Страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

257 Найдите множество решений неравенства $-x^2 + 2x - 1 < 0$.

1) $(-\infty; +\infty);

2) $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty);

3) 1;

4) $\emptyset$.

Для решения неравенства $-x^2 + 2x - 1 < 0$ выполним следующие шаги:

1. Умножим обе части неравенства на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$(-1) \cdot (-x^2 + 2x - 1) > (-1) \cdot 0$

$x^2 - 2x + 1 > 0$

2. Заметим, что выражение в левой части неравенства является формулой сокращенного умножения — квадратом разности:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Применив эту формулу, где $a=x$ и $b=1$, мы можем переписать неравенство в виде:

$(x - 1)^2 > 0$

3. Проанализируем полученное неравенство. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого $x$. Нам необходимо найти значения $x$, при которых выражение строго больше нуля.

Выражение $(x - 1)^2$ будет равно нулю только в одном случае:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Во всех остальных случаях, то есть при $x \ne 1$, значение $(x - 1)^2$ будет строго положительным.

4. Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = 1$. Это множество можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

258 Найдите множество решений неравенства $4x^2 + 4x + 1 \leq 0$.

1) $(-\infty; +\infty);

2) $(-\infty; -0,5) \cup (-0,5; +\infty);

3) $-0,5;

4) $\emptyset$.

Для решения данного квадратного неравенства $4x^2 + 4x + 1 \le 0$ преобразуем его левую часть. Выражение $4x^2 + 4x + 1$ представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 2x$ и $b = 1$, так как $(2x)^2 = 4x^2$, $1^2 = 1$ и $2 \cdot (2x) \cdot 1 = 4x$.Таким образом, левую часть неравенства можно записать в виде полного квадрата:

$4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$.

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$(2x + 1)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это означает, что $(2x + 1)^2 \ge 0$ для всех значений $x$.

Следовательно, неравенство $(2x + 1)^2 \le 0$ может выполняться только в единственном случае, когда выражение равно нулю:

$(2x + 1)^2 = 0$.

Решим это уравнение:

$2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -0,5$.

Множество решений неравенства состоит из одного числа -0,5.

Ответ: -0,5.

259 Решите неравенство $4x^2 \ge 9x$.

1) $x \le 0$ и $x \ge 2,25$;

2) $0 < x \le 2,25$;

3) $x \ge 2,25$;

4) $x \le -1,5$ и $x \ge 1,5$.

Для решения данного квадратичного неравенства $4x^2 \ge 9x$ перенесем все его члены в левую часть:

$4x^2 - 9x \ge 0$

Теперь разложим левую часть неравенства на множители. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x - 9) \ge 0$

Далее решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(4x - 9) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = 0$

или

$4x - 9 = 0$

Решим второе уравнение:

$4x = 9$

$x_2 = \frac{9}{4} = 2,25$

Теперь отметим найденные корни ($0$ и $2,25$) на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки на оси будут закрашенными. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 2,25]$ и $[2,25; +\infty)$.

Определим знаки выражения $x(4x - 9)$ на каждом интервале. Функция $y = 4x^2 - 9x$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($4 > 0$). Это означает, что парабола находится выше оси Ox (принимает положительные значения) вне интервала между корнями и ниже оси Ox (принимает отрицательные значения) между корнями.

Нам нужно найти, где $x(4x - 9) \ge 0$. Согласно свойствам параболы с ветвями вверх, это будет на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является совокупность двух условий:

$x \le 0$ и $x \ge 2,25$

В виде объединения промежутков это записывается как $x \in (-\infty; 0] \cup [2,25; +\infty)$.

Сравнивая полученное решение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту 1.

Ответ: 1

260 Решите неравенство $x^2 < 121$.

1) $x < 11$;

2) $-11 < x < 11$;

3) $-11 \le x \le 11$;

4) $x < -11$ и $x > 11$.

Для решения данного квадратного неравенства $x^2 < 121$ необходимо найти все значения $x$, при которых это неравенство является верным.

1. Преобразование неравенства

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить неравенство, сравниваемое с нулем: $x^2 - 121 < 0$

2. Разложение на множители

Левая часть неравенства является разностью квадратов, так как $121 = 11^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(x - 11)(x + 11) < 0$

3. Метод интервалов

Чтобы решить полученное неравенство, используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 11)(x + 11) = 0$. Корнями являются $x_1 = 11$ и $x_2 = -11$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак «<»), точки $x = -11$ и $x = 11$ не включаются в решение (на прямой они обозначаются выколотыми точками).

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; 11)$ и $(11; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 11)(x + 11)$ в каждом из интервалов:

• Для интервала $(-\infty; -11)$, возьмем тестовую точку, например $x = -12$. Подставляем: $(-12 - 11)(-12 + 11) = (-23)(-1) = 23$. Результат положительный ($ > 0 $).
• Для интервала $(-11; 11)$, возьмем тестовую точку, например $x = 0$. Подставляем: $(0 - 11)(0 + 11) = (-11)(11) = -121$. Результат отрицательный ($ < 0 $).
• Для интервала $(11; +\infty)$, возьмем тестовую точку, например $x = 12$. Подставляем: $(12 - 11)(12 + 11) = (1)(23) = 23$. Результат положительный ($ > 0 $).

4. Определение решения

Нас интересует интервал, на котором выражение $(x - 11)(x + 11)$ меньше нуля. Согласно проверке, это интервал $(-11; 11)$.

Это решение можно записать в виде двойного неравенства: $-11 < x < 11$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом под номером 2.

Ответ: 2) $-11 < x < 11$.

261 Укажите геометрическую модель решения неравенства $4x < 5x^2$.

1) ---o----////////--> $x$
0,8

2) ////////----o----> $x$
0,8

3) ////////----o----o----////////--> $x$
0 0,8

4) ---o----////////----o----> $x$
0 0,8

Для решения квадратного неравенства $4x < 5x^2$ перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить неравенство в стандартном виде: $5x^2 - 4x > 0$. Далее, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 4x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(5x - 4) = 0$. Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2$, который находится из уравнения $5x - 4 = 0$, то есть $x_2 = \frac{4}{5} = 0.8$. Эти корни делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 0.8)$ и $(0.8; +\infty)$. Графиком функции $y = 5x^2 - 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=5>0$). Это означает, что функция принимает положительные значения на интервалах вне корней и отрицательные значения между корнями. Мы ищем решение неравенства $5x^2 - 4x > 0$, что соответствует интервалам, где парабола находится выше оси $x$. Таким образом, решением является объединение интервалов $x \in (-\infty; 0) \cup (0.8; +\infty)$. Поскольку неравенство строгое, точки $x=0$ и $x=0.8$ не входят в множество решений, что на геометрической модели обозначается выколотыми (пустыми) кружками. Сравнивая полученное решение с предложенными вариантами, видим, что ему соответствует рисунок под номером 4.

Ответ: 4

262 Укажите геометрическую модель решения неравенства $x^2 \ge 196$.

1) Числовая прямая с закрашенной точкой на 14 и штриховкой вправо от нее. Ось обозначена $x$.

2) Числовая прямая с закрашенными точками на -14 и 14 и штриховкой между ними. Ось обозначена $x$.

3) Числовая прямая с закрашенными точками на -14 и 14 и штриховкой влево от -14 и вправо от 14. Ось обозначена $x$.

4) Числовая прямая с выколотыми точками на -14 и 14 и штриховкой влево от -14 и вправо от 14. Ось обозначена $x$.

Чтобы найти геометрическую модель решения неравенства $x^2 \ge 196$, необходимо сначала решить это неравенство.

Данное неравенство является квадратичным. Можно решить его несколькими способами.

Способ 1: Использование модуля

Неравенство $x^2 \ge 196$ равносильно неравенству $\sqrt{x^2} \ge \sqrt{196}$.

Поскольку $\sqrt{x^2} = |x|$ и $\sqrt{196} = 14$, мы получаем неравенство с модулем: $|x| \ge 14$.

Неравенство вида $|x| \ge a$ (где $a \ge 0$) эквивалентно совокупности двух неравенств: $x \ge a$ или $x \le -a$.

Применяя это правило к нашему случаю, получаем:

$x \ge 14$ или $x \le -14$.

В виде объединения числовых промежутков решение записывается так: $x \in (-\infty; -14] \cup [14; +\infty)$.

Способ 2: Метод интервалов

Перенесем все в левую часть: $x^2 - 196 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-14)(x+14) \ge 0$.

Найдем нули функции $f(x)=(x-14)(x+14)$, решив уравнение $(x-14)(x+14) = 0$. Корни: $x_1 = 14$, $x_2 = -14$.

Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Они разделят ось на три интервала. Определим знаки выражения $(x-14)(x+14)$ на каждом интервале.

- При $x \in (-\infty; -14)$: знак (+). - При $x \in (-14; 14)$: знак (-). - При $x \in (14; +\infty)$: знак (+).

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком "+". Это $(-\infty; -14]$ и $[14; +\infty)$.

Анализ геометрических моделей

Решение $x \le -14$ или $x \ge 14$ на числовой оси представляет собой два луча. Один идет влево от точки $-14$, а другой — вправо от точки $14$. Так как неравенство нестрогое, точки $-14$ и $14$ должны быть включены в решение и изображены закрашенными кружками.

Теперь сравним это с предложенными вариантами:

1) Показан промежуток $[14; +\infty)$. Это лишь часть верного решения.

2) Показано объединение промежутков $(-\infty; -14]$ и $[14; +\infty)$. Точки $-14$ и $14$ закрашены. Этот вариант полностью соответствует найденному решению.

3) Показан промежуток $[-14; 14]$, что является решением для $x^2 \le 196$.

4) Показано объединение промежутков $(-\infty; -14)$ и $(14; +\infty)$ с выколотыми (незакрашенными) точками, что является решением для строгого неравенства $x^2 > 196$.

Следовательно, правильная геометрическая модель представлена на рисунке 2.

Ответ: 2

263 Решите неравенство $(x - 2)(x + 3)(8x - 2) < 0$.

1) $x < 3$ и $2 < x < 4$;

2) $x < -3$ и $\frac{1}{4} < x < 2$;

3) $x < -2$ и $\frac{1}{4} < x < 3$;

4) $-3 < x < 0,25$ и $x > 2$.

Для решения неравенства $(x - 2)(x + 3)(8x - 2) < 0$ используется метод интервалов.

1. Находим нули функции

Приравняем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение меняет знак:

$(x - 2)(x + 3)(8x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Решим три простых уравнения:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$

$8x - 2 = 0 \implies 8x = 2 \implies x_3 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

2. Анализируем интервалы

Отметим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: $-3$, $\frac{1}{4}$ и $2$. Эти точки разделяют ось на четыре интервала. Так как неравенство строгое ($<0$), точки на оси будут выколотыми.

Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}; 2)$, $(2; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $(x - 2)(x + 3)(8x - 2)$ на каждом из этих интервалов. Для этого возьмем по одной пробной точке из каждого интервала:

• Для интервала $(2; +\infty)$ возьмем $x = 3$: $(3 - 2)(3 + 3)(8 \cdot 3 - 2) = 1 \cdot 6 \cdot 22 = 132$. Знак +.
• Для интервала $(\frac{1}{4}; 2)$ возьмем $x = 1$: $(1 - 2)(1 + 3)(8 \cdot 1 - 2) = -1 \cdot 4 \cdot 6 = -24$. Знак -.
• Для интервала $(-3; \frac{1}{4})$ возьмем $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 3)(8 \cdot 0 - 2) = -2 \cdot 3 \cdot (-2) = 12$. Знак +.
• Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмем $x = -4$: $(-4 - 2)(-4 + 3)(8 \cdot (-4) - 2) = -6 \cdot (-1) \cdot (-34) = -204$. Знак -.

3. Формируем ответ

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, то есть имело знак «-». Это соответствует интервалам $(-\infty; -3)$ и $(\frac{1}{4}; 2)$.

Запишем это в виде системы неравенств: $x < -3$ и $\frac{1}{4} < x < 2$.

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту 2.

Ответ: 2) $x < -3$ и $\frac{1}{4} < x < 2$.

264 Решите неравенство $x(x + 7)(3 - 6x) \ge 0$.

1) $-7 \le x \le 0$ и $x \ge 0,5$;

2) $x \le -7$ и $0 \le x \le 0,5$;

3) $x \le -7$ и $0 \le x \le 2$;

4) $-7 \le x \le 0,5$.

Для решения неравенства $x(x+7)(3-6x) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов.

Нахождение корней
Сначала приравняем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение может поменять знак. Это корни соответствующего уравнения:
$x(x+7)(3-6x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три корня:

• $x_1 = 0$
• $x+7 = 0 \implies x_2 = -7$
• $3-6x = 0 \implies 6x = 3 \implies x_3 = \frac{3}{6} = 0.5$

Анализ знаков на числовой оси
Отметим полученные корни ($-7$, $0$ и $0.5$) на числовой прямой. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), все точки будут закрашенными, то есть включенными в решение.
Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -7]$, $[-7, 0]$, $[0, 0.5]$ и $[0.5, +\infty)$.
Теперь определим знак выражения $f(x) = x(x+7)(3-6x)$ в каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(0.5, +\infty)$, например, $x=1$:
$f(1) = 1 \cdot (1+7) \cdot (3 - 6 \cdot 1) = 1 \cdot 8 \cdot (-3) = -24$.
Так как результат отрицательный, на интервале $(0.5, +\infty)$ ставим знак "–".
Все корни уравнения имеют нечетную кратность (каждый корень встречается один раз), поэтому при переходе через каждый корень знак будет меняться на противоположный. Двигаясь справа налево, расставим знаки:

• Интервал $(0.5, +\infty)$: знак "–"
• Интервал $[0, 0.5]$: знак "+"
• Интервал $[-7, 0]$: знак "–"
• Интервал $(-\infty, -7]$: знак "+"

Формирование ответа
В исходном неравенстве требуется найти, где выражение $x(x+7)(3-6x)$ больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует интервалам со знаком "+", включая их концы.
Такими интервалами являются $(-\infty, -7]$ и $[0, 0.5]$.
Объединение этих промежутков можно записать в виде: $x \le -7$ и $0 \le x \le 0.5$.
Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $x \le -7$ и $0 \le x \le 0,5$.

265 Найдите множество решений неравенства $(3x - 1)(x + 4)(x - 6) \ge 0$.

1) $[-4; \frac{1}{3}] \cup [6; +\infty)$

2) $[-4; 3] \cup [6; +\infty)$

3) $[-6; -4) \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$

4) $(-\infty; -4) \cup (\frac{1}{3}; 6)$

Для решения неравенства $(3x - 1)(x + 4)(x - 6) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Для этого сначала найдем корни уравнения, приравняв левую часть к нулю.

$(3x - 1)(x + 4)(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. $3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$

2. $x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$

3. $x - 6 = 0 \implies x_3 = 6$

Теперь отметим найденные корни на числовой оси в порядке их возрастания: $-4$, $\frac{1}{3}$, $6$. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак $\ge$), все три точки включаются в множество решений, и на оси они отмечаются закрашенными (сплошными) точками. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; \frac{1}{3}]$, $[\frac{1}{3}; 6]$ и $[6; +\infty)$.

Определим знак выражения $f(x) = (3x - 1)(x + 4)(x - 6)$ на каждом из интервалов, выбрав по одной пробной точке:

• Интервал $(6; +\infty)$. Возьмем $x = 10$.
  $f(10) = (3 \cdot 10 - 1)(10 + 4)(10 - 6) = (29)(14)(4)$. Все множители положительны, значит произведение положительно. Ставим знак «+».
• Интервал $(\frac{1}{3}; 6)$. Возьмем $x = 1$.
  $f(1) = (3 \cdot 1 - 1)(1 + 4)(1 - 6) = (2)(5)(-5)$. Произведение отрицательно. Ставим знак «−».
• Интервал $(-4; \frac{1}{3})$. Возьмем $x = 0$.
  $f(0) = (3 \cdot 0 - 1)(0 + 4)(0 - 6) = (-1)(4)(-6)$. Произведение положительно. Ставим знак «+».
• Интервал $(-\infty; -4)$. Возьмем $x = -5$.
  $f(-5) = (3 \cdot (-5) - 1)(-5 + 4)(-5 - 6) = (-16)(-1)(-11)$. Произведение отрицательно. Ставим знак «−».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение $(3x - 1)(x + 4)(x - 6)$ больше или равно нулю. Это соответствует интервалам, где мы поставили знак «+», включая граничные точки.

Таким образом, решением является объединение промежутков $[-4; \frac{1}{3}]$ и $[6; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 1).

Ответ: $1) \ [-4; \frac{1}{3}] \cup [6; +\infty)$