Страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

297 a) Укажите наибольшее целое число, которое является решением

системы неравенств $ \begin{cases} \frac{x - 5}{x + 3} > 0, \\ 2x + 6 < 11. \end{cases} $

б) Укажите наименьшее целое число, которое является решением

системы неравенств $ \begin{cases} \frac{-6 - x}{3x - 12} \le 0, \\ 9x + 6 > 4. \end{cases} $

а) Требуется найти наибольшее целое число, которое является решением системы неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x - 5}{x + 3} > 0, \\ 2x + 6 < 11. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство $\frac{x - 5}{x + 3} > 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6 - 5}{6 + 3} = \frac{1}{9} > 0$ (знак "+")
- при $-3 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0 - 5}{0 + 3} = -\frac{5}{3} < 0$ (знак "-")
- при $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4 - 5}{-4 + 3} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$ (знак "+")
Так как нам нужно $\frac{x - 5}{x + 3} > 0$, выбираем интервалы со знаком "+". Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$.

2. Решим второе, линейное неравенство:
$2x + 6 < 11$
$2x < 11 - 6$
$2x < 5$
$x < \frac{5}{2}$
$x < 2.5$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 2.5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение 1: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$
Решение 2: $x \in (-\infty; 2.5)$
Пересечением этих двух множеств является интервал $(-\infty; -3)$.

4. Найдем наибольшее целое число, принадлежащее интервалу $(-\infty; -3)$.
Целые числа, меньшие -3, это -4, -5, -6 и так далее. Наибольшее из них — это -4.

Ответ: -4

б) Требуется найти наименьшее целое число, которое является решением системы неравенств: $$ \begin{cases} \frac{-6 - x}{3x - 12} \le 0, \\ 9x + 6 > 4. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство $\frac{-6 - x}{3x - 12} \le 0$. Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от знака "минус" при $x$ в числителе. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\frac{x + 6}{3x - 12} \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$ (точка входит в решение, так как неравенство нестрогое)
$3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x = 4$ (точка не входит в решение, так как находится в знаменателе)
Отметим эти точки на числовой оси: -6 (закрашенная) и 4 (выколотая).

Определим знаки выражения $\frac{x + 6}{3x - 12}$ на интервалах:
- при $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5 + 6}{3(5) - 12} = \frac{11}{3} > 0$ (знак "+")
- при $-6 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0 + 6}{3(0) - 12} = -\frac{6}{12} < 0$ (знак "-")
- при $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7 + 6}{3(-7) - 12} = \frac{-1}{-33} > 0$ (знак "+")
Так как нам нужно $\frac{x + 6}{3x - 12} \ge 0$, выбираем интервалы со знаком "+". Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -6] \cup (4; +\infty)$.

2. Решим второе, линейное неравенство:
$9x + 6 > 4$
$9x > 4 - 6$
$9x > -2$
$x > -\frac{2}{9}$
Решение второго неравенства: $x \in (-\frac{2}{9}; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение 1: $x \in (-\infty; -6] \cup (4; +\infty)$
Решение 2: $x \in (-\frac{2}{9}; +\infty)$
Так как $-\frac{2}{9} \approx -0.22$, что больше чем -6, пересечение множества $(-\infty; -6]$ с $(-\frac{2}{9}; +\infty)$ пусто.
Остается найти пересечение $(4; +\infty)$ и $(-\frac{2}{9}; +\infty)$. Это будет интервал $(4; +\infty)$.

4. Найдем наименьшее целое число, принадлежащее интервалу $(4; +\infty)$.
Целые числа, большие 4, это 5, 6, 7 и так далее. Наименьшее из них — это 5.

Ответ: 5

298 a) При каких значениях $n$ квадратное уравнение

$x^2 + (n - 2)x - (n - 5) = 0$

имеет два корня?

б) При каких значениях $n$ квадратное уравнение

$x^2 - (n + 1)x - (n - 2) = 0$

не имеет корней?

а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).
Дано уравнение: $x^2 + (n - 2)x - (n - 5) = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a = 1$, $b = n - 2$, $c = -(n - 5)$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (n - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(n - 5))$
$D = (n - 2)^2 + 4(n - 5)$
$D = (n^2 - 4n + 4) + (4n - 20)$
$D = n^2 - 16$
Чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться неравенство $D > 0$:
$n^2 - 16 > 0$
$(n - 4)(n + 4) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $n \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.
Ответ: при $n \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

б) Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$).
Дано уравнение: $x^2 - (n + 1)x - (n - 2) = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a = 1$, $b = -(n + 1)$, $c = -(n - 2)$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-(n + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(n - 2))$
$D = (n + 1)^2 + 4(n - 2)$
$D = (n^2 + 2n + 1) + (4n - 8)$
$D = n^2 + 6n - 7$
Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство $D < 0$:
$n^2 + 6n - 7 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $n^2 + 6n - 7 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1 = 1$ и $n_2 = -7$.
Неравенство можно записать в виде $(n - 1)(n + 7) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $(-7; 1)$.
Ответ: при $n \in (-7; 1)$.

299 Швейная мастерская сшила всего 2600 детских спортивных костюмов, курток и комбинезонов. Комбинезонов сшито на 220 меньше, чем курток, а спортивных костюмов в 2 раза больше, чем курток. Сколько сшито спортивных костюмов?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество сшитых курток. Тогда, исходя из условий задачи, можно выразить количество других изделий:

• Количество комбинезонов: $x - 220$ (на 220 меньше, чем курток)
• Количество спортивных костюмов: $2x$ (в 2 раза больше, чем курток)

Общее количество всех сшитых изделий равно 2600. Составим уравнение, сложив количество всех видов одежды:

$x + (x - 220) + 2x = 2600$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$ (количество курток):

1. Объединим подобные члены (все, что с $x$):

$4x - 220 = 2600$

2. Перенесем 220 в правую часть уравнения, изменив знак на плюс:

$4x = 2600 + 220$

$4x = 2820$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{2820}{4}$

$x = 705$

Итак, было сшито 705 курток.

Теперь найдем количество спортивных костюмов, которое по условию в 2 раза больше количества курток:

Количество спортивных костюмов = $2 \times x = 2 \times 705 = 1410$

Проверим себя:
Куртки: 705
Комбинезоны: $705 - 220 = 485$
Спортивные костюмы: 1410
Всего: $705 + 485 + 1410 = 1190 + 1410 = 2600$.
Все верно.

Ответ: было сшито 1410 спортивных костюмов.

300 Во время озеленения района было посажено всего 6780 деревьев. Из них лип посажено в 2 раза больше, чем клёнов, а каштанов на 1200 меньше, чем лип. Сколько лип посажено в районе во время его озеленения?

Для решения данной задачи воспользуемся методом составления уравнения. Примем за неизвестную величину ($x$) количество клёнов.

Исходя из условий задачи, выразим количество деревьев каждого вида через $x$:

• Количество клёнов: $x$
• Количество лип: так как лип посажено в 2 раза больше, чем клёнов, их количество равно $2x$
• Количество каштанов: так как каштанов посажено на 1200 меньше, чем лип, их количество равно $2x - 1200$

Общее количество посаженных деревьев — 6780. Теперь мы можем составить уравнение, сложив количество деревьев всех видов:

$x + 2x + (2x - 1200) = 6780$

Приступим к решению уравнения. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$x + 2x + 2x - 1200 = 6780$

$5x - 1200 = 6780$

Далее перенесем -1200 из левой части в правую, изменив знак на противоположный:

$5x = 6780 + 1200$

$5x = 7980$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = 7980 \div 5$

$x = 1596$

Таким образом, количество посаженных клёнов составляет 1596.

В задаче требуется найти количество посаженных лип. Мы знаем, что количество лип равно $2x$.

Количество лип $= 2 \times 1596 = 3192$.

Для самопроверки найдем количество каштанов и общую сумму деревьев:

• Клёны: 1596
• Липы: 3192
• Каштаны: $3192 - 1200 = 1992$
• Всего деревьев: $1596 + 3192 + 1992 = 6780$

Общее количество совпадает с условием задачи, следовательно, задача решена верно.

Ответ: в районе было посажено 3192 липы.

301 Из пункта $A$ в пункт $B$ вышла моторная лодка со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Через $4 \text{ ч}$ вслед за ней вышла вторая моторная лодка, скорость которой $14 \text{ км/ч}$. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$, если обе моторные лодки прибыли в пункт $B$ одновременно.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — искомое расстояние между пунктами А и В в километрах.

Обозначим:

• $v_1 = 12$ км/ч — скорость первой моторной лодки.
• $v_2 = 14$ км/ч — скорость второй моторной лодки.

Время, которое затратит на путь каждая лодка, можно выразить через расстояние и скорость по формуле $t = S/v$.

• Время первой лодки: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{12}$ ч.
• Время второй лодки: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{14}$ ч.

По условию задачи, вторая лодка вышла на 4 часа позже первой и прибыла в пункт В одновременно с ней. Это означает, что первая лодка находилась в пути на 4 часа дольше, чем вторая. Следовательно, мы можем составить уравнение, связывающее время движения двух лодок:

$t_1 = t_2 + 4$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{S}{12} = \frac{S}{14} + 4$

Для решения этого уравнения перенесем слагаемые с переменной $S$ в левую часть:

$\frac{S}{12} - \frac{S}{14} = 4$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 14 — это 84.

$\frac{7S}{84} - \frac{6S}{84} = 4$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{7S - 6S}{84} = 4$

$\frac{S}{84} = 4$

Теперь найдем $S$, умножив обе части уравнения на 84:

$S = 4 \cdot 84$

$S = 336$

Таким образом, расстояние между пунктами А и В составляет 336 км.

Проверим решение.
Время первой лодки: $t_1 = 336 / 12 = 28$ часов.
Время второй лодки: $t_2 = 336 / 14 = 24$ часа.
Разница во времени: $28 - 24 = 4$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 336 км.

302 Катер прошёл расстояние между пунктами $A$ и $B$ по течению реки за 4 ч 30 мин, а в обратную сторону за 6 ч 18 мин. Определите расстояние между пунктами $A$ и $B$, если скорость течения реки $2,4 \text{ км/ч}$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S$ – искомое расстояние между пунктами А и В (в км),
$v_к$ – собственная скорость катера, то есть скорость в стоячей воде (в км/ч),
$v_{теч}$ – скорость течения реки (в км/ч).

По условию задачи, скорость течения реки $v_{теч} = 2.4$ км/ч.
Время движения по течению: $t_{по} = 4 \text{ ч } 30 \text{ мин}$.
Время движения против течения: $t_{против} = 6 \text{ ч } 18 \text{ мин}$.

Переведем время в часы для удобства расчетов:
$t_{по} = 4 + \frac{30}{60} = 4.5$ ч
$t_{против} = 6 + \frac{18}{60} = 6 + \frac{3}{10} = 6.3$ ч

Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_к + v_{теч}$.
Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_к - v_{теч}$.

Расстояние $S$ можно выразить двумя способами, используя формулу $S = v \cdot t$:
1. При движении по течению: $S = v_{по} \cdot t_{по} = (v_к + v_{теч}) \cdot t_{по}$.
2. При движении против течения: $S = v_{против} \cdot t_{против} = (v_к - v_{теч}) \cdot t_{против}$.

Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять правые части этих уравнений: $(v_к + v_{теч}) \cdot t_{по} = (v_к - v_{теч}) \cdot t_{против}$

Подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти собственную скорость катера $v_к$:
$(v_к + 2.4) \cdot 4.5 = (v_к - 2.4) \cdot 6.3$
$4.5 v_к + 4.5 \cdot 2.4 = 6.3 v_к - 6.3 \cdot 2.4$
$4.5 v_к + 10.8 = 6.3 v_к - 15.12$
Теперь соберем слагаемые с $v_к$ в одной части уравнения, а числовые значения – в другой:
$10.8 + 15.12 = 6.3 v_к - 4.5 v_к$
$25.92 = 1.8 v_к$
$v_к = \frac{25.92}{1.8}$
$v_к = 14.4$ км/ч.

Зная собственную скорость катера, мы можем найти расстояние $S$, подставив значение $v_к$ в любое из двух первоначальных выражений для расстояния. Воспользуемся первым: $S = (v_к + v_{теч}) \cdot t_{по}$
$S = (14.4 + 2.4) \cdot 4.5$
$S = 16.8 \cdot 4.5$
$S = 75.6$ км.

Для проверки можно рассчитать расстояние, используя второе выражение: $S = (v_к - v_{теч}) \cdot t_{против}$
$S = (14.4 - 2.4) \cdot 6.3$
$S = 12 \cdot 6.3$
$S = 75.6$ км.
Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: расстояние между пунктами А и В равно 75,6 км.

303 Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 2 см, то его площадь увеличится на $126 \text{ см}^2$. Найдите периметр прямоугольника.

Пусть ширина исходного прямоугольника равна $x$ см.

Согласно условию задачи, длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Следовательно, длина равна $3x$ см.

Площадь исходного прямоугольника ($S_1$) вычисляется как произведение длины на ширину: $S_1 = 3x \cdot x = 3x^2$ см$^2$.

Далее, по условию, ширину прямоугольника увеличили на 2 см. Новая ширина стала равна $(x + 2)$ см. Длина при этом не изменилась и осталась равной $3x$ см.

Площадь нового прямоугольника ($S_2$) будет равна: $S_2 = 3x \cdot (x + 2)$ см$^2$.

Известно, что площадь увеличилась на 126 см$^2$. Это означает, что разница между новой и старой площадями составляет 126 см$^2$: $S_2 - S_1 = 126$

Подставим выражения для площадей в это уравнение: $3x(x + 2) - 3x^2 = 126$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки: $3x^2 + 6x - 3x^2 = 126$

Упростим левую часть уравнения, сократив $3x^2$ и $-3x^2$: $6x = 126$

Найдем $x$, разделив обе части на 6: $x = \frac{126}{6}$ $x = 21$

Таким образом, ширина исходного прямоугольника равна 21 см.

Теперь найдем длину исходного прямоугольника: Длина = $3x = 3 \cdot 21 = 63$ см.

Наконец, найдем периметр исходного прямоугольника. Периметр ($P$) прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина})$: $P = 2 \cdot (63 + 21)$ $P = 2 \cdot (84)$ $P = 168$ см.

Ответ: 168 см.