Страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. В подъезде девятиэтажного дома на каждом этаже 4 квартиры. Наибольший номер квартиры в подъезде — 108. Найдите наименьший номер квартиры в этом подъезде.

Для того чтобы найти наименьший номер квартиры в подъезде, сначала нужно определить общее количество квартир в этом подъезде.

По условию, в подъезде 9 этажей, и на каждом этаже расположено по 4 квартиры. Значит, общее количество квартир в подъезде составляет:

$9 \text{ этажей} \times 4 \text{ квартиры/этаж} = 36 \text{ квартир}$

Известно, что самый большой номер квартиры в этом подъезде — 108. Это последняя квартира в непрерывной нумерации для данного подъезда. Всего в подъезде 36 квартир.

Чтобы найти номер первой (наименьшей) квартиры, нужно от номера последней квартиры отнять количество квартир в подъезде и прибавить 1 (так как мы включаем и последнюю, и первую квартиру в подсчет).

Пусть $N_{наим}$ — искомый наименьший номер. Тогда количество квартир равно $108 - N_{наим} + 1$.

Составим уравнение:

$108 - N_{наим} + 1 = 36$

$109 - N_{наим} = 36$

Отсюда находим $N_{наим}$:

$N_{наим} = 109 - 36$

$N_{наим} = 73$

Таким образом, наименьший номер квартиры в этом подъезде — 73. Квартиры в подъезде пронумерованы с 73 по 108 включительно.

Ответ: 73

2. В восемнадцатиэтажном доме 3 подъезда по 4 квартиры на каждом этаже. Сколько всего квартир в этом доме?

Для того чтобы найти общее количество квартир в доме, необходимо перемножить количество этажей, количество квартир на каждом этаже и количество подъездов.

1. Сначала найдем, сколько всего квартир в одном подъезде. Для этого умножим количество этажей (18) на количество квартир на каждом этаже (4):
$18 \times 4 = 72$ (квартиры в одном подъезде).

2. Теперь, зная, что в доме 3 таких подъезда, умножим количество квартир в одном подъезде на количество подъездов, чтобы найти общее количество квартир в доме:
$72 \times 3 = 216$ (квартир во всем доме).

Таким образом, в восемнадцатиэтажном доме с тремя подъездами и четырьмя квартирами на этаже всего находится 216 квартир.

Ответ: 216.

3. В булочной покупателям предлагают 5 сортов чёрного хлеба. Коля и Толя независимо друг от друга покупают по батону чёрного хлеба. Сколько имеется вариантов такой покупки?

В данной задаче необходимо найти общее количество возможных комбинаций покупок двух людей, каждый из которых выбирает из одного и того же набора товаров независимо друг от друга. Это классическая задача на применение правила умножения в комбинаторике.

По условию, в булочной представлено 5 сортов чёрного хлеба.

Рассмотрим выбор Коли. Он может купить любой из 5 сортов хлеба. Следовательно, у Коли есть 5 возможных вариантов выбора.

Рассмотрим выбор Толи. Его выбор не зависит от выбора Коли, поэтому он также может выбрать любой из 5 сортов хлеба. Таким образом, у Толи тоже 5 возможных вариантов выбора.

Чтобы найти общее количество вариантов покупки для них обоих, мы должны перемножить количество вариантов выбора для каждого из них. Если Коля может сделать свой выбор $n$ способами, а Толя — $m$ способами, то общее число способов для них обоих совершить покупку будет равно $n \times m$.

В нашем случае $n = 5$ и $m = 5$.

Общее количество вариантов покупки = (Количество вариантов для Коли) $\times$ (Количество вариантов для Толи).

Вычисляем: $5 \times 5 = 25$.

Таким образом, существует 25 различных вариантов такой покупки. Например, Коля может купить сорт 1 и Толя может купить сорт 1; Коля может купить сорт 1 и Толя — сорт 2, и так далее для всех возможных пар.
Ответ: 25

4. В булочной покупателям предлагают 5 сортов чёрного хлеба. Толя покупает хлеб сразу после Коли, и его выбор будет отличаться от выбора Коли. Сколько имеется вариантов такой покупки?

Для решения этой задачи необходимо последовательно посчитать количество вариантов выбора для каждого покупателя и затем перемножить их.

1. Выбор Коли. Коля выбирает хлеб первым. В булочной представлено 5 сортов чёрного хлеба, поэтому у Коли есть 5 различных вариантов для покупки.

2. Выбор Толи. Толя делает свой выбор после Коли. По условию, его выбор должен отличаться от выбора Коли. Это значит, что какой бы сорт хлеба ни выбрал Коля, Толя уже не может его выбрать. Следовательно, у Толи остаётся на один вариант меньше. Количество вариантов для Толи составляет $5 - 1 = 4$.

3. Общее количество вариантов. Чтобы найти общее число вариантов такой совместной покупки, нужно использовать правило умножения в комбинаторике: число вариантов для Коли умножается на число вариантов для Толи.

Количество общих вариантов = (Количество вариантов для Коли) × (Количество вариантов для Толи).

$5 \times 4 = 20$

Таким образом, существует 20 различных вариантов такой покупки.

Ответ: 20.

5. При гадании по стихотворному тексту наугад называют номер строфы, номер строки в ней и затем зачитывают эту строку. Сколько имеется результатов гадания по тексту второй главы романа в стихах «Евгений Онегин» А. С. Пушкина?

Для определения количества возможных результатов гадания необходимо вычислить общее количество строк во второй главе романа в стихах «Евгений Онегин». Каждый возможный результат соответствует одной уникальной строке, которую можно выбрать.

Роман А. С. Пушкина «Евгений Онегин» написан специальной строфической формой, известной как «онегинская строфа». Каждая онегинская строфа состоит ровно из 14 строк.

Согласно каноническому тексту произведения, вторая глава романа «Евгений Онегин» содержит 40 строф. В данной главе нет пропущенных или неполных строф.

Чтобы найти общее количество строк, нужно умножить количество строф на количество строк в одной строфе.

Общее количество строк = (Количество строф) × (Количество строк в одной строфе)

Выполним вычисление:
$40 \text{ строф} \times 14 \text{ строк/строфа} = 560 \text{ строк}$

Следовательно, существует 560 уникальных строк, которые можно загадать, а значит, и 560 результатов гадания.

Ответ: 560

6. Два светофора работают независимо. На каждом может гореть красный, жёлтый или зелёный свет. Нарисуйте дерево вариантов работы светофоров. Сколько имеется вариантов?

Дерево вариантов работы светофоров

Чтобы наглядно представить все возможные комбинации работы двух светофоров, построим дерево вариантов. Первый уровень ветвления представляет собой возможные цвета первого светофора. От каждой из этих ветвей отходит второй уровень ветвления, представляющий цвета второго светофора.

• Светофор 1: Красный
  • Светофор 2: Красный → (Красный, Красный)
  • Светофор 2: Жёлтый → (Красный, Жёлтый)
  • Светофор 2: Зелёный → (Красный, Зелёный)
• Светофор 1: Жёлтый
  • Светофор 2: Красный → (Жёлтый, Красный)
  • Светофор 2: Жёлтый → (Жёлтый, Жёлтый)
  • Светофор 2: Зелёный → (Жёлтый, Зелёный)
• Светофор 1: Зелёный
  • Светофор 2: Красный → (Зелёный, Красный)
  • Светофор 2: Жёлтый → (Зелёный, Жёлтый)
  • Светофор 2: Зелёный → (Зелёный, Зелёный)

Ответ: Дерево вариантов, демонстрирующее все возможные комбинации, представлено выше.

Сколько имеется вариантов?

Для нахождения общего количества вариантов воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Поскольку светофоры работают независимо, общее число комбинаций их состояний равно произведению числа состояний каждого из них.

У первого светофора есть 3 возможных состояния (красный, жёлтый или зелёный).

У второго светофора также есть 3 возможных состояния.

Общее количество вариантов $N$ рассчитывается следующим образом:

$N = 3 \times 3 = 9$

Ответ: 9

7. Сформулируйте правило умножения для двух испытаний.

Правило умножения вероятностей используется для нахождения вероятности совместного наступления (пересечения) двух событий, связанных с двумя испытаниями. Формулировка правила зависит от того, являются ли эти события зависимыми или независимыми.

Правило умножения для зависимых событий (общая форма)

Два события называются зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность наступления другого. Для таких событий применяется общая форма правила умножения. Правило формулируется следующим образом: вероятность совместного наступления двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.

Математически это выражается формулой:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

или, что эквивалентно:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Здесь:

• $P(A \cap B)$ — это вероятность того, что произойдут и событие A, и событие B (совместная вероятность).
• $P(A)$ — это вероятность наступления события A (безусловная вероятность).
• $P(B|A)$ — это условная вероятность наступления события B при условии, что событие A уже наступило.

Правило умножения для независимых событий (частный случай)

Два события называются независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого. В этом случае условная вероятность события равна его безусловной вероятности, то есть $P(B|A) = P(B)$ и $P(A|B) = P(A)$. Правило для независимых событий формулируется так: вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Математически это выражается формулой:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Эта формула является частным случаем общей теоремы умножения, так как является ее прямым следствием при условии независимости событий.

Ответ: Правило умножения для двух испытаний (событий) A и B гласит, что вероятность их совместного наступления $P(A \cap B)$ равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Если события A и B независимы, то правило упрощается, и вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

промежуточную правую часть уравнения для двух переменных.

8. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 3, 8, 9 (повторение цифр допускается)?

Чтобы определить, сколько двузначных чисел можно составить из заданных цифр, нужно рассмотреть каждую позицию в числе отдельно.

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры в разряде десятков (первая цифра) и цифры в разряде единиц (вторая цифра).

Нам даны три цифры для составления чисел: 3, 8, 9.

1. Выбор первой цифры (разряд десятков): На эту позицию можно поставить любую из трех данных цифр. Таким образом, у нас есть 3 варианта выбора для первой цифры.

2. Выбор второй цифры (разряд единиц): По условию задачи, цифры могут повторяться. Это означает, что для второй позиции мы также можем выбрать любую из трех данных цифр (3, 8 или 9). Следовательно, у нас также есть 3 варианта выбора для второй цифры.

Чтобы найти общее количество возможных комбинаций, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно правилу произведения в комбинаторике):

Количество чисел = (Количество вариантов для первой цифры) × (Количество вариантов для второй цифры)

Вычисляем: $3 \times 3 = 9$.

Таким образом, можно составить 9 двузначных чисел. Перечислим их для проверки:

• 33, 38, 39
• 83, 88, 89
• 93, 98, 99

Ответ: 9

9. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 8, 9 (повторение цифр допускается)?

Для того чтобы составить двузначное число из заданных цифр, необходимо определить, сколько вариантов существует для каждой из двух позиций: разряда десятков и разряда единиц.

Нам даны четыре цифры: 0, 3, 8, 9.

Выбор первой цифры (разряд десятков):
Первая цифра двузначного числа не может быть 0. Следовательно, на эту позицию мы можем поставить одну из следующих цифр: 3, 8, 9.
Количество возможных вариантов для первой цифры равно 3.

Выбор второй цифры (разряд единиц):
Вторая цифра может быть любой из предложенных {0, 3, 8, 9}, так как по условию повторение цифр допускается.
Количество возможных вариантов для второй цифры равно 4.

Общее количество двузначных чисел:
Чтобы найти общее количество возможных двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно комбинаторному правилу умножения).
$N = (\text{количество вариантов для первой цифры}) \times (\text{количество вариантов для второй цифры})$
$N = 3 \times 4 = 12$

Ответ: 12

10. Сколько двузначных чисел без повторения цифр можно составить из цифр 0, 3, 8, 9? Нарисуйте дерево вариантов.

Сколько двузначных чисел без повторения цифр можно составить из цифр 0, 3, 8, 9?

Чтобы найти количество двузначных чисел, которые можно составить из заданных цифр без их повторения, воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Мы должны определить количество вариантов для каждой позиции в числе (десятки и единицы).

1. Выбор первой цифры (разряд десятков):
   Первая цифра двузначного числа не может быть нулем. Из предложенных цифр {0, 3, 8, 9} на место первой цифры можно поставить 3, 8 или 9. Таким образом, у нас есть 3 варианта для первой цифры.
2. Выбор второй цифры (разряд единиц):
   По условию, цифры в числе не должны повторяться. Изначально у нас было 4 цифры. После того, как мы выбрали первую цифру, для выбора второй цифры остается $4 - 1 = 3$ варианта. Например, если первая цифра — 3, то вторая может быть 0, 8 или 9. Если первая — 8, то вторая может быть 0, 3 или 9. В любом случае, у нас есть 3 варианта для второй цифры.

Общее количество возможных двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$3 \text{ (варианта для первой цифры)} \times 3 \text{ (варианта для второй цифры)} = 9 \text{ чисел}$

Ответ: Можно составить 9 двузначных чисел.

Нарисуйте дерево вариантов.

Дерево вариантов — это графический способ представления всех возможных комбинаций. Каждая ветвь дерева представляет собой один из возможных выборов.

• Первая цифра (3, 8, 9)
  • 3
    • 0 → 30
    • 8 → 38
    • 9 → 39
  • 8
    • 0 → 80
    • 3 → 83
    • 9 → 89
  • 9
    • 0 → 90
    • 3 → 93
    • 8 → 98

Все возможные числа, полученные из дерева вариантов: 30, 38, 39, 80, 83, 89, 90, 93, 98.

Ответ: Дерево вариантов построено выше. Из него видно, что можно составить 9 чисел: 30, 38, 39, 80, 83, 89, 90, 93, 98.

11. Игральный кубик бросают дважды. Найдите число возможных результатов выпадения кубика.

Стандартный игральный кубик представляет собой куб с 6 гранями, на каждой из которых нанесено число от 1 до 6.

При первом броске кубика существует 6 возможных исходов, так как может выпасть любое число от 1 до 6.

При втором броске кубика также существует 6 возможных исходов. Результат второго броска является независимым событием от результата первого.

Чтобы найти общее число возможных результатов для двух последовательных независимых событий, необходимо перемножить количество исходов для каждого из них. Это является основным правилом комбинаторики, известным как правило умножения.

Пусть $N_1$ — это количество исходов для первого броска, а $N_2$ — количество исходов для второго броска.
$N_1 = 6$
$N_2 = 6$

Общее число возможных результатов $N$ вычисляется по формуле:
$N = N_1 \times N_2$

Подставив значения, получим:
$N = 6 \times 6 = 36$

Следовательно, существует 36 различных комбинаций результатов (например, (1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6)), которые могут получиться при двукратном бросании игрального кубика.

Ответ: 36

12. Во сколько раз число $5!$ больше суммы $(3! + 4!)?$

12.

Чтобы определить, во сколько раз число $5!$ больше суммы $(3! + 4!)$, необходимо найти их частное, то есть разделить $5!$ на $(3! + 4!)$. Запишем это в виде дроби:

$\frac{5!}{3! + 4!}$

Для решения задачи сначала вычислим значения выражений в числителе и знаменателе. Напомним, что факториал числа $n$ (обозначается как $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

1. Вычислим значение числителя:

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

2. Вычислим значение знаменателя. Для этого сначала найдем значения $3!$ и $4!$:

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Теперь найдем их сумму:

$3! + 4! = 6 + 24 = 30$

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{120}{30} = 4$

Таким образом, число $5!$ в 4 раза больше суммы $(3! + 4!)$.

Этот же результат можно получить и другим способом, упростив исходное выражение. Для этого вынесем общий множитель $3!$ в знаменателе и представим $5!$ через $3!$ в числителе:

$\frac{5!}{3! + 4!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! + (4 \times 3!)} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!(1 + 4)} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 5}$

Сократив одинаковые множители ($3!$ и $5$) в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{\cancel{5} \times 4 \times \cancel{3!}}{\cancel{3!} \times \cancel{5}} = 4$

Ответ: в 4 раза.

13. Решите уравнение $2 \cdot x! + 5! = 10\,200$.

Для решения уравнения $2 \cdot x! + 5! = 10200$ необходимо найти значение $x$. В данном уравнении $x!$ обозначает факториал числа $x$, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $x$. По определению, $x$ должно быть целым неотрицательным числом.

Сначала вычислим значение известного члена уравнения, $5!$ (факториал пяти):

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

Теперь подставим полученное значение в исходное уравнение:

$2 \cdot x! + 120 = 10200$.

Далее, изолируем слагаемое, содержащее $x!$. Для этого вычтем 120 из обеих частей уравнения:

$2 \cdot x! = 10200 - 120$

$2 \cdot x! = 10080$.

Теперь, чтобы найти $x!$, разделим обе части уравнения на 2:

$x! = \frac{10080}{2}$

$x! = 5040$.

Последний шаг — найти число $x$, факториал которого равен 5040. Будем последовательно вычислять факториалы для нахождения нужного значения:

$1! = 1$

$2! = 2$

$3! = 6$

$4! = 24$

$5! = 120$

$6! = 6 \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720$

$7! = 7 \cdot 6! = 7 \cdot 720 = 5040$.

Таким образом, мы видим, что $x! = 7!$, откуда следует, что $x=7$.

Выполним проверку, подставив $x=7$ в первоначальное уравнение:

$2 \cdot 7! + 5! = 2 \cdot 5040 + 120 = 10080 + 120 = 10200$.

$10200 = 10200$.

Равенство выполняется, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $x=7$.

14. Сформулируйте теорему о перестановках множества из $n$ элементов.

Перестановкой множества из n различных элементов называется любой упорядоченный набор (последовательность), в который входят все элементы данного множества по одному разу. Таким образом, перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Теорема о числе перестановок

Число всех возможных перестановок для множества, состоящего из n различных элементов, равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n, то есть n-факториалу.

Это число обозначается символом $P_n$ и вычисляется по следующей формуле: $P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Пояснение и доказательство:

Рассуждение строится на основе правила произведения в комбинаторике. Чтобы составить перестановку из n элементов, нам нужно последовательно заполнить n позиций.

На первую позицию мы можем выбрать любой из n имеющихся элементов. Таким образом, у нас есть n способов.

После того как первая позиция занята, для второй позиции у нас остается $n-1$ элемент. Следовательно, есть $n-1$ способ выбрать элемент для второй позиции.

Для третьей позиции остается $n-2$ элемента, то есть $n-2$ способа.

Продолжая этот процесс, для предпоследней ($(n-1)$-й) позиции у нас будет 2 оставшихся элемента (2 способа), и для последней, n-й, позиции останется только 1 элемент (1 способ).

Общее число способов составить перестановку равно произведению числа способов для каждой позиции: $P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$

Пример:

Пусть дано множество из трех элементов $\{1, 2, 3\}$. Здесь $n=3$. Число перестановок равно $P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Вот все 6 возможных перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Ответ: Теорема о перестановках утверждает, что число всех различных перестановок множества, содержащего n элементов, обозначается $P_n$ и равно факториалу числа n. Формула для вычисления: $P_n = n!$.

215 Решите уравнение

а) $ \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 2x - 3} = 0; $

б) $ \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} = 0. $

a) $\frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 2x - 3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 5x - 6 = 0 \\ x^2 + 2x - 3 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы: $x^2 + 5x - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, корни числителя: $x = -6$ и $x = 1$.

2. Теперь найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль (область допустимых значений, ОДЗ):

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$x_3 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$

$x_4 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$

Следовательно, знаменатель не должен быть равен нулю при $x \neq -3$ и $x \neq 1$.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ. Корень $x = 1$ не является решением исходного уравнения, так как он обращает знаменатель в ноль (является посторонним корнем). Корень $x = -6$ удовлетворяет условию ОДЗ.

Ответ: $-6$

б) $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x^2 - 4x + 3 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение для числителя: $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = 2$

Подбором находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

2. Найдем недопустимые значения $x$, решив уравнение для знаменателя: $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета:

$x_3 + x_4 = 4$

$x_3 \cdot x_4 = 3$

Подбором находим корни: $x_3 = 1$, $x_4 = 3$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

3. Сопоставим корни числителя ($1$ и $2$) с ОДЗ. Корень $x = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$.

Ответ: $2$

216 Решите уравнение:

a) $ \frac{x-5}{x-3} + \frac{4}{x+3} + \frac{24}{x^2-9} = 0; $

б) $ \frac{1}{x-2} + \frac{4}{x^2-4} = \frac{x+1}{x+2}. $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x-5}{x-3} + \frac{4}{x+3} + \frac{24}{x^2-9} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$ x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $
$ x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $
$ x^2-9 = (x-3)(x+3) \neq 0 $, что включает в себя два предыдущих условия.
Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $:

$ \frac{(x-5)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{4(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{24}{(x-3)(x+3)} = 0 $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-3)(x+3) $, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ), и решим уравнение для числителя:

$ (x-5)(x+3) + 4(x-3) + 24 = 0 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ x^2 + 3x - 5x - 15 + 4x - 12 + 24 = 0 $

$ x^2 + (3-5+4)x + (-15-12+24) = 0 $

$ x^2 + 2x - 3 = 0 $

Получили квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -3, а сумма -2. Корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -3 $.
Либо найдем корни через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} $
$ x_1 = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
$ x_2 = \frac{-2-4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 3, x \neq -3 $).
Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $ x = -3 $ является посторонним корнем.

Ответ: 1

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-2} + \frac{4}{x^2-4} = \frac{x+1}{x+2} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $
$ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $
$ x^2-4 = (x-2)(x+2) \neq 0 $
ОДЗ: $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $:

$ \frac{1}{x-2} + \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+1}{x+2} = 0 $

$ \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = 0 $

Запишем уравнение для числителя:

$ (x+2) + 4 - (x+1)(x-2) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ x + 6 - (x^2 - 2x + x - 2) = 0 $

$ x + 6 - (x^2 - x - 2) = 0 $

$ x + 6 - x^2 + x + 2 = 0 $

$ -x^2 + 2x + 8 = 0 $

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $ x^2 $ был положительным:

$ x^2 - 2x - 8 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно -8, сумма равна 2. Корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $.
Либо через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} $
$ x_1 = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4 $
$ x_2 = \frac{2-6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 2, x \neq -2 $).
Корень $ x_1 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -2 $ не удовлетворяет ОДЗ. Это посторонний корень.

Ответ: 4

217 Решите уравнение:

а) $\frac{3x + 2}{2x} + \frac{2x}{3x + 2} = -2;$

б) $\frac{4x - 3}{6x} + \frac{6x}{4x - 3} = 2.$

а) $ \frac{3x + 2}{2x} + \frac{2x}{3x + 2} = -2 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ 2x \neq 0 \implies x \neq 0 $

$ 3x + 2 \neq 0 \implies 3x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{3} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq -\frac{2}{3} $.

Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{3x + 2}{2x} $. Тогда $ \frac{2x}{3x + 2} = \frac{1}{t} $.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$ t + \frac{1}{t} = -2 $

Умножим обе части уравнения на $ t $ (при условии, что $ t \neq 0 $):

$ t^2 + 1 = -2t $

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:

$ t^2 + 2t + 1 = 0 $

Это полный квадрат суммы:

$ (t + 1)^2 = 0 $

Отсюда находим значение $ t $:

$ t + 1 = 0 \implies t = -1 $

Теперь вернемся к исходной переменной $ x $, выполнив обратную замену:

$ \frac{3x + 2}{2x} = -1 $

Решим это уравнение относительно $ x $:

$ 3x + 2 = -1 \cdot (2x) $

$ 3x + 2 = -2x $

$ 3x + 2x = -2 $

$ 5x = -2 $

$ x = -\frac{2}{5} $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $ -\frac{2}{5} \neq 0 $ и $ -\frac{2}{5} \neq -\frac{2}{3} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{2}{5} $

б) $ \frac{4x - 3}{6x} + \frac{6x}{4x - 3} = 2 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ 6x \neq 0 \implies x \neq 0 $

$ 4x - 3 \neq 0 \implies 4x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{4} $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq \frac{3}{4} $.

В этом уравнении, как и в предыдущем, второе слагаемое является обратным к первому. Введем замену. Пусть $ y = \frac{4x - 3}{6x} $. Тогда $ \frac{6x}{4x - 3} = \frac{1}{y} $.

Уравнение принимает вид:

$ y + \frac{1}{y} = 2 $

Умножим обе части на $ y $ (при $ y \neq 0 $):

$ y^2 + 1 = 2y $

Перенесем все в левую часть:

$ y^2 - 2y + 1 = 0 $

Это полный квадрат разности:

$ (y - 1)^2 = 0 $

Отсюда находим $ y $:

$ y - 1 = 0 \implies y = 1 $

Выполним обратную замену:

$ \frac{4x - 3}{6x} = 1 $

Решим полученное уравнение:

$ 4x - 3 = 6x $

$ 4x - 6x = 3 $

$ -2x = 3 $

$ x = -\frac{3}{2} $

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $ -\frac{3}{2} \neq 0 $ и $ -\frac{3}{2} \neq \frac{3}{4} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{3}{2} $

218 Решите уравнение:

a) $x - 5\sqrt{x} - 6 = 0$;

б) $x - 6\sqrt{x} - 7 = 0$.

а) $x - 5\sqrt{x} - 6 = 0$

Данное уравнение можно решить методом введения новой переменной. Область допустимых значений для $x$ определяется подкоренным выражением: $x \ge 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

Получилось квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 6$ удовлетворяет условию ($6 \ge 0$).

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), следовательно, является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t = 6$:

$\sqrt{x} = 6$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 6^2 = 36$

Проверка: подставим $x = 36$ в исходное уравнение:

$36 - 5\sqrt{36} - 6 = 36 - 5 \cdot 6 - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$.

$0 = 0$. Решение верно.

Ответ: 36

б) $x - 6\sqrt{x} - 7 = 0$

Решим это уравнение аналогичным способом. ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим в уравнение:

$t^2 - 6t - 7 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 7$ удовлетворяет условию ($7 \ge 0$).

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t = 7$:

$\sqrt{x} = 7$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 7^2 = 49$

Проверка: подставим $x = 49$ в исходное уравнение:

$49 - 6\sqrt{49} - 7 = 49 - 6 \cdot 7 - 7 = 49 - 42 - 7 = 0$.

$0 = 0$. Решение верно.

Ответ: 49

219 Решите уравнение:

a) $4x^{-1} + x + 4 = 0;$

б) $9x^{-1} + x - 6 = 0.$

а) $4x^{-1} + x + 4 = 0$

Данное уравнение является рациональным. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $x^{-1}$ эквивалентно $\frac{1}{x}$, поэтому знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Перепишем уравнение, заменив $x^{-1}$ на $\frac{1}{x}$:

$\frac{4}{x} + x + 4 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$, так как мы установили, что $x \neq 0$:

$x \cdot (\frac{4}{x} + x + 4) = x \cdot 0$

$4 + x^2 + 4x = 0$

Запишем полученное квадратное уравнение в стандартном виде:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом суммы:

$(x + 2)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Полученный корень $x = -2$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = -2$.

б) $9x^{-1} + x - 6 = 0$

Определим ОДЗ. Так как в уравнении присутствует $x^{-1}$ или $\frac{1}{x}$, то $x \neq 0$.

Заменим $x^{-1}$ на $\frac{1}{x}$:

$\frac{9}{x} + x - 6 = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$x \cdot (\frac{9}{x} + x - 6) = x \cdot 0$

$9 + x^2 - 6x = 0$

Запишем квадратное уравнение в стандартном виде:

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 3)^2 = 0$

Следовательно:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = 3$.

220 Найдите модуль разности корней уравнения:

a) $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$;

б) $4x^4 - 35x^2 - 9 = 0$.

a) Решим биквадратное уравнение $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$.

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $y$:

$4y^2 + 3y - 1 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

Теперь найдем корни для $y$ по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 - 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.

$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Так как мы ввели ограничение $y \ge 0$, корень $y_1 = -1$ является посторонним и не подходит для дальнейшего решения.

Выполним обратную замену для подходящего корня $y_2 = \frac{1}{4}$:

$x^2 = \frac{1}{4}$.

Из этого уравнения находим два действительных корня исходного уравнения:

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}$

Нам необходимо найти модуль разности этих корней:

$|x_1 - x_2| = |\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})| = |\frac{1}{2} + \frac{1}{2}| = |1| = 1$.

Ответ: 1.

б) Решим биквадратное уравнение $4x^4 - 35x^2 - 9 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$4y^2 - 35y - 9 = 0$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 1225 + 144 = 1369$.

Найдем корни для $y$. Заметим, что $\sqrt{1369} = 37$.

$y_1 = \frac{-(-35) - 37}{2 \cdot 4} = \frac{35 - 37}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.

$y_2 = \frac{-(-35) + 37}{2 \cdot 4} = \frac{35 + 37}{8} = \frac{72}{8} = 9$.

Корень $y_1 = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для корня $y_2 = 9$:

$x^2 = 9$.

Находим корни исходного уравнения:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Теперь найдем модуль разности этих корней:

$|x_1 - x_2| = |3 - (-3)| = |3 + 3| = |6| = 6$.

Ответ: 6.

221 Решите систему уравнений:

а) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x + y = 11, \\ 3x - y = 9.\end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны ($1$ и $-1$). Сложим левые и правые части уравнений:
$(2x + y) + (3x - y) = 11 + 9$
$5x = 20$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{20}{5}$
$x = 4$
Подставим найденное значение $x=4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$2(4) + y = 11$
$8 + y = 11$
$y = 11 - 8$
$y = 3$
Проверка: подставим $x=4$ и $y=3$ во второе уравнение: $3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$. Равенство верное.
Ответ: (4; 3)

б) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 7, \\ x - 3y = -5.\end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ одинаковы. Вычтем из первого уравнения второе:
$(x + y) - (x - 3y) = 7 - (-5)$
$x + y - x + 3y = 7 + 5$
$4y = 12$
Найдем $y$:
$y = \frac{12}{4}$
$y = 3$
Подставим найденное значение $y=3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$x + 3 = 7$
$x = 7 - 3$
$x = 4$
Проверка: подставим $x=4$ и $y=3$ во второе уравнение: $4 - 3(3) = 4 - 9 = -5$. Равенство верное.
Ответ: (4; 3)

в) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x - 3y = 4, \\ -x + y = -8.\end{cases}$
Используем метод сложения, так как коэффициенты при переменной $x$ противоположны ($1$ и $-1$). Сложим уравнения:
$(x - 3y) + (-x + y) = 4 + (-8)$
$x - 3y - x + y = -4$
$-2y = -4$
Найдем $y$:
$y = \frac{-4}{-2}$
$y = 2$
Подставим найденное значение $y=2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$x - 3(2) = 4$
$x - 6 = 4$
$x = 4 + 6$
$x = 10$
Проверка: подставим $x=10$ и $y=2$ во второе уравнение: $-10 + 2 = -8$. Равенство верное.
Ответ: (10; 2)

г) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = -10, \\ 5x + y = 6.\end{cases}$
Используем метод вычитания, так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Вычтем из второго уравнения первое:
$(5x + y) - (x + y) = 6 - (-10)$
$5x + y - x - y = 6 + 10$
$4x = 16$
Найдем $x$:
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Подставим найденное значение $x=4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$4 + y = -10$
$y = -10 - 4$
$y = -14$
Проверка: подставим $x=4$ и $y=-14$ во второе уравнение: $5(4) + (-14) = 20 - 14 = 6$. Равенство верное.
Ответ: (4; -14)

222 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 2x - y = 9, \\ x + 2y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 15x + 4y = -3 \\ 5x + 2y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 7x + 4y = 18, \\ 5x + y = 24; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x - 16y = 7, \\ 3x + 8y = 13. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x - y = 9 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$
Для решения используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = 2x - 9$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x + 2(2x - 9) = 1$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$x + 4x - 18 = 1$
$5x = 19$
$x = \frac{19}{5} = 3.8$
Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 2x - 9$:
$y = 2 \cdot \frac{19}{5} - 9 = \frac{38}{5} - \frac{45}{5} = -\frac{7}{5} = -1.4$
Проверка:
$2(\frac{19}{5}) - (-\frac{7}{5}) = \frac{38}{5} + \frac{7}{5} = \frac{45}{5} = 9$ (верно).
$\frac{19}{5} + 2(-\frac{7}{5}) = \frac{19}{5} - \frac{14}{5} = \frac{5}{5} = 1$ (верно).
Ответ: $(\frac{19}{5}; -\frac{7}{5})$ или $(3.8; -1.4)$.

б) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 15x + 4y = -3 \\ 5x + 2y = 1 \end{cases}$
Используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$(5x + 2y) \cdot (-2) = 1 \cdot (-2)$
$-10x - 4y = -2$
Теперь сложим почленно первое уравнение системы и полученное новое уравнение:
$(15x + 4y) + (-10x - 4y) = -3 + (-2)$
$5x = -5$
$x = -1$
Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$5(-1) + 2y = 1$
$-5 + 2y = 1$
$2y = 6$
$y = 3$
Проверка:
$15(-1) + 4(3) = -15 + 12 = -3$ (верно).
$5(-1) + 2(3) = -5 + 6 = 1$ (верно).
Ответ: $(-1; 3)$.

в) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 7x + 4y = 18 \\ 5x + y = 24 \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из второго уравнения легко выразить $y$:
$y = 24 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$7x + 4(24 - 5x) = 18$
Раскроем скобки:
$7x + 96 - 20x = 18$
Приведем подобные слагаемые:
$-13x = 18 - 96$
$-13x = -78$
$x = \frac{-78}{-13} = 6$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 24 - 5x$:
$y = 24 - 5(6) = 24 - 30 = -6$
Проверка:
$7(6) + 4(-6) = 42 - 24 = 18$ (верно).
$5(6) + (-6) = 30 - 6 = 24$ (верно).
Ответ: $(6; -6)$.

г) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5x - 16y = 7 \\ 3x + 8y = 13 \end{cases}$
Используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$(3x + 8y) \cdot 2 = 13 \cdot 2$
$6x + 16y = 26$
Сложим почленно первое уравнение системы и полученное новое уравнение:
$(5x - 16y) + (6x + 16y) = 7 + 26$
$11x = 33$
$x = 3$
Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$3(3) + 8y = 13$
$9 + 8y = 13$
$8y = 4$
$y = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Проверка:
$5(3) - 16(\frac{1}{2}) = 15 - 8 = 7$ (верно).
$3(3) + 8(\frac{1}{2}) = 9 + 4 = 13$ (верно).
Ответ: $(3; \frac{1}{2})$.

223 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases}5x + 2y = 26, \\4x - 3y = 7;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2x + 3y = 16, \\3x - 7y = 1;\end{cases}$

В) $\begin{cases}8x - 3y = 1, \\-6x + 5y = 2;\end{cases}$

Г) $\begin{cases}4x - 5y = -2, \\3x + 2y = -13.\end{cases}$

а)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 5x + 2y = 26 \\ 4x - 3y = 7 \end{cases} $
Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} (5x + 2y) \cdot 3 = 26 \cdot 3 \\ (4x - 3y) \cdot 2 = 7 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x + 6y = 78 \\ 8x - 6y = 14 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:
$ (15x + 6y) + (8x - 6y) = 78 + 14 $
$ 23x = 92 $
$ x = \frac{92}{23} $
$ x = 4 $
Подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$ 5(4) + 2y = 26 $
$ 20 + 2y = 26 $
$ 2y = 26 - 20 $
$ 2y = 6 $
$ y = \frac{6}{2} $
$ y = 3 $
Выполним проверку, подставив найденные значения во второе уравнение: $4(4) - 3(3) = 16 - 9 = 7$. Равенство верное.
Ответ: $x = 4, y = 3$.

б)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ 3x - 7y = 1 \end{cases} $
Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} (2x + 3y) \cdot 3 = 16 \cdot 3 \\ (3x - 7y) \cdot (-2) = 1 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 9y = 48 \\ -6x + 14y = -2 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:
$ (6x + 9y) + (-6x + 14y) = 48 - 2 $
$ 23y = 46 $
$ y = \frac{46}{23} $
$ y = 2 $
Подставим найденное значение $y = 2$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$ 2x + 3(2) = 16 $
$ 2x + 6 = 16 $
$ 2x = 16 - 6 $
$ 2x = 10 $
$ x = \frac{10}{2} $
$ x = 5 $
Выполним проверку, подставив найденные значения во второе уравнение: $3(5) - 7(2) = 15 - 14 = 1$. Равенство верное.
Ответ: $x = 5, y = 2$.

в)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 8x - 3y = 1 \\ -6x + 5y = 2 \end{cases} $
Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} (8x - 3y) \cdot 3 = 1 \cdot 3 \\ (-6x + 5y) \cdot 4 = 2 \cdot 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 24x - 9y = 3 \\ -24x + 20y = 8 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:
$ (24x - 9y) + (-24x + 20y) = 3 + 8 $
$ 11y = 11 $
$ y = 1 $
Подставим найденное значение $y = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$ 8x - 3(1) = 1 $
$ 8x - 3 = 1 $
$ 8x = 1 + 3 $
$ 8x = 4 $
$ x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
Выполним проверку, подставив найденные значения во второе уравнение: $-6(\frac{1}{2}) + 5(1) = -3 + 5 = 2$. Равенство верное.
Ответ: $x = \frac{1}{2}, y = 1$.

г)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 4x - 5y = -2 \\ 3x + 2y = -13 \end{cases} $
Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} (4x - 5y) \cdot 2 = -2 \cdot 2 \\ (3x + 2y) \cdot 5 = -13 \cdot 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x - 10y = -4 \\ 15x + 10y = -65 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:
$ (8x - 10y) + (15x + 10y) = -4 - 65 $
$ 23x = -69 $
$ x = \frac{-69}{23} $
$ x = -3 $
Подставим найденное значение $x = -3$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$ 3(-3) + 2y = -13 $
$ -9 + 2y = -13 $
$ 2y = -13 + 9 $
$ 2y = -4 $
$ y = \frac{-4}{2} $
$ y = -2 $
Выполним проверку, подставив найденные значения в первое уравнение: $4(-3) - 5(-2) = -12 + 10 = -2$. Равенство верное.
Ответ: $x = -3, y = -2$.