Страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

382 а) Между числами 7 и 448 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

б) Между числами $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{192}$ вставьте отрицательное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

а) Обозначим искомые три последовательных члена геометрической прогрессии как $b_1$, $b_2$ и $b_3$. По условию задачи, нам даны первый и третий члены: $b_1 = 7$ и $b_3 = 448$. Требуется найти средний член $b_2$, который должен быть положительным числом.

Для любых трех последовательных членов геометрической прогрессии выполняется свойство: квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов. Это свойство среднего геометрического.

Формула выглядит так: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим в формулу известные значения:

$b_2^2 = 7 \cdot 448$

$b_2^2 = 3136$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $b_2$:

$b_2 = \pm\sqrt{3136}$

$b_2 = \pm 56$

По условию задачи, вставляемое число должно быть положительным, поэтому мы выбираем значение $b_2 = 56$.

Проверим, образуют ли числа 7, 56 и 448 геометрическую прогрессию. Для этого найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{56}{7} = 8$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{448}{56} = 8$

Так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно и равно 8, то последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: 56

б) Обозначим члены геометрической прогрессии как $b_1$, $b_2$ и $b_3$. По условию, $b_1 = \frac{1}{12}$ и $b_3 = \frac{1}{192}$. Требуется найти средний член $b_2$, который должен быть отрицательным числом.

Воспользуемся свойством среднего геометрического для членов прогрессии: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим заданные значения:

$b_2^2 = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{192} = \frac{1}{12 \cdot 192} = \frac{1}{2304}$

Найдем возможные значения для $b_2$, извлекая квадратный корень:

$b_2 = \pm\sqrt{\frac{1}{2304}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2304}} = \pm\frac{1}{48}$

Согласно условию, вставляемое число должно быть отрицательным, поэтому мы выбираем значение $b_2 = -\frac{1}{48}$.

Проверим получившуюся последовательность: $\frac{1}{12}$, $-\frac{1}{48}$, $\frac{1}{192}$. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/48}{1/12} = -\frac{1}{48} \cdot \frac{12}{1} = -\frac{12}{48} = -\frac{1}{4}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/192}{-1/48} = -\frac{1}{192} \cdot \frac{48}{1} = -\frac{48}{192} = -\frac{1}{4}$

Знаменатель прогрессии постоянен, следовательно, полученная последовательность является геометрической.

Ответ: $-\frac{1}{48}$

383. а) Найдите значение $p$, при котором числа $p - 3$, $\sqrt{4p}$, $p + 2$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

б) Найдите значение $p$, при котором числа $p - 5$, $\sqrt{7p}$, $p + 4$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

а)

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.
В данном случае, $b_1 = p - 3$, $b_2 = \sqrt{4p}$ и $b_3 = p + 2$.
Составим уравнение, исходя из свойства прогрессии:
$(\sqrt{4p})^2 = (p - 3)(p + 2)$

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $p$. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, получаем:
$4p \ge 0$, откуда $p \ge 0$.

Теперь решим составленное уравнение:
$4p = p^2 + 2p - 3p - 6$
$4p = p^2 - p - 6$
$p^2 - p - 4p - 6 = 0$
$p^2 - 5p - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета:
Сумма корней: $p_1 + p_2 = 5$
Произведение корней: $p_1 \cdot p_2 = -6$
Подбором находим корни: $p_1 = 6$ и $p_2 = -1$.

Сравним полученные корни с ОДЗ ($p \ge 0$).
Корень $p_1 = 6$ удовлетворяет этому условию.
Корень $p_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, единственное подходящее значение — это $p = 6$.

Ответ: $p = 6$.

б)

Аналогично пункту а), используем характеристическое свойство геометрической прогрессии для чисел $b_1 = p - 5$, $b_2 = \sqrt{7p}$ и $b_3 = p + 4$.
Запишем равенство:
$(\sqrt{7p})^2 = (p - 5)(p + 4)$

Определим область допустимых значений для $p$. Из условия неотрицательности подкоренного выражения имеем:
$7p \ge 0$, откуда $p \ge 0$.

Решаем уравнение:
$7p = p^2 + 4p - 5p - 20$
$7p = p^2 - p - 20$
$p^2 - p - 7p - 20 = 0$
$p^2 - 8p - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней: $p_1 + p_2 = 8$
Произведение корней: $p_1 \cdot p_2 = -20$
Отсюда находим корни: $p_1 = 10$ и $p_2 = -2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($p \ge 0$).
Корень $p_1 = 10$ удовлетворяет условию $p \ge 0$.
Корень $p_2 = -2$ не удовлетворяет условию $p \ge 0$, поэтому является посторонним.

Следовательно, подходит только значение $p = 10$.

Ответ: $p = 10$.

384 После рекламной кампании спрос на товар увеличился в 4 раза. На сколько процентов увеличился спрос на товар?

1) 400%;

2) 25%;

3) 300%;

4) 75%.

Пусть первоначальный спрос на товар равен $x$. Эту величину мы принимаем за 100%.

Согласно условию задачи, после рекламной кампании спрос увеличился в 4 раза. Следовательно, новый спрос стал равен $4x$.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличился спрос, нужно вычислить разницу между новым и старым спросом, а затем найти, какой процент эта разница составляет от первоначального спроса.

1. Найдём абсолютное увеличение спроса. Это разница между новым и первоначальным значением:
$4x - x = 3x$.

2. Теперь определим, сколько процентов составляет полученное увеличение ($3x$) от первоначального спроса ($x$). Для этого можно составить пропорцию или использовать формулу процентного изменения:
Процентное увеличение $= \frac{\text{величина увеличения}}{\text{первоначальное значение}} \times 100\%$.
Подставим наши значения в формулу:
Процентное увеличение $= \frac{3x}{x} \times 100\% = 3 \times 100\% = 300\%$.

Таким образом, спрос на товар увеличился на 300%. Среди предложенных вариантов 1) 400%; 2) 25%; 3) 300%; 4) 75% правильным является вариант 3.

Ответ: 300%.

385 Во время сезонной распродажи цена на товар уменьшилась в 4 раза.

На сколько процентов уменьшилась цена на товар?

1) $400\%$; 2) $25\%$; 3) $300\%$; 4) $75\%$.

Пусть первоначальная цена товара составляет $P$. Эту цену мы принимаем за 100%.

Из условия задачи известно, что цена уменьшилась в 4 раза. Это означает, что новая цена товара стала равна $\frac{P}{4}$.

Чтобы определить, на сколько процентов уменьшилась цена, сначала найдем, сколько процентов от первоначальной цены составляет новая цена. Если $P$ — это 100%, то новая цена в процентах будет:

$\frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$

Это означает, что новая цена составляет 25% от первоначальной.

Теперь можно найти, на сколько именно процентов уменьшилась цена. Для этого нужно вычесть из первоначальной процентной величины (100%) процентное значение новой цены:

$100\% - 25\% = 75\%$

Следовательно, цена на товар уменьшилась на 75%.

Ответ: 4) 75%

386. В связи с инфляцией цена на товар возросла на 150%. Во сколько раз возросла цена на товар?

1) В 1,5 раза;

2) в 2,5 раза;

3) в 2 раза;

4) в 150 раз.

Примем первоначальную цену товара за 100%.

По условию задачи, цена возросла на 150%. Это означает, что к первоначальной цене (100%) прибавилось еще 150% от нее.

Найдем, какой стала новая цена в процентах от первоначальной:

$100\% + 150\% = 250\%$

Теперь, чтобы узнать, во сколько раз возросла цена, нужно перевести полученные проценты в число. Для этого разделим значение в процентах на 100:

$\frac{250}{100} = 2.5$

Таким образом, новая цена составляет 2,5 от первоначальной, то есть цена возросла в 2,5 раза.

Альтернативное решение с использованием переменных:

Пусть $P_0$ — первоначальная цена товара.

Увеличение цены на 150% означает, что цена увеличилась на величину $P_0 \times \frac{150}{100} = 1.5 \times P_0$.

Новая цена $P_1$ равна сумме старой цены и величины ее увеличения:

$P_1 = P_0 + 1.5 \times P_0 = P_0 \times (1 + 1.5) = 2.5 \times P_0$

Чтобы найти, во сколько раз возросла цена, разделим новую цену $P_1$ на старую $P_0$:

$\frac{P_1}{P_0} = \frac{2.5 \times P_0}{P_0} = 2.5$

Цена возросла в 2,5 раза.

Ответ: 2) в 2,5 раза

387 Цена на товар была сначала снижена на $10\%$, а затем ещё на $20\%$.

На сколько процентов была снижена цена товара по сравнению с первоначальной?

1) $30\%$;2) $72\%$;3) $18\%$;4) $70\%$.

Для решения задачи давайте проследим изменение цены товара шаг за шагом. Пусть первоначальная цена товара составляет $P$.

Шаг 1: Первое снижение цены

Сначала цена была снижена на 10%. Чтобы найти новую цену, нужно вычесть 10% от первоначальной цены. Новая цена составит $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной.

Математически это можно записать так:

$P_1 = P \times (1 - \frac{10}{100}) = P \times 0.9 = 0.9P$

После первого снижения цена товара стала равна $0.9P$.

Шаг 2: Второе снижение цены

Затем цена была снижена ещё на 20%. Это снижение рассчитывается от новой, уже уменьшенной цены ($P_1$), а не от первоначальной. Конечная цена составит $100\% - 20\% = 80\%$ от цены $P_1$.

Вычислим конечную цену $P_2$:

$P_2 = P_1 \times (1 - \frac{20}{100}) = P_1 \times 0.8$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $P_1$ из первого шага:

$P_2 = (0.9P) \times 0.8 = 0.72P$

Таким образом, конечная цена товара составляет 0.72 от первоначальной цены, то есть 72%.

Шаг 3: Расчет общего снижения цены в процентах

Вопрос задачи — на сколько процентов была снижена цена по сравнению с первоначальной. Для этого нужно найти разницу между начальной ценой (100%) и конечной ценой (72%).

Общее снижение = $100\% - 72\% = 28\%$

Это же можно увидеть, рассчитав абсолютное снижение:

Снижение = $P - P_2 = P - 0.72P = 0.28P$

Это означает, что цена снизилась на 0.28 от своей первоначальной величины, что соответствует 28%.

Анализ предложенных вариантов ответа

Математически верный ответ — 28%. Этот вариант отсутствует среди предложенных, что указывает на возможную ошибку в условии задачи или в вариантах ответов. Предложенные варианты могли быть получены следующим образом:

• 1) 30% — результат неверного простого сложения процентов ($10\% + 20\%$).
• 2) 72% — это конечная цена в процентах от первоначальной, а не размер скидки.
• 3) 18% — это размер второй скидки в процентах от первоначальной цены ($20\%$ от $90\%$ это $0.2 \times 0.9 = 0.18$ или $18\%$), но не общая скидка.
• 4) 70% — это конечная цена, если бы скидка была 30%.

Ответ: Цена товара была снижена на 28% по сравнению с первоначальной.

388 Цену товара сначала повысили на 50%, а затем понизили на 20%.

Во сколько раз изменилась цена товара?

1) В 0,2 раза; 2) В 0,3 раза; 3) В 1,2 раза; 4) в $\frac{5}{6}$ раза.

Пусть первоначальная цена товара составляет $x$ условных единиц.

Первое изменение — повышение цены на 50%. Чтобы найти новую цену, нужно первоначальную цену умножить на коэффициент, соответствующий увеличению на 50%. Этот коэффициент равен $1 + \frac{50}{100} = 1 + 0,5 = 1,5$.
Цена после повышения ($Ц_1$) составит:
$Ц_1 = x \cdot 1,5 = 1,5x$

Второе изменение — понижение новой цены на 20%. Это означает, что теперь мы уменьшаем цену $Ц_1$ на 20%. Коэффициент, соответствующий уменьшению на 20%, равен $1 - \frac{20}{100} = 1 - 0,2 = 0,8$.
Итоговая цена ($Ц_2$) будет равна:
$Ц_2 = Ц_1 \cdot 0,8 = (1,5x) \cdot 0,8 = 1,2x$

Чтобы определить, во сколько раз изменилась цена товара, необходимо найти отношение итоговой цены ($Ц_2$) к первоначальной цене ($x$):
$\frac{Ц_2}{x} = \frac{1,2x}{x} = 1,2$

Таким образом, цена товара изменилась в 1,2 раза (увеличилась). Это соответствует варианту ответа №3.

Ответ: в 1,2 раза.