Страница 213, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

427 a) Найдите вероятность того, что при одновременном подбрасывании двух симметричных монет выпадут орёл и решка.

б) Найдите вероятность того, что при одновременном подбрасывании двух симметричных монет выпадут два орла.

а) Найдите вероятность того, что при одновременном подбрасывании двух симметричных монет выпадут орёл и решка.

Для решения задачи определим все возможные исходы при подбрасывании двух монет. Обозначим орла буквой «О», а решку — буквой «Р». Поскольку монеты симметричные, все исходы являются равновероятными. Всего существует четыре возможных исхода:

1. Первая монета — орёл, вторая монета — орёл (ОО)
2. Первая монета — орёл, вторая монета — решка (ОР)
3. Первая монета — решка, вторая монета — орёл (РО)
4. Первая монета — решка, вторая монета — решка (РР)

Таким образом, общее число элементарных исходов равно $n = 4$.

Событие, вероятность которого нужно найти, — это выпадение одного орла и одной решки. Этому событию благоприятствуют два исхода: (ОР) и (РО). Таким образом, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

Подставляем значения: $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: $0.5$

б) Найдите вероятность того, что при одновременном подбрасывании двух симметричных монет выпадут два орла.

Используем тот же подход. Общее число всех возможных равновероятных исходов при подбрасывании двух монет равно $n = 4$: (ОО), (ОР), (РО), (РР).

Событие, которое нас интересует, — это выпадение двух орлов. Этому событию благоприятствует только один исход: (ОО). Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность данного события находим по той же формуле: $P = \frac{m}{n}$.

Подставляем значения: $P = \frac{1}{4} = 0.25$.

Ответ: $0.25$

428 a) В школьных соревнованиях участвуют 5 спортсменов из 9 «А», 7 спортсменов из 9 «Б» и 8 спортсменов из 9 «В». Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что участник соревнований из 9 «А» будет выступать последним.

б) В школьных соревнованиях участвуют 14 спортсменов из 9 «А», 15 спортсменов из 9 «Б» и 11 спортсменов из 9 «В». Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что участник соревнований из 9 «Б» будет выступать вторым.

а) Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $M$ к общему числу равновозможных исходов $N$: $P = \frac{M}{N}$.

Сначала найдем общее число участников соревнований, что будет соответствовать общему числу равновозможных исходов $N$. В соревнованиях участвуют:

• 5 спортсменов из 9 «А»
• 7 спортсменов из 9 «Б»
• 8 спортсменов из 9 «В»

Общее число участников: $N = 5 + 7 + 8 = 20$ человек.

Поскольку порядок выступления определяется жеребьёвкой, каждый из 20 спортсменов имеет равные шансы выступить на любом по счету месте, включая последнее.

Теперь найдем число благоприятных исходов $M$. Благоприятный исход — это событие, при котором последним выступает спортсмен из 9 «А». Число спортсменов из 9 «А» равно 5. Следовательно, число благоприятных исходов $M = 5$.

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что участник из 9 «А» будет выступать последним: $P = \frac{M}{N} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу вероятности $P = \frac{M}{N}$.

Найдем общее число участников соревнований ($N$). В соревнованиях участвуют:

• 14 спортсменов из 9 «А»
• 15 спортсменов из 9 «Б»
• 11 спортсменов из 9 «В»

Общее число участников: $N = 14 + 15 + 11 = 40$ человек.

По условию, порядок выступления определяется жеребьёвкой. Это означает, что любой из 40 спортсменов может с равной вероятностью оказаться на любом месте, в том числе и на втором.

Благоприятным исходом ($M$) является выступление спортсмена из 9 «Б» на втором месте. Число спортсменов из 9 «Б» равно 15. Значит, число благоприятных исходов $M = 15$.

Найдем искомую вероятность: $P = \frac{M}{N} = \frac{15}{40} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{3}{8} = 0,375$

Ответ: 0,375.

429 а) В 9 «А» классе 25 учащихся. На уроке алгебры для работы над заданием класс случайным образом разбили на 5 равных групп. Найдите вероятность того, что подруги Маша и Даша окажутся в одной группе.

б) В 9 «Б» классе 30 учащихся. На уроке геометрии для работы над заданием класс случайным образом разбили на 6 равных групп. Найдите вероятность того, что друзья Денис и Руслан окажутся в одной группе.

а)

Всего в 9 «А» классе 25 учащихся. Класс делят на 5 равных групп. Сначала определим количество человек в каждой группе:

$25 \text{ учащихся} / 5 \text{ групп} = 5$ учащихся в каждой группе.

Для нахождения вероятности того, что Маша и Даша окажутся в одной группе, рассмотрим ситуацию с точки зрения одного из персонажей, например, Маши.

Допустим, Маша уже заняла одно место в какой-то из групп. В этой группе, состоящей из 5 человек, осталось $5 - 1 = 4$ свободных места.

Теперь нам нужно определить, какова вероятность того, что Даша займет одно из этих 4 оставшихся мест. Всего в классе, не считая Машу, осталось $25 - 1 = 24$ ученика. Эти 24 ученика, включая Дашу, случайным образом распределяются по оставшимся 24 местам.

Таким образом, для Даши есть 24 возможных места, и из них 4 места являются "благоприятными" (т.е. находятся в той же группе, что и Маша).

Вероятность события ($P$) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

$P = \frac{\text{количество мест в группе Маши}}{\text{общее количество оставшихся мест}} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

б)

Всего в 9 «Б» классе 30 учащихся. Класс делят на 6 равных групп. Определим количество человек в каждой группе:

$30 \text{ учащихся} / 6 \text{ групп} = 5$ учащихся в каждой группе.

Будем рассуждать аналогично предыдущей задаче. Рассмотрим одного из друзей, например, Дениса.

Предположим, Денис уже попал в одну из групп. В его группе, рассчитанной на 5 человек, осталось $5 - 1 = 4$ свободных места.

Теперь найдем вероятность того, что Руслан попадет в одно из этих 4 мест. Всего в классе, кроме Дениса, осталось $30 - 1 = 29$ учеников, которые случайным образом занимают оставшиеся 29 мест.

Для Руслана существует 29 возможных мест, из которых 4 являются "благоприятными" (в одной группе с Денисом).

Вероятность этого события ($P$) равна:

$P = \frac{\text{количество мест в группе Дениса}}{\text{общее количество оставшихся мест}} = \frac{4}{29}$

Ответ: $\frac{4}{29}$