Страница 207, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

404 Мяч, подброшенный от земли вертикально вверх, через 3 с оказался на высоте 6 м. Найдите начальную скорость $v_0$ (м/с) мяча, если высоту $h$ можно вычислить по формуле $h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$, где $t$ — время (с), $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела.

Для нахождения начальной скорости $v_0$ мяча воспользуемся формулой для высоты, которая дана в условии задачи:

$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Согласно условию, нам известны следующие величины:

• высота $h = 6$ м;
• время $t = 3$ с;
• ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Подставим эти значения в формулу, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $v_0$:

$6 = v_0 \cdot 3 - \frac{10 \cdot 3^2}{2}$

Теперь решим это уравнение. Сначала вычислим значение второго слагаемого в правой части:

$\frac{10 \cdot 3^2}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$6 = 3v_0 - 45$

Чтобы найти $3v_0$, перенесём 45 в левую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$3v_0 = 6 + 45$

$3v_0 = 51$

Теперь найдём $v_0$, разделив обе части уравнения на 3:

$v_0 = \frac{51}{3}$

$v_0 = 17$

Таким образом, начальная скорость мяча составляет 17 м/с.

Ответ: 17 м/с.

405 Мяч, подброшенный от земли вертикально вверх, оказался на высоте 12 м через 4 с. Найдите начальную скорость $v_0$ (м/с) мяча, если высоту $h$ (м) можно вычислить по формуле $h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$, где

$t$ — время (с), $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для вычисления высоты $h$ тела, подброшенного вертикально вверх:$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Согласно условию, нам известны следующие величины:

• высота $h = 12$ м;
• время $t = 4$ с;
• ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Нам нужно найти начальную скорость $v_0$.

Подставим известные значения в формулу:$12 = v_0 \cdot 4 - \frac{10 \cdot 4^2}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_0$. Сначала выполним вычисления в правой части уравнения:$12 = 4v_0 - \frac{10 \cdot 16}{2}$

$12 = 4v_0 - \frac{160}{2}$

$12 = 4v_0 - 80$

Теперь выразим член $4v_0$. Для этого перенесем число $-80$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:$12 + 80 = 4v_0$

$92 = 4v_0$

Чтобы найти $v_0$, разделим обе части уравнения на 4:$v_0 = \frac{92}{4}$

$v_0 = 23$

Таким образом, начальная скорость мяча равна 23 м/с.

Ответ: 23 м/с.

406 Мяч, подброшенный от земли вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 17 \text{ м/с}$, через несколько секунд оказался на высоте $h = 6 \text{ м}$. Через сколько секунд мяч оказался на указанной высоте, если $h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$, где $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела, $t$ — время (с)?

Для определения времени, через которое мяч окажется на заданной высоте, воспользуемся формулой, приведенной в условии задачи:

$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

В эту формулу необходимо подставить известные нам значения:

• начальная скорость $v_0 = 17$ м/с;
• высота $h = 6$ м;
• ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Подставив значения, получим уравнение относительно времени $t$:

$6 = 17t - \frac{10t^2}{2}$

Упростим правую часть уравнения:

$6 = 17t - 5t^2$

Для решения перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 - 17t + 6 = 0$

Теперь решим это уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 - 120 = 169$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{17 + 13}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$t_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{17 - 13}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

Мы получили два положительных значения времени. Это физически объяснимо: мяч достигает высоты 6 метров дважды. Первый раз — при движении вверх (через 0.4 с), а второй раз — при движении вниз после достижения максимальной высоты (через 3 с).

Ответ: мяч оказался на указанной высоте через 0.4 секунды и через 3 секунды.

407 Мяч, подброшенный от земли вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 14 \text{ м/с}$, через несколько секунд оказался на высоте $h = 8 \text{ м}$. Через сколько секунд мяч оказался на указанной высоте, если $h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$, где $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела, $t$ — время (с)?

Для нахождения времени, через которое мяч окажется на заданной высоте, воспользуемся формулой, приведенной в условии задачи:$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

В условии даны все необходимые значения:

• высота $h = 8$ м;
• начальная скорость $v_0 = 14$ м/с;
• ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Подставим эти значения в формулу и получим уравнение относительно времени $t$:

$8 = 14 \cdot t - \frac{10 \cdot t^2}{2}$

Упростим это уравнение:

$8 = 14t - 5t^2$

Мы получили квадратное уравнение. Для его решения перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 - 14t + 8 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=5$, $b=-14$, $c=8$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 196 - 160 = 36$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 6}{10} = \frac{20}{10} = 2$ (с)

$t_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 6}{10} = \frac{8}{10} = 0,8$ (с)

Оба корня являются положительными, что физически возможно. Это означает, что мяч окажется на высоте 8 метров дважды: первый раз через 0,8 секунды после броска (во время подъема) и второй раз через 2 секунды (во время падения).

Ответ: через 0,8 с и через 2 с.

408 Камень, упавший с высоты 12 м с начальной скоростью 6 м/с, за 0,8 с преодолел расстояние s (м). На каком расстоянии (в метрах) от земли оказался камень, если $s = v_0t + \frac{gt^2}{2}$, где $t$ — время (с), $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела?

Для решения этой задачи нужно выполнить два шага. Сначала мы найдем расстояние s, которое камень пролетел вниз за 0,8 секунды, а затем вычтем это расстояние из начальной высоты, чтобы определить, на каком расстоянии от земли он оказался.

1. Вычисление пройденного расстояния (s).

Воспользуемся формулой, данной в условии задачи:
$s = v_0t + \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения:
начальная скорость $v_0 = 6$ м/с,
время полета $t = 0,8$ с,
ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

$s = 6 \cdot 0,8 + \frac{10 \cdot (0,8)^2}{2}$
$s = 4,8 + \frac{10 \cdot 0,64}{2}$
$s = 4,8 + \frac{6,4}{2}$
$s = 4,8 + 3,2$
$s = 8$ м.

Итак, за 0,8 секунды камень пролетел 8 метров.

2. Определение расстояния от земли.

Камень начал падать с высоты $H = 12$ м. Чтобы найти его текущую высоту h над землей, нужно из начальной высоты вычесть пройденный им путь s.
$h = H - s$
$h = 12 - 8 = 4$ м.

Таким образом, через 0,8 секунды камень оказался на расстоянии 4 метров от земли.

Ответ: 4

409 Камень, упавший с высоты 10 м с начальной скоростью 8 м/с, за 0,6 с преодолел расстояние s (м). На каком расстоянии (в метрах) от земли оказался камень, если $s = v_0t + \frac{gt^2}{2}$, где $t$ — время (с), $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела?

Для того чтобы определить, на каком расстоянии от земли оказался камень, необходимо сначала вычислить расстояние $s$, которое он пролетел вниз за указанное время. Это расстояние вычисляется по формуле, данной в условии задачи: $s = v_0t + \frac{gt^2}{2}$

Подставим в формулу известные значения:

• начальная скорость $v_0 = 8$ м/с
• время $t = 0,6$ с
• ускорение свободного падения $g = 10$ м/с²

Произведем вычисления:
$s = 8 \cdot 0,6 + \frac{10 \cdot (0,6)^2}{2}$
$s = 4,8 + \frac{10 \cdot 0,36}{2}$
$s = 4,8 + \frac{3,6}{2}$
$s = 4,8 + 1,8 = 6,6$ м.

Таким образом, за 0,6 секунды камень пролетел 6,6 метра.

На каком расстоянии (в метрах) от земли оказался камень?
Изначальная высота, с которой падал камень, составляла $H = 10$ м. Чтобы найти его текущее расстояние от земли $h$, нужно из начальной высоты вычесть расстояние, которое он пролетел:
$h = H - s$
$h = 10 - 6,6 = 3,4$ м.

Ответ: 3,4 м.

410 Камень, упавший с высоты 30 м с начальной скоростью 5 м/с, через несколько секунд достиг земли. Сколько секунд камень находился в воздухе, если расстояние s (м), которое пролетает тело при свободном падении, вычисляется по формуле $s = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$, где t — время (с), g = 10 м/с² — ускорение свободного падения тела?

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления расстояния при свободном падении, данной в условии: $s = v_0t + \frac{gt^2}{2}$.

По условию задачи нам известны: расстояние (высота) $s = 30$ м, начальная скорость $v_0 = 5$ м/с, и ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Требуется найти время $t$.

Подставим эти значения в формулу:

$30 = 5 \cdot t + \frac{10 \cdot t^2}{2}$

Выполним упрощение:

$30 = 5t + 5t^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 + 5t - 30 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить его:

$t^2 + t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=-6$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни уравнения по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку время ($t$) не может быть отрицательным, корень $t_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, время полета камня равно 2 секундам.

Ответ: 2 секунды.