Страница 183, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

205 Укажите уравнение, которое не имеет действительных корней.

1) $-4x^2 + 7x - 1 = 0;$

2) $-4x^2 + 3x - 1 = 0;$

3) $-4x^2 - 4x - 1 = 0;$

4) $-4x^2 + 6x + 1 = 0.$

Для того чтобы определить, имеет ли квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ действительные корни, необходимо найти его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Проверим каждое из предложенных уравнений:

1) $-4x^2 + 7x - 1 = 0$

Здесь коэффициенты $a = -4$, $b = 7$, $c = -1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1) = 49 - 16 = 33$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

2) $-4x^2 + 3x - 1 = 0$

Здесь коэффициенты $a = -4$, $b = 3$, $c = -1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1) = 9 - 16 = -7$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

3) $-4x^2 - 4x - 1 = 0$

Здесь коэффициенты $a = -4$, $b = -4$, $c = -1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1) = 16 - 16 = 0$

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.

4) $-4x^2 + 6x + 1 = 0$

Здесь коэффициенты $a = -4$, $b = 6$, $c = 1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 1 = 36 + 16 = 52$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Таким образом, единственное уравнение, которое не имеет действительных корней, это уравнение под номером 2.

Ответ: 2

206 Найдите наибольший корень уравнения.

a) $12x^2 - 17x - 14 = 0;$

б) $-30x^2 + 67x - 35 = 0.$

а) $12x^2 - 17x - 14 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=12$, $b=-17$, $c=-14$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-14) = 289 + 672 = 961$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-(-17) + 31}{2 \cdot 12} = \frac{17 + 31}{24} = \frac{48}{24} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-17) - 31}{2 \cdot 12} = \frac{17 - 31}{24} = \frac{-14}{24} = -\frac{7}{12}$.

Сравниваем полученные корни: $2$ и $-\frac{7}{12}$. Очевидно, что $2 > -\frac{7}{12}$.

Следовательно, наибольший корень уравнения равен 2.

Ответ: 2.

б) $-30x^2 + 67x - 35 = 0$

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$30x^2 - 67x + 35 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=30$, $b=-67$, $c=35$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-67)^2 - 4 \cdot 30 \cdot 35 = 4489 - 4200 = 289$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-(-67) + 17}{2 \cdot 30} = \frac{67 + 17}{60} = \frac{84}{60} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}$.

$x_2 = \frac{-(-67) - 17}{2 \cdot 30} = \frac{67 - 17}{60} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$.

Сравним полученные корни: $\frac{7}{5}$ и $\frac{5}{6}$. Для этого приведем их к общему знаменателю 30:

$\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{42}{30}$

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$

Так как $\frac{42}{30} > \frac{25}{30}$, то $\frac{7}{5} > \frac{5}{6}$.

Следовательно, наибольший корень уравнения равен $\frac{7}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$.

207 Найдите наименьший корень уравнения.

а) $20x^2 + 31x + 12 = 0;$

б) $-24x^2 + 38x - 15 = 0.$

а) $20x^2 + 31x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=20$, $b=31$, $c=12$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

1. Вычислим дискриминант:

$D = 31^2 - 4 \cdot 20 \cdot 12 = 961 - 960 = 1$

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

$x_1 = \frac{-31 + 1}{2 \cdot 20} = \frac{-30}{40} = -\frac{3}{4} = -0,75$

$x_2 = \frac{-31 - 1}{2 \cdot 20} = \frac{-32}{40} = -\frac{4}{5} = -0,8$

3. Сравним полученные корни, чтобы найти наименьший:

$-0,8 < -0,75$

Следовательно, наименьший корень уравнения равен $-0,8$.

Ответ: $-0,8$.

б) $-24x^2 + 38x - 15 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Знаки всех членов уравнения изменятся на противоположные:

$24x^2 - 38x + 15 = 0$

Теперь это квадратное уравнение с коэффициентами $a=24$, $b=-38$, $c=15$.

1. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-38)^2 - 4 \cdot 24 \cdot 15 = 1444 - 1440 = 4$

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$

$x_1 = \frac{-(-38) + 2}{2 \cdot 24} = \frac{38 + 2}{48} = \frac{40}{48} = \frac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \frac{5}{6}$

$x_2 = \frac{-(-38) - 2}{2 \cdot 24} = \frac{38 - 2}{48} = \frac{36}{48} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{3}{4}$

3. Сравним полученные корни, чтобы найти наименьший. Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$

Так как $\frac{9}{12} < \frac{10}{12}$, то $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.

Следовательно, наименьший корень уравнения равен $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

208 Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения

$6x^2 + 13x + 6 = 0$.

1) $(-2,5; -1);$

2) $[-0,8; 0];$

3) $(0,5; 2);$

4) $[-1,5; -0,5].$

Для того чтобы указать промежуток, которому принадлежат корни уравнения, необходимо сначала найти эти корни.

Дано квадратное уравнение: $6x^2 + 13x + 6 = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=6, b=13, c=6$.

Сначала вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-13 - 5}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

$x_2 = \frac{-13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-13 + 5}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.

Итак, корни уравнения: $-1,5$ и $-\frac{2}{3}$ (что примерно равно $-0,67$). Теперь проанализируем предложенные промежутки, чтобы определить, какому из них принадлежат оба корня.

1) $(-2,5; -1)$
Корень $-1,5$ принадлежит этому промежутку (так как $-2,5 < -1,5 < -1$), но корень $-\frac{2}{3}$ не принадлежит (так как $-\frac{2}{3} \approx -0,67 > -1$). Вариант не подходит.

2) $[-0,8; 0]$
Корень $-\frac{2}{3}$ принадлежит этому промежутку (так как $-0,8 \le -\frac{2}{3} \le 0$), но корень $-1,5$ не принадлежит (так как $-1,5 < -0,8$). Вариант не подходит.

3) $(0,5; 2)$
Оба корня являются отрицательными числами, поэтому они не могут принадлежать данному промежутку положительных чисел. Вариант не подходит.

4) $[-1,5; -0,5]$
Проверим оба корня:
Для корня $-1,5$: неравенство $-1,5 \le -1,5 \le -0,5$ выполняется.
Для корня $-\frac{2}{3}$: неравенство $-1,5 \le -\frac{2}{3} \le -0,5$ (или $-1,5 \le -0,66... \le -0,5$) также выполняется.
Оба корня принадлежат этому промежутку. Этот вариант является верным.

Ответ: 4

209 Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения

$-25x^2 + 5x + 2 = 0$

1) $(-1; 0)$;

2) $[0; 1]$;

3) $[-0,4; 0,2]$;

4) $(-0,4; 0,6)$.

Для решения задачи необходимо найти корни квадратного уравнения и проверить, какому из предложенных промежутков они принадлежат.

Исходное уравнение:

$-25x^2 + 5x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a = -25$, $b = 5$, $c = 2$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-25) \cdot 2 = 25 - (-100) \cdot 2 = 25 + 200 = 225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Теперь вычислим корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + 15}{2 \cdot (-25)} = \frac{10}{-50} = -\frac{1}{5} = -0,2$

$x_2 = \frac{-5 - 15}{2 \cdot (-25)} = \frac{-20}{-50} = \frac{2}{5} = 0,4$

Итак, корни уравнения: $-0,2$ и $0,4$.

Теперь проверим принадлежность этих корней каждому из предложенных промежутков:

1) $(-1; 0)$. В этот промежуток входит корень $-0,2$, но не входит корень $0,4$, так как $0,4 > 0$. Следовательно, промежуток не подходит.

2) $[0; 1]$. В этот промежуток входит корень $0,4$, но не входит корень $-0,2$, так как $-0,2 < 0$. Следовательно, промежуток не подходит.

3) $[-0,4; 0,2]$. В этот промежуток входит корень $-0,2$ (так как $-0,4 \le -0,2 \le 0,2$), но не входит корень $0,4$, так как $0,4 > 0,2$. Следовательно, промежуток не подходит.

4) $(-0,4; 0,6)$. Проверим оба корня:
- Для корня $-0,2$: неравенство $-0,4 < -0,2 < 0,6$ верно.
- Для корня $0,4$: неравенство $-0,4 < 0,4 < 0,6$ верно.
Оба корня принадлежат этому промежутку.

Ответ: 4) $(-0,4; 0,6)$.

210 Решите уравнение:

а) $\sqrt{5x - 3} = 2;$

б) $\sqrt{x^2 - 24} = 5;$

в) $\sqrt{4 - 3x} = 5;$

г) $\sqrt{x^2 - 20} = 4.$

а) $\sqrt{5x - 3} = 2$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо возвести обе части в квадрат. Это действие является равносильным преобразованием, так как правая часть уравнения ($2$) — неотрицательное число. Однако необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным.

1. Определим ОДЗ:
$5x - 3 \ge 0$
$5x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{5}$

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5x - 3})^2 = 2^2$
$5x - 3 = 4$

3. Решим полученное линейное уравнение:
$5x = 4 + 3$
$5x = 7$
$x = \frac{7}{5}$ или $x = 1.4$

4. Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ:
$1.4 \ge \frac{3}{5}$ (т.е. $1.4 \ge 0.6$). Неравенство верное, значит, корень является решением уравнения.

Ответ: $1.4$

б) $\sqrt{x^2 - 24} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($5$) неотрицательна. Предварительно найдем ОДЗ.

1. Определим ОДЗ:
$x^2 - 24 \ge 0$
$x^2 \ge 24$
Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; -\sqrt{24}] \cup [\sqrt{24}; +\infty)$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x^2 - 24})^2 = 5^2$
$x^2 - 24 = 25$

3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 25 + 24$
$x^2 = 49$
$x = \pm\sqrt{49}$
$x_1 = 7$, $x_2 = -7$

4. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ:
$\sqrt{24} \approx 4.9$.
Корень $x_1=7$ удовлетворяет условию $7 \ge \sqrt{24}$, так как $49 > 24$.
Корень $x_2=-7$ удовлетворяет условию $-7 \le -\sqrt{24}$, так как $49 > 24$.
Оба корня подходят.

Ответ: $-7; 7$

в) $\sqrt{4 - 3x} = 5$

Решаем по аналогии с предыдущими примерами.

1. Определим ОДЗ:
$4 - 3x \ge 0$
$4 \ge 3x$
$\frac{4}{3} \ge x$ или $x \le \frac{4}{3}$

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4 - 3x})^2 = 5^2$
$4 - 3x = 25$

3. Решим полученное линейное уравнение:
$-3x = 25 - 4$
$-3x = 21$
$x = \frac{21}{-3}$
$x = -7$

4. Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ:
$-7 \le \frac{4}{3}$. Неравенство верное, корень подходит.

Ответ: $-7$

г) $\sqrt{x^2 - 20} = 4$

Решаем по тому же алгоритму.

1. Определим ОДЗ:
$x^2 - 20 \ge 0$
$x^2 \ge 20$
Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; -\sqrt{20}] \cup [\sqrt{20}; +\infty)$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x^2 - 20})^2 = 4^2$
$x^2 - 20 = 16$

3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 16 + 20$
$x^2 = 36$
$x = \pm\sqrt{36}$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

4. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ:
$\sqrt{20} \approx 4.47$.
Корень $x_1=6$ удовлетворяет условию $6 \ge \sqrt{20}$, так как $36 > 20$.
Корень $x_2=-6$ удовлетворяет условию $-6 \le -\sqrt{20}$, так как $36 > 20$.
Оба корня подходят.

Ответ: $-6; 6$

211 Решите уравнение:

а) $\frac{5}{x^2} + \frac{3}{x} = 2;$

б) $\frac{6}{x^2} - \frac{1}{x} = 5.$

а) $\frac{5}{x^2} + \frac{3}{x} = 2$

Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x определяется условием, что знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $x^2 \neq 0$ и $x \neq 0$, что в совокупности дает $x \neq 0$.

Чтобы решить уравнение, избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель, который равен $x^2$. Так как мы уже установили, что $x \neq 0$, это преобразование является равносильным.

$x^2 \cdot \left(\frac{5}{x^2} + \frac{3}{x}\right) = 2 \cdot x^2$

$5 + 3x = 2x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 3x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Оба найденных корня ($2,5$ и $-1$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-1; 2,5$.

б) $\frac{6}{x^2} - \frac{1}{x} = 5$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения также $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x^2$:

$x^2 \cdot \left(\frac{6}{x^2} - \frac{1}{x}\right) = 5 \cdot x^2$

$6 - x = 5x^2$

Запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 + x - 6 = 0$

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 11}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 - 11}{10} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} = -1,2$

Оба корня ($1$ и $-1,2$) не равны нулю, значит, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1,2; 1$.

212 Решите уравнение:

а) $ \frac{y^2 - 25}{6y - 30} = 0; $

б) $ \frac{y^2 - 16}{-3y - 12} = 0. $

а)

Дано уравнение: $\frac{y^2 - 25}{6y - 30} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} y^2 - 25 = 0 \\ 6y - 30 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:
$y^2 - 25 = 0$
Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$(y - 5)(y + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:
$y_1 = 5$
$y_2 = -5$

Теперь решим неравенство из системы (найдем область допустимых значений - ОДЗ):
$6y - 30 \neq 0$
$6y \neq 30$
$y \neq \frac{30}{6}$
$y \neq 5$

Сравниваем корни, полученные из числителя, с ОДЗ. Корень $y = 5$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, этот корень является посторонним.

Единственным решением уравнения является $y = -5$.

Ответ: $-5$

б)

Дано уравнение: $\frac{y^2 - 16}{-3y - 12} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} y^2 - 16 = 0 \\ -3y - 12 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:
$y^2 - 16 = 0$
Используем формулу разности квадратов:
$(y - 4)(y + 4) = 0$
Возможные корни:
$y_1 = 4$
$y_2 = -4$

Теперь решим неравенство из системы (найдем ОДЗ):
$-3y - 12 \neq 0$
$-3y \neq 12$
$y \neq \frac{12}{-3}$
$y \neq -4$

Сравниваем полученные корни с ОДЗ. Корень $y = -4$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель равен нулю. Этот корень является посторонним.

Таким образом, единственное решение уравнения — это $y = 4$.

Ответ: $4$

213 Решите уравнение:

а) $\frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 8} = 0;$

б) $\frac{x^2 + 6x + 8}{5x + 10} = 0.$

а) $\frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 8} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 7x + 12 = 0 \\ 2x - 8 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Таким образом, потенциальные решения - это $x=3$ и $x=4$.

2. Проверим условие $2x - 8 \neq 0$.

$2x \neq 8$

$x \neq 4$

3. Сопоставим корни, полученные в первом шаге, с ограничением из второго шага.

Корень $x = 3$ удовлетворяет условию $x \neq 4$.

Корень $x = 4$ не удовлетворяет условию $x \neq 4$, поэтому он является посторонним.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3

б) $\frac{x^2 + 6x + 8}{5x + 10} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 6x + 8 = 0 \\ 5x + 10 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим квадратное уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $8$.

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбором находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

$x_1 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Потенциальные решения: $x=-4$ и $x=-2$.

2. Проверим условие $5x + 10 \neq 0$.

$5x \neq -10$

$x \neq -2$

3. Сравним найденные корни с ограничением.

Корень $x = -4$ удовлетворяет условию $x \neq -2$.

Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$, значит, это посторонний корень.

Таким образом, единственное решение уравнения - это $x=-4$.

Ответ: -4

214 Решите уравнение:

а) $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4} = 0;$

б) $\frac{x^2 + 5x + 4}{x^2 - 1} = 0.$

а)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4} = 0 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение $ x^2 + x - 6 = 0 $.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.

Используем дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $.

Корни уравнения:$ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 $.

$ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 $.

2. Теперь проверим второе условие (область допустимых значений, ОДЗ): $ x^2 - 4 \neq 0 $.

Используя формулу разности квадратов, получаем: $ (x - 2)(x + 2) \neq 0 $.

Отсюда следует, что $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

3. Соотнесем корни, полученные в шаге 1, с ОДЗ.

Корень $ x_1 = -3 $ удовлетворяет условию $ x \neq \pm 2 $, следовательно, является решением исходного уравнения.

Корень $ x_2 = 2 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 2 $. При $ x=2 $ знаменатель обращается в ноль, поэтому это посторонний корень.

Ответ: $ -3 $.

б)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 5x + 4}{x^2 - 1} = 0 $.

Уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$ \begin{cases} x^2 + 5x + 4 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим квадратное уравнение из числителя: $ x^2 + 5x + 4 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $.

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = -4 $.

$ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = -1 $.

2. Проверим ОДЗ, исходя из условия $ x^2 - 1 \neq 0 $.

Разложим знаменатель на множители: $ (x - 1)(x + 1) \neq 0 $.

Следовательно, $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

3. Сопоставим найденные корни с ОДЗ.

Корень $ x_1 = -4 $ удовлетворяет условиям $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $, значит, это корень исходного уравнения.

Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет условию $ x \neq -1 $, так как при этом значении знаменатель равен нулю. Это посторонний корень.

Ответ: $ -4 $.