачи, мы имеем:

Первый член прогрессии $b_1 = 0,3$.

Знаменатель прогрессии $q = 2$.

Теперь вычислим последовательно первые пять членов:

Первый член уже задан: $b_1 = 0,3$.

Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = 0,3 \cdot 2 = 0,6$.

Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = 0,6 \cdot 2 = 1,2$.

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 1,2 \cdot 2 = 2,4$.

Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 2,4 \cdot 2 = 4,8$.

Таким образом, мы получили последовательность из первых пяти членов: 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; 4,8.

Сравнивая эту последовательность с вариантами, представленными в задаче, мы видим, что она полностью совпадает с вариантом под номером 2.

Ответ: 2) 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; 4,8;

330 Укажите первые четыре члена геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 27, q = -\frac{1}{3}$.

1) 27; -9; 3; -1;

2) 27; -9; -3; -1;

3) 27; $26\frac{2}{3}$; $26\frac{1}{3}$; 26;

4) 27; 9; 3; 1.

По определению, каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии ($q$).

Формула для нахождения $(n+1)$-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ выглядит так: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

В данной задаче нам известны первый член прогрессии $b_1 = 27$ и её знаменатель $q = -\frac{1}{3}$.

Найдем последовательно первые четыре члена прогрессии:

Первый член уже дан в условии:
$b_1 = 27$

Второй член найдем, умножив первый член на знаменатель $q$:
$b_2 = b_1 \cdot q = 27 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{27}{3} = -9$

Третий член найдем, умножив второй член на знаменатель $q$:
$b_3 = b_2 \cdot q = -9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{9}{3} = 3$

Четвертый член найдем, умножив третий член на знаменатель $q$:
$b_4 = b_3 \cdot q = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{3}{3} = -1$

Таким образом, последовательность первых четырех членов геометрической прогрессии: 27; -9; 3; -1.

Эта последовательность соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1) 27; -9; 3; -1;