Страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

398 Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, можно вычислить по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Выразите длину стороны через радиус.

а) $a = \frac{R}{\sqrt{3}}$;б) $a = R\sqrt{3}$;в) $a = \frac{\sqrt{3}}{R}$;г) $a = \frac{1}{R\sqrt{3}}$.

В задаче дана формула, связывающая радиус $R$ окружности, описанной вокруг правильного треугольника, и длину его стороны $a$:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Требуется выразить длину стороны $a$ через радиус $R$. Для этого необходимо выполнить алгебраические преобразования, чтобы изолировать переменную $a$ в одной из частей уравнения.

1. Возьмем исходное уравнение:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

2. Чтобы выразить $a$, нам нужно избавиться от знаменателя $\sqrt{3}$. Для этого умножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$R \cdot \sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}$

3. В правой части уравнения множитель $\sqrt{3}$ и делитель $\sqrt{3}$ сокращаются, оставляя только $a$:

$R\sqrt{3} = a$

4. Для удобства записи поменяем местами левую и правую части уравнения:

$a = R\sqrt{3}$

Полученная формула соответствует варианту ответа б).

Ответ: б) $a = R\sqrt{3}$

399 Радиус окружности, описанной вокруг правильного четырёхугольника, можно вычислить по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Выразите длину стороны через радиус.

а) $a = R\sqrt{2}$;

б) $a = \frac{R}{\sqrt{2}};

в) $a = \frac{1}{R\sqrt{2}};

г) $a = \frac{\sqrt{2}}{R}$.

В задаче дана формула, связывающая радиус $R$ окружности, описанной вокруг правильного четырёхугольника (квадрата), и длину его стороны $a$:

$R = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Чтобы выразить длину стороны $a$ через радиус $R$, необходимо преобразовать это уравнение так, чтобы $a$ оказалось в одной части уравнения, а все остальные переменные и константы — в другой.

Для этого умножим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$R \cdot \sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}$

В правой части уравнения множители $\sqrt{2}$ в числителе и в знаменателе сокращаются, и мы получаем:

$R\sqrt{2} = a$

Для удобства записи поменяем местами левую и правую части уравнения:

$a = R\sqrt{2}$

Сравнив полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту a).

Ответ: а) $a = R\sqrt{2}$

400 Радиус окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами $a, b, c$, можно вычислить по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника. Выразите площадь треугольника через радиус и длину сторон.

а) $S = \frac{abcR}{4}$;

б) $S = \frac{4R}{abc}$;

в) $S = \frac{abc}{4R}$;

г) $S = \frac{abc}{4} - R$.

Нам дана формула для вычисления радиуса $R$ окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами $a, b, c$:

$R = \frac{abc}{4S}$

Здесь $S$ — это площадь треугольника. Наша задача — выразить площадь $S$ через радиус $R$ и длины сторон $a, b, c$.

Для этого выполним следующие алгебраические преобразования исходного уравнения.

1. Умножим обе части уравнения на $4S$, чтобы переместить $S$ из знаменателя в числитель.

$R \cdot 4S = \frac{abc}{4S} \cdot 4S$

В результате получаем:

$4RS = abc$

2. Теперь, чтобы выделить $S$, разделим обе части полученного равенства на $4R$.

$\frac{4RS}{4R} = \frac{abc}{4R}$

После сокращения получаем итоговую формулу для площади $S$:

$S = \frac{abc}{4R}$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа:

а) $S = \frac{abcR}{4}$ — неверно.

б) $S = \frac{4R}{abc}$ — неверно.

в) $S = \frac{abc}{4R}$ — верно.

г) $S = \frac{abc}{4} - R$ — неверно.

Ответ: в) $S = \frac{abc}{4R}$

401 Площадь трапеции можно вычислить по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h,$

где $S$ — площадь, $h$ — высота, $a$ и $b$ — стороны. Выразите из этой формулы высоту $h$.

а) $h = \frac{a+b}{2S}$

б) $h = \frac{2S}{a+b}$

в) $h = \frac{S}{a+b}$

г) $h = \frac{S}{2(a+b)}$

Чтобы выразить высоту $h$ из формулы площади трапеции $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований для того, чтобы изолировать переменную $h$ в одной части уравнения.

Шаг 1: Избавимся от знаменателя 2 в правой части. Для этого умножим обе части уравнения на 2.

$S \cdot 2 = \left(\frac{a + b}{2} \cdot h\right) \cdot 2$

$2S = (a + b) \cdot h$

Шаг 2: Выделим $h$ как неизвестный множитель. Для этого разделим обе части получившегося уравнения на выражение $(a + b)$. Поскольку $a$ и $b$ — это длины оснований трапеции, их сумма $a+b$ не равна нулю, и это действие корректно.

$\frac{2S}{a + b} = \frac{(a + b) \cdot h}{a + b}$

$h = \frac{2S}{a + b}$

Таким образом, мы выразили высоту $h$ через площадь $S$ и основания $a$ и $b$. Сравнивая полученную формулу с предложенными вариантами, видим, что она соответствует варианту под буквой б).

Ответ: б) $h = \frac{2S}{a + b}$

402 Мяч, подброшенный от земли вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 18 \text{ м/с}$, через 3 с оказался на высоте $h$ (м), где $h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$. На какой высоте был мяч, если $t$ — время (с), $g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения тела?

Для решения этой задачи необходимо найти высоту h, на которую поднялся мяч за время t. В условии предоставлена формула для расчета этой высоты, а также все необходимые для этого значения.

Формула для нахождения высоты:

$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Известные нам из условия величины:

• начальная скорость мяча $v_0 = 18$ м/с;
• время полета $t = 3$ с;
• ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Теперь подставим данные значения в формулу и выполним вычисления по шагам:

1. Рассчитаем первую часть выражения $v_0t$:

$18 \cdot 3 = 54$ (м)

2. Рассчитаем вторую часть выражения $\frac{gt^2}{2}$:

$\frac{10 \cdot 3^2}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$ (м)

3. Вычтем из первого результата второй, чтобы найти итоговую высоту h:

$h = 54 - 45 = 9$ (м)

Следовательно, через 3 секунды после броска мяч оказался на высоте 9 метров.

Ответ: 9 м.

403 Мяч, подброшенный от земли вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 24 \text{ м/с}$, через 4 с оказался на высоте $h \text{ (м)}$, где $h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$. На какой высоте был мяч, если $t \text{ — время (с)}$, $g = 10 \text{ м/с}^2 \text{ — ускорение свободного падения тела?}$

Для определения высоты $h$, на которой оказался мяч, воспользуемся формулой, данной в условии задачи:

$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

В условии задачи нам предоставлены все необходимые для расчета величины:

• начальная скорость $v_0 = 24$ м/с
• время в полете $t = 4$ с
• ускорение свободного падения $g = 10$ м/с²

Теперь подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:

$h = 24 \cdot 4 - \frac{10 \cdot 4^2}{2}$

Сначала вычислим произведение начальной скорости на время и возведем время в квадрат:

$h = 96 - \frac{10 \cdot 16}{2}$

Затем выполним умножение в числителе дроби:

$h = 96 - \frac{160}{2}$

Выполним деление:

$h = 96 - 80$

И, наконец, найдем разность, чтобы получить итоговую высоту:

$h = 16$ м

Ответ: через 4 секунды мяч был на высоте 16 м.