Страница 194, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

290 Найдите область определения функции $y = \sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$.

1) $(-\infty; -1] \cup (2; +\infty);$

2) $[-1; 2);$

3) $(2; +\infty);$

4) $[-1; 2) \cup (2; +\infty).$

Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$ находится из условия, что выражение, стоящее под знаком квадратного корня (подкоренное выражение), должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль.

Это приводит к системе условий: $ \begin{cases} \frac{x+1}{x-2} \ge 0 \\ x-2 \ne 0 \end{cases} $

Условие $x \ne 2$ означает, что точка $x=2$ должна быть исключена из решения. Решим основное неравенство $\frac{x+1}{x-2} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x+1=0 \implies x=-1$. Так как неравенство нестрогое (знак $\ge$), эта точка включается в область определения. Нуль знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$. Эта точка исключается из области определения, так как на ноль делить нельзя.

2. Отметим эти точки на числовой оси. Точку $x=-1$ отмечаем закрашенной (включаем), а точку $x=2$ — выколотой (исключаем). Эти точки разбивают ось на три промежутка: $(-\infty; -1]$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{x+1}{x-2}$ в каждом из промежутков, подставив любое значение из этого промежутка:

- В интервале $(2; +\infty)$: возьмем $x=3$. Получим $\frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4$, что больше нуля. Ставим знак «+».

- В интервале $(-1; 2)$: возьмем $x=0$. Получим $\frac{0+1}{0-2} = -\frac{1}{2}$, что меньше нуля. Ставим знак «-».

- В интервале $(-\infty; -1]$: возьмем $x=-2$. Получим $\frac{-2+1}{-2-2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$, что больше нуля. Ставим знак «+».

4. Так как мы решаем неравенство $\ge 0$, нас интересуют промежутки со знаком «+» и точка, где выражение равно нулю ($x=-1$).

Объединяя полученные результаты, находим область определения функции: $x \in (-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$.

Данный интервал соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$.

291 Найдите область определения функции $y=\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}$.

1) $(-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$

2) $[-1; 2)$

3) $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$

4) $(2; +\infty)$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Для функции $y = \frac{x + 1}{\sqrt{x - 2}}$ необходимо выполнить два условия, чтобы она была определена.

1. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$x - 2 \geq 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$\sqrt{x - 2} \neq 0$

Объединяя эти два условия, мы получаем, что выражение под корнем, стоящее в знаменателе, должно быть строго положительным. Таким образом, нам нужно решить следующее неравенство:
$x - 2 > 0$

Для решения этого неравенства прибавим 2 к обеим его частям:
$x > 2$

Следовательно, область определения функции — это все числа, строго большие 2. В виде интервала это записывается как $(2; +\infty)$. Этот интервал соответствует варианту ответа под номером 4.
Ответ: $(2; +\infty)$.

292 a) Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравен-

ству $\frac{x+9}{x^2+1} > 0.$

б) Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравен-

ству $\frac{-25}{x+8} \leq 0.$

а)

Дано неравенство $\frac{x+9}{x^2+1} > 0$.

Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одного знака (оба положительные или оба отрицательные).

Рассмотрим знаменатель $x^2+1$. Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2+1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2+1 \ge 1$). Это означает, что знаменатель всегда положителен при любом значении $x$.

Так как знаменатель всегда положителен, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель также был положителен:

$x+9 > 0$

Вычтем 9 из обеих частей неравенства:

$x > -9$

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-9; +\infty)$. Нам нужно найти наименьшее целое число, принадлежащее этому интервалу. Первое целое число, которое больше -9, это -8.

Ответ: -8

б)

Дано неравенство $\frac{-25}{x+8} \le 0$.

Чтобы дробь была отрицательной или равной нулю, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Числитель дроби равен -25, то есть он является постоянным отрицательным числом. Дробь не может быть равна нулю, так как числитель отличен от нуля. Следовательно, неравенство сводится к строгому неравенству $\frac{-25}{x+8} < 0$.

Поскольку числитель отрицателен, для того чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть строго положительным:

$x+8 > 0$

Вычтем 8 из обеих частей неравенства:

$x > -8$

Решением неравенства является интервал $(-8; +\infty)$. Нам нужно найти наименьшее целое число из этого интервала. Первое целое число, которое больше -8, это -7.

Ответ: -7

293 a) Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $ \frac{17}{2x - 4} < 0 $.

б) Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $ \frac{3x - 11}{x^2 + 3} \le 0 $.

а) Дано неравенство $\frac{17}{2x - 4} < 0$.
Чтобы дробь была отрицательной, ее числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Числитель дроби, 17, является положительным числом. Следовательно, знаменатель должен быть отрицательным.
Составим и решим соответствующее неравенство:
$2x - 4 < 0$
$2x < 4$
$x < 2$
Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 2)$. Нам нужно найти наибольшее целое число из этого промежутка. Целые числа, которые меньше 2, это ..., -1, 0, 1. Наибольшее из них — это 1.
Ответ: 1

б) Дано неравенство $\frac{3x - 11}{x^2 + 3} \le 0$.
Рассмотрим знаменатель дроби $x^2 + 3$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 3 \ge 3$. Это означает, что знаменатель дроби всегда положителен.
Так как знаменатель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком числителя. Поэтому исходное неравенство равносильно неравенству:
$3x - 11 \le 0$
$3x \le 11$
$x \le \frac{11}{3}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$. Таким образом, $x \le 3\frac{2}{3}$.
Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Наибольшее целое число, которое не превышает $3\frac{2}{3}$, это 3.
Ответ: 3

294 a) Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства $ -5 \le 2x + 11 \le 1 $.

б) Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства $ -3 \le 4x - 9 \le 3 $.

а) Чтобы найти длину промежутка, необходимо сначала решить данное двойное неравенство $ -5 \le 2x + 11 \le 1 $. Для этого выполним преобразования со всеми тремя частями неравенства.
1. Вычтем 11 из всех частей неравенства, чтобы "уединить" слагаемое с переменной $x$ в центре:
$ -5 - 11 \le 2x + 11 - 11 \le 1 - 11 $
$ -16 \le 2x \le -10 $
2. Теперь разделим все части неравенства на 2, чтобы найти значение $x$ :
$ \frac{-16}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{-10}{2} $
$ -8 \le x \le -5 $
Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток (отрезок) $ [-8; -5] $.
3. Длина промежутка $ [a; b] $ вычисляется по формуле $L = b - a$. В нашем случае $a = -8$ и $b = -5$.
$ L = -5 - (-8) = -5 + 8 = 3 $.
Ответ: 3

б) Аналогично предыдущему пункту, решим двойное неравенство $ -3 \le 4x - 9 \le 3 $.
1. Прибавим 9 ко всем частям неравенства:
$ -3 + 9 \le 4x - 9 + 9 \le 3 + 9 $
$ 6 \le 4x \le 12 $
2. Разделим все части неравенства на 4:
$ \frac{6}{4} \le \frac{4x}{4} \le \frac{12}{4} $
$ 1,5 \le x \le 3 $
Решением является промежуток $ [1,5; 3] $.
3. Найдем длину этого промежутка как разность между его концами:
$ L = 3 - 1,5 = 1,5 $.
Ответ: 1,5

295 a) Сколько целых чисел принадлежит решению неравенства $-2 < 7 - 3x < 4?$
б) Сколько целых чисел принадлежит решению неравенства $-4 \le 6 - 5x \le 1?$

а) Чтобы найти количество целых чисел, принадлежащих решению, необходимо решить данное двойное неравенство:
$-2 < 7 - 3x < 4$
Сначала вычтем 7 из всех трех частей неравенства:
$-2 - 7 < 7 - 3x - 7 < 4 - 7$
$-9 < -3x < -3$
Теперь разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-9}{-3} > \frac{-3x}{-3} > \frac{-3}{-3}$
$3 > x > 1$
Запишем это неравенство в более привычном виде, поменяв части местами:
$1 < x < 3$
Единственное целое число, которое находится в интервале от 1 до 3 (не включая концы), это число 2.
Ответ: 1

б) Решим данное двойное неравенство, чтобы найти все принадлежащие ему целые числа:
$-4 \le 6 - 5x \le 1$
Вычтем 6 из всех трех частей неравенства:
$-4 - 6 \le 6 - 5x - 6 \le 1 - 6$
$-10 \le -5x \le -5$
Разделим все части неравенства на -5. Так как мы делим на отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\frac{-10}{-5} \ge \frac{-5x}{-5} \ge \frac{-5}{-5}$
$2 \ge x \ge 1$
Запишем это неравенство в стандартном виде:
$1 \le x \le 2$
Целые числа, которые удовлетворяют этому отрезку (включая концы), это 1 и 2. Всего таких чисел два.
Ответ: 2

296 а) Укажите наибольшее целое число, которое не является решением неравенства $\frac{3 - 9x}{x + 5} < 0$.

б) Укажите наименьшее целое число, которое не является решением неравенства $\frac{x - 6}{6 - 2x} \le 0$.

а)

Требуется указать наибольшее целое число, которое не является решением неравенства $\frac{3 - 9x}{x + 5} < 0$. Это означает, что нам нужно найти наибольшее целое число $x$, для которого данное неравенство не выполняется, то есть выполняется противоположное неравенство: $\frac{3 - 9x}{x + 5} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нуль числителя: $3 - 9x = 0 \Rightarrow 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Нуль знаменателя: $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x = \frac{1}{3}$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x = -5$ будет выколотой, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала.

Определим знак выражения $\frac{3 - 9x}{x + 5}$ на каждом из интервалов:

• При $x > \frac{1}{3}$ (например, $x = 1$): $\frac{3 - 9(1)}{1 + 5} = \frac{-6}{6} = -1$, что меньше 0.
• При $-5 < x < \frac{1}{3}$ (например, $x = 0$): $\frac{3 - 9(0)}{0 + 5} = \frac{3}{5}$, что больше 0.
• При $x < -5$ (например, $x = -6$): $\frac{3 - 9(-6)}{-6 + 5} = \frac{57}{-1} = -57$, что меньше 0.

Неравенство $\frac{3 - 9x}{x + 5} \ge 0$ выполняется, когда $x$ принадлежит промежутку $(-5, \frac{1}{3}]$. Таким образом, множество чисел, которые не являются решением исходного неравенства, есть промежуток $(-5, \frac{1}{3}]$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -4, -3, -2, -1, 0. Наибольшее из этих целых чисел равно 0.

Ответ: 0

б)

Требуется указать наименьшее целое число, которое не является решением неравенства $\frac{x - 6}{6 - 2x} \le 0$. Это означает, что мы ищем наименьшее целое число $x$, для которого это неравенство неверно. Неравенство будет неверно в двух случаях:
1. Если левая часть строго больше нуля: $\frac{x - 6}{6 - 2x} > 0$.
2. Если левая часть не определена (то есть знаменатель равен нулю).

Найдем, при каком $x$ знаменатель равен нулю:
$6 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
При $x = 3$ выражение в левой части не определено, следовательно, $x=3$ не является решением исходного неравенства.

Теперь решим неравенство $\frac{x - 6}{6 - 2x} > 0$.
Для удобства вынесем -2 за скобки в знаменателе: $\frac{x - 6}{-2(x - 3)} > 0$.
Разделим обе части неравенства на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\frac{x - 6}{x - 3} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя — это $x=6$ и $x=3$. Они разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, 3)$, $(3, 6)$ и $(6, \infty)$.
Проверяя знак выражения $\frac{x-6}{x-3}$ на интервалах, находим, что оно отрицательно при $x \in (3, 6)$.

Таким образом, множество всех чисел, которые не являются решением исходного неравенства, — это объединение точки $x=3$ и интервала $(3, 6)$, что дает нам промежуток $[3, 6)$.
Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 3, 4, 5.
Наименьшее из этих целых чисел равно 3.

Ответ: 3