Страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

313 Расстояние $36 \text{ км}$ один лыжник прошёл на $0,5 \text{ ч}$ быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, если скорость одного из них на $1 \text{ км/ч}$ больше скорости другого.

Пусть $v$ км/ч — скорость второго (более медленного) лыжника. Тогда, согласно условию, скорость первого (более быстрого) лыжника равна $(v + 1)$ км/ч.

Оба лыжника прошли одинаковое расстояние $S = 36$ км.

Время, которое затратил на путь второй лыжник, вычисляется по формуле $t = S/v$ и составляет $t_2 = \frac{36}{v}$ ч.

Время, которое затратил на путь первый лыжник, составляет $t_1 = \frac{36}{v+1}$ ч.

Известно, что первый лыжник прошёл дистанцию на 0,5 ч быстрее, чем второй. Это означает, что время второго лыжника больше времени первого на 0,5 часа. Составим уравнение на основе этой разницы во времени:

$t_2 - t_1 = 0,5$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{36}{v} - \frac{36}{v+1} = 0,5$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+1)$. При этом отметим, что $v > 0$, так как скорость не может быть нулевой или отрицательной.

$\frac{36(v+1) - 36v}{v(v+1)} = 0,5$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{36v + 36 - 36v}{v^2 + v} = 0,5$

$\frac{36}{v^2 + v} = 0,5$

Теперь решим это уравнение. Можно представить 0,5 как $\frac{1}{2}$ и использовать свойство пропорции:

$\frac{36}{v^2 + v} = \frac{1}{2}$

$v^2 + v = 36 \cdot 2$

$v^2 + v = 72$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + v - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

Так как скорость $v$ не может быть отрицательной, корень $v_2 = -9$ не является решением задачи. Следовательно, скорость второго, более медленного лыжника, составляет 8 км/ч.

Скорость первого, более быстрого лыжника, на 1 км/ч больше:

$8 + 1 = 9$ км/ч.

Проверка:
Время медленного лыжника: $36 \text{ км} / 8 \text{ км/ч} = 4,5$ ч.
Время быстрого лыжника: $36 \text{ км} / 9 \text{ км/ч} = 4$ ч.
Разница во времени: $4,5 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 0,5$ ч.
Условие задачи выполняется.

Ответ: скорость одного лыжника 8 км/ч, скорость другого 9 км/ч.

314 Расстояние между двумя пристанями 105 км катер проплывает по течению реки на 2 ч быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 18 км/ч.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Согласно условию, собственная скорость катера равна 18 км/ч. Тогда:

• Скорость катера по течению реки (когда катер плывет в том же направлении, что и течение) составляет $(18 + x)$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки (когда катер плывет в направлении, противоположном течению) составляет $(18 - x)$ км/ч.

Расстояние между двумя пристанями равно 105 км. Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — это скорость.

Время, которое катер затрачивает на путь по течению, равно $t_{1} = \frac{105}{18 + x}$ часов.

Время, которое катер затрачивает на путь против течения, равно $t_{2} = \frac{105}{18 - x}$ часов.

Из условия известно, что катер проплывает расстояние по течению на 2 часа быстрее, чем против течения. Это означает, что время движения против течения на 2 часа больше, чем время движения по течению. Составим уравнение:

$t_{2} - t_{1} = 2$

$\frac{105}{18 - x} - \frac{105}{18 + x} = 2$

Для решения данного уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю, которым является произведение $(18 - x)(18 + x)$.

$\frac{105(18 + x) - 105(18 - x)}{(18 - x)(18 + x)} = 2$

Упростим числитель и знаменатель дроби в левой части, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{105 \cdot 18 + 105x - 105 \cdot 18 + 105x}{18^2 - x^2} = 2$

$\frac{210x}{324 - x^2} = 2$

Теперь решим получившееся уравнение. Область допустимых значений для $x$: $x > 0$ (скорость течения положительна) и $18 - x > 0$ (катер должен иметь возможность двигаться против течения), то есть $x < 18$.

$210x = 2(324 - x^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$105x = 324 - x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 105x - 324 = 0$

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 105^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324) = 11025 + 1296 = 12321$

$\sqrt{D} = \sqrt{12321} = 111$

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-105 + 111}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-105 - 111}{2 \cdot 1} = \frac{-216}{2} = -108$

Корень $x_2 = -108$ является посторонним, так как скорость течения реки не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $x = 3$.

Выполним проверку:

• Скорость по течению: $18 + 3 = 21$ км/ч. Время в пути: $\frac{105}{21} = 5$ ч.
• Скорость против течения: $18 - 3 = 15$ км/ч. Время в пути: $\frac{105}{15} = 7$ ч.
• Разница во времени: $7\text{ ч} - 5\text{ ч} = 2$ ч.

Расчеты подтверждают правильность найденного решения.

Ответ: 3 км/ч.

315 Две бригады, работая одновременно, могут выполнить некоторое задание за 6 дней. Одна бригада, работая отдельно, может выполнить это задание на 5 дней быстрее, чем вторая. За какое время может выполнить всё задание вторая бригада, работая отдельно?

Примем всю работу за 1 (единицу).

Пусть время, за которое вторая бригада может выполнить всю работу самостоятельно, равно $x$ дней. Тогда ее производительность (часть работы, выполняемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию, первая бригада выполняет ту же работу на 5 дней быстрее. Значит, время работы первой бригады составляет $(x - 5)$ дней. Ее производительность равна $\frac{1}{x-5}$.

Когда обе бригады работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5}$.

Из условия известно, что вместе они выполняют работу за 6 дней. Следовательно, их совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ работы в день.

Составим уравнение, приравняв совместную производительность к ее значению:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-5)$:

$\frac{x-5+x}{x(x-5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x-5}{x^2-5x} = \frac{1}{6}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$6(2x-5) = 1(x^2-5x)$

$12x - 30 = x^2 - 5x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 12x + 30 = 0$

$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие условию задачи. Время работы любой бригады должно быть положительным. Время работы первой бригады равно $(x-5)$, следовательно, должно выполняться неравенство $x-5 > 0$, то есть $x > 5$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет этому условию, так как $2 \ngtr 5$. Этот корень является посторонним.

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $15 > 5$. Это и есть искомое время для второй бригады. Время работы первой бригады в этом случае составит $15 - 5 = 10$ дней.

Таким образом, вторая бригада, работая отдельно, может выполнить все задание за 15 дней.

Проверка:
Производительность первой бригады: $\frac{1}{10}$.
Производительность второй бригады: $\frac{1}{15}$.
Совместная производительность: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
Время совместной работы: $1 / (\frac{1}{6}) = 6$ дней. Все верно.

Ответ: 15 дней.

316 Две копировальные машины, работая одновременно, могут выполнить работу за 12 мин. Если будет работать только первая копировальная машина, то вся работа будет выполнена на 10 мин быстрее, чем при работе только второй машины. За сколько минут всю работу может выполнить вторая копировальная машина?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу). Пусть $t_1$ – это время в минутах, за которое первая копировальная машина выполняет всю работу, а $t_2$ – время второй машины. Тогда производительность (скорость выполнения работы) первой машины составляет $v_1 = \frac{1}{t_1}$ работы в минуту, а второй – $v_2 = \frac{1}{t_2}$ работы в минуту.

Из условия известно, что две машины, работая вместе, выполняют работу за 12 минут. Их совместная производительность равна $v_1 + v_2$. Составим первое уравнение на основе формулы «работа = производительность × время»:

$(v_1 + v_2) \cdot 12 = 1$

Подставив выражения для производительности, получим:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 12 = 1$

Отсюда следует:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Также в условии сказано, что первая машина выполняет работу на 10 минут быстрее, чем вторая. Это означает, что время $t_1$ на 10 минут меньше, чем время $t_2$. Это дает нам второе уравнение:

$t_1 = t_2 - 10$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \\t_1 = t_2 - 10\end{cases}$$

Подставим выражение для $t_1$ из второго уравнения в первое:

$\frac{1}{t_2 - 10} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_2(t_2 - 10)$:

$\frac{t_2 + (t_2 - 10)}{t_2(t_2 - 10)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2t_2 - 10}{t_2^2 - 10t_2} = \frac{1}{12}$

Используя правило пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$12(2t_2 - 10) = 1(t_2^2 - 10t_2)$

$24t_2 - 120 = t_2^2 - 10t_2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$t_2^2 - 10t_2 - 24t_2 + 120 = 0$

$t_2^2 - 34t_2 + 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся дискриминантом $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:

$t_{2,1} = \frac{-(-34) + 26}{2 \cdot 1} = \frac{34 + 26}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$t_{2,2} = \frac{-(-34) - 26}{2 \cdot 1} = \frac{34 - 26}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для времени работы второй машины. Необходимо проверить оба корня.

1. Если $t_2 = 30$ минут, то время работы первой машины $t_1 = t_2 - 10 = 30 - 10 = 20$ минут. Оба значения времени положительны, что имеет физический смысл. Проверим, выполняется ли условие совместной работы: $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$. Это соответствует условию задачи.

2. Если $t_2 = 4$ минуты, то время работы первой машины $t_1 = t_2 - 10 = 4 - 10 = -6$ минут. Время не может быть отрицательной величиной, поэтому этот корень является посторонним и не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, единственное правильное решение – время работы второй машины составляет 30 минут.

Ответ: 30 минут.

317 Один асфальтоукладчик может выполнить задание на 15 дней быстрее, чем другой. После того как первый асфальтоукладчик проработал 10 дней, его сменил другой и закончил работу за 30 дней. За сколько дней могут выполнить всю работу два асфальтоукладчика, работая одновременно?

Примем всю работу за 1 (одну целую).

Пусть время, за которое первый асфальтоукладчик может выполнить всю работу самостоятельно, равно $t_1$ дней, а время второго — $t_2$ дней. Тогда их производительности (часть работы, выполняемая за один день) равны $v_1 = \frac{1}{t_1}$ и $v_2 = \frac{1}{t_2}$ соответственно.

Из условия задачи известно, что первый асфальтоукладчик может выполнить задание на 15 дней быстрее, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = t_2 - 15$

Первый асфальтоукладчик работал 10 дней и выполнил часть работы, равную $10 \cdot v_1 = \frac{10}{t_1}$.

Затем его сменил второй, который закончил оставшуюся работу за 30 дней, выполнив часть работы, равную $30 \cdot v_2 = \frac{30}{t_2}$.

Так как в результате вся работа была выполнена, сумма этих двух частей равна 1:

$\frac{10}{t_1} + \frac{30}{t_2} = 1$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} t_1 = t_2 - 15 \\ \frac{10}{t_1} + \frac{30}{t_2} = 1 \end{cases} $

Подставим выражение для $t_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{10}{t_2 - 15} + \frac{30}{t_2} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $t_2(t_2 - 15)$, при условии что $t_2 \neq 0$ и $t_2 \neq 15$:

$10t_2 + 30(t_2 - 15) = t_2(t_2 - 15)$

Раскроем скобки:

$10t_2 + 30t_2 - 450 = t_2^2 - 15t_2$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$t_2^2 - 15t_2 - 40t_2 + 450 = 0$

$t_2^2 - 55t_2 + 450 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225$

Так как $\sqrt{1225} = 35$, корни уравнения равны:

$t_{2,1} = \frac{55 + 35}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$t_{2,2} = \frac{55 - 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Нам нужно проверить оба корня. Из условия $t_1 = t_2 - 15$ следует, что $t_1$ должно быть положительным числом, то есть $t_2 - 15 > 0$, откуда $t_2 > 15$.

Корень $t_2 = 10$ не удовлетворяет этому условию, так как привел бы к отрицательному времени для первого асфальтоукладчика ($t_1 = 10 - 15 = -5$), что бессмысленно.

Следовательно, единственно верное решение — $t_2 = 45$ дней. Тогда время первого асфальтоукладчика: $t_1 = 45 - 15 = 30$ дней.

Теперь ответим на главный вопрос задачи: за сколько дней могут выполнить всю работу два асфальтоукладчика, работая одновременно. Для этого найдем их совместную производительность $v_{общ}$ как сумму их индивидуальных производительностей:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{45}$

Приведем дроби к общему знаменателю 90:

$v_{общ} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$

Совместная производительность равна $\frac{1}{18}$ части работы в день. Это означает, что для выполнения всей работы (1) им потребуется время $T$, равное:

$T = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{1/18} = 18$ дней.

Ответ: два асфальтоукладчика, работая одновременно, могут выполнить всю работу за 18 дней.

318 Один экскаватор может вырыть котлован на 10 ч быстрее, чем другой. После того как первый экскаватор проработал 10 ч, его сменил второй экскаватор и закончил работу за 15 ч. За сколько часов могли бы вырыть котлован оба экскаватора, работая одновременно?

Примем всю работу по выкапыванию котлована за 1.

Пусть $x$ часов — время, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, работая в одиночку. Тогда его производительность (скорость работы) составляет $v_1 = \frac{1}{x}$ котлована в час.

По условию, первый экскаватор выполняет работу на 10 часов быстрее, чем второй. Следовательно, второму экскаватору потребуется $x + 10$ часов. Его производительность составляет $v_2 = \frac{1}{x+10}$ котлована в час.

Первый экскаватор работал 10 часов и выполнил часть работы, равную $10 \cdot v_1 = 10 \cdot \frac{1}{x} = \frac{10}{x}$.

После этого второй экскаватор закончил работу за 15 часов, выполнив оставшуюся часть работы, равную $15 \cdot v_2 = 15 \cdot \frac{1}{x+10} = \frac{15}{x+10}$.

Сумма выполненных ими частей работы равна всей работе, то есть 1. Составим уравнение:

$\frac{10}{x} + \frac{15}{x+10} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+10)$. Учтем, что $x > 0$.

$10(x+10) + 15x = x(x+10)$

$10x + 100 + 15x = x^2 + 10x$

$25x + 100 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 25x - 100 = 0$

$x^2 - 15x - 100 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625 = 25^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательным. Следовательно, время работы первого экскаватора $x = 20$ часов.

Время работы второго экскаватора: $x + 10 = 20 + 10 = 30$ часов.

Теперь найдем, за сколько часов оба экскаватора вырыли бы котлован, работая одновременно. Для этого сложим их производительности:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$

Приведем к общему знаменателю 60:

$v_{общ} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$

Совместная производительность составляет $\frac{1}{12}$ котлована в час. Чтобы найти общее время работы, нужно всю работу (1) разделить на совместную производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{1/12} = 12$ часов.

Ответ: оба экскаватора, работая одновременно, могли бы вырыть котлован за 12 часов.

319. К $30\%$-ному раствору серной кислоты добавили $60$ г воды и получили $10\%$-ный раствор. Найдите массу первоначального раствора серной кислоты.

Пусть $x$ — масса первоначального раствора серной кислоты в граммах. Концентрация этого раствора составляет 30%, что в долях равно 0,3. Это означает, что масса чистой серной кислоты в этом растворе равна $0,3x$ г.

К этому раствору добавили 60 г воды. При добавлении воды масса растворенного вещества (серной кислоты) не изменяется, а общая масса раствора увеличивается. Масса нового раствора стала равной $(x + 60)$ г. Масса серной кислоты в новом растворе осталась прежней, то есть $0,3x$ г.

По условию, концентрация нового раствора составила 10%, или 0,1. Концентрация раствора вычисляется как отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора. Составим уравнение на основе этих данных:

$\frac{0,3x}{x + 60} = 0,1$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на знаменатель $(x + 60)$:

$0,3x = 0,1 \cdot (x + 60)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$0,3x = 0,1x + 6$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения:

$0,3x - 0,1x = 6$

$0,2x = 6$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,2:

$x = \frac{6}{0,2}$

$x = 30$

Следовательно, масса первоначального раствора серной кислоты равна 30 г.

Ответ: 30 г.

320 Какое количество воды надо добавить к 3 л $36\%$-ного раствора соли, чтобы получить $24\%$-ный раствор?

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить, какое количество соли содержится в исходном растворе.

Объем исходного раствора составляет 3 литра, а его концентрация равна 36%. Количество соли (растворенного вещества) можно найти, умножив объем раствора на его концентрацию, выраженную в долях:
$m_{соли} = 3 \text{ л} \times 36\% = 3 \times 0.36 = 1.08$ л.

При добавлении чистой воды количество соли в растворе не изменяется, оно остается равным 1.08 л. Изменяется только общий объем раствора, что приводит к уменьшению концентрации соли.

Пусть $x$ — это объем воды (в литрах), который нужно добавить. Тогда новый, конечный объем раствора будет равен сумме исходного объема и добавленной воды:
$V_{конечный} = 3 + x$ л.

Требуемая концентрация нового раствора составляет 24%, или 0.24 в долях. Мы можем составить уравнение, исходя из определения концентрации:
$\text{Концентрация} = \frac{\text{Количество соли}}{\text{Объем раствора}}$
$0.24 = \frac{1.08}{3 + x}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$0.24 \times (3 + x) = 1.08$
$0.24 \times 3 + 0.24 \times x = 1.08$
$0.72 + 0.24x = 1.08$
$0.24x = 1.08 - 0.72$
$0.24x = 0.36$
$x = \frac{0.36}{0.24} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} = 1.5$ л.

Таким образом, чтобы получить 24%-ный раствор соли, необходимо добавить 1.5 литра воды.

Ответ: 1.5 л.

321 Один сплав содержит $55\%$ цинка, а другой — $70\%$ цинка. После переплавки получили 750 г нового сплава с $60\%$-ным содержанием цинка. Сколько граммов цинка содержалось в первом сплаве?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $m_1$ — масса первого сплава в граммах, а $m_2$ — масса второго сплава в граммах.

Из условия известно, что общая масса нового сплава, полученного после переплавки, составляет 750 г. Следовательно, сумма масс исходных сплавов равна 750 г. Это дает нам первое уравнение:

$m_1 + m_2 = 750$

Далее рассмотрим массу цинка. В первом сплаве содержится 55% цинка, значит, масса цинка в нем равна $0.55 \cdot m_1$. Во втором сплаве содержится 70% цинка, поэтому масса цинка в нем составляет $0.70 \cdot m_2$.

Масса цинка в новом сплаве является суммой масс цинка из двух первоначальных сплавов. Также нам известно, что новый сплав массой 750 г содержит 60% цинка. Вычислим массу цинка в новом сплаве:

$750 \text{ г} \cdot 0.60 = 450 \text{ г}$

Теперь мы можем составить второе уравнение, приравняв сумму масс цинка из исходных сплавов к массе цинка в конечном сплаве:

$0.55 \cdot m_1 + 0.70 \cdot m_2 = 450$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 750 \\ 0.55 m_1 + 0.70 m_2 = 450 \end{cases}$

Для решения системы выразим $m_2$ из первого уравнения:

$m_2 = 750 - m_1$

Подставим это выражение для $m_2$ во второе уравнение:

$0.55 m_1 + 0.70 (750 - m_1) = 450$

Теперь решим полученное уравнение относительно $m_1$:

$0.55 m_1 + 0.70 \cdot 750 - 0.70 m_1 = 450$

$0.55 m_1 + 525 - 0.70 m_1 = 450$

$525 - 450 = 0.70 m_1 - 0.55 m_1$

$75 = 0.15 m_1$

$m_1 = \frac{75}{0.15} = \frac{7500}{15} = 500$

Таким образом, масса первого сплава равна 500 г. В задаче спрашивается, сколько граммов цинка содержалось в первом сплаве. Для этого нужно найти 55% от его массы:

$500 \text{ г} \cdot 0.55 = 275 \text{ г}$

Ответ: в первом сплаве содержалось 275 граммов цинка.

322 Смешали два раствора соляной кислоты 15%-ной и 7%-ной концентрации, после чего получили 480 г раствора 10%-ной концентрации. Найдите массу 7%-ного раствора.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $m_1$ — масса 15%-ного раствора соляной кислоты, а $m_2$ — масса 7%-ного раствора соляной кислоты. Концентрации в долях от единицы равны 0.15, 0.07 и 0.10 соответственно.

1. Суммарная масса двух растворов равна массе полученного раствора:

$m_1 + m_2 = 480$

2. Масса чистого вещества (соляной кислоты) в итоговом растворе равна сумме масс чистого вещества в исходных растворах.
Масса кислоты в первом растворе: $0.15 \cdot m_1$
Масса кислоты во втором растворе: $0.07 \cdot m_2$
Масса кислоты в итоговом растворе: $0.10 \cdot 480 = 48$ г.
Составим уравнение баланса массы кислоты:

$0.15 \cdot m_1 + 0.07 \cdot m_2 = 48$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 480 \\ 0.15 m_1 + 0.07 m_2 = 48 \end{cases}$

Выразим $m_1$ из первого уравнения:

$m_1 = 480 - m_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.15 \cdot (480 - m_2) + 0.07 \cdot m_2 = 48$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $m_2$:

$0.15 \cdot 480 - 0.15 \cdot m_2 + 0.07 \cdot m_2 = 48$

$72 - 0.08 \cdot m_2 = 48$

$72 - 48 = 0.08 \cdot m_2$

$24 = 0.08 \cdot m_2$

$m_2 = \frac{24}{0.08} = \frac{2400}{8} = 300$

Таким образом, масса 7%-ного раствора составляет 300 г.

Ответ: 300 г.