Страница 212, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

421 На диаграмме представлено количество абонентов, ответивших по телефону на вопросы социологической службы в течение 4-х дней. На сколько меньше абонентов приняло участие в социологическом обследовании в будние дни по сравнению с выходными днями?

Данные диаграммы:

Пятница: 1050

Суббота: 1200

Воскресенье: 900

Понедельник: 600

Для решения задачи необходимо сначала определить количество абонентов, принявших участие в опросе в каждый из четырех дней, а затем сравнить суммарное количество участников в будние и выходные дни.

1. Определение количества абонентов по дням.
Проанализируем шкалу на вертикальной оси диаграммы. Основные деления отмечены через каждые 300 единиц (300, 600, 900, 1200). Между основными делениями есть по две промежуточные черты, которые делят интервал в 300 единиц на 3 равные части. Таким образом, цена одного малого деления составляет $300 / 3 = 100$ абонентов.
Теперь определим значение для каждого столбца:

• Пятница: Верхняя граница столбца находится на второй отметке выше 900. Следовательно, количество абонентов составляет $900 + 2 \times 100 = 1100$.
• Суббота: Столбец выше отметки 1200 и, судя по всему, находится ровно посередине между 1200 и следующей воображаемой отметкой 1300. Значит, количество абонентов равно $1250$.
• Воскресенье: Столбец точно достигает отметки $900$.
• Понедельник: Столбец точно достигает отметки $600$.

2. Расчет общего числа участников в будние и выходные дни.
К будним дням относятся пятница и понедельник. К выходным — суббота и воскресенье.
Суммарное количество абонентов, принявших участие в опросе в будние дни:
$1100 \text{ (Пятница)} + 600 \text{ (Понедельник)} = 1700$ абонентов.
Суммарное количество абонентов, принявших участие в опросе в выходные дни:
$1250 \text{ (Суббота)} + 900 \text{ (Воскресенье)} = 2150$ абонентов.

3. Нахождение разницы.
Чтобы найти, на сколько меньше абонентов участвовало в опросе в будние дни по сравнению с выходными, вычтем из количества участников в выходные дни количество участников в будние дни:
$2150 - 1700 = 450$ абонентов.

Ответ: на 450.

422 a) Наташа выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 12.

б) Денис выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 19.

а) Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P(A) = m/n$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию A.

Сначала найдем общее число всех двузначных чисел ($n$). Двузначными являются целые числа от 10 до 99 включительно. Их общее количество можно вычислить как разность между последним и первым с добавлением единицы: $n = 99 - 10 + 1 = 90$.

Далее найдем количество благоприятных исходов ($m$) – это количество двузначных чисел, которые делятся на 12 без остатка. Выпишем все такие числа (кратные 12):

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.

Следующее число, кратное 12, это 108, которое уже является трехзначным. Таким образом, у нас есть 8 благоприятных исходов: $m = 8$.

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = m/n = 8/90$

Сократим полученную дробь на 2:

$P = 4/45$

Ответ: $4/45$

б) Общее число двузначных чисел ($n$) такое же, как и в предыдущем пункте, и составляет 90.

Теперь найдем количество благоприятных исходов ($m$) для этого случая – количество двузначных чисел, которые делятся на 19. Выпишем все такие числа (кратные 19):

19, 38, 57, 76, 95.

Следующее число, кратное 19, это 114, которое уже является трехзначным. Следовательно, у нас есть 5 благоприятных исходов: $m = 5$.

Вычислим вероятность:

$P = m/n = 5/90$

Сократим полученную дробь на 5:

$P = 1/18$

Ответ: $1/18$

423 а) Из 50 каналов телевидения показывают только 35. Какова вероятность того, что переключив случайным образом телевизор, вы попадёте на работающий канал?

б) Из 128 каналов телевидения показывают только 96. Какова вероятность того, что переключив случайным образом телевизор, вы попадёте на неработающий канал?

а) Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов. В данной задаче событие — это попадание на работающий канал.

Формула для расчета вероятности $P$ выглядит так:

$P = \frac{m}{n}$

где $m$ — число благоприятных исходов (работающие каналы), а $n$ — общее число исходов (все каналы).

По условию задачи:

Общее число каналов $n = 50$.

Число работающих каналов (благоприятные исходы) $m = 35$.

Подставим эти значения в формулу:

$P = \frac{35}{50}$

Для удобства сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5:

$\frac{35}{50} = \frac{35 \div 5}{50 \div 5} = \frac{7}{10}$

Теперь преобразуем полученную дробь в десятичный вид:

$\frac{7}{10} = 0,7$

Таким образом, вероятность попасть на работающий канал равна 0,7.

Ответ: 0,7.

б) В этой задаче требуется найти вероятность попадания на неработающий канал. Сначала необходимо определить количество неработающих каналов.

Общее число каналов $n = 128$.

Число работающих каналов равно 96.

Число неработающих каналов найдем, вычтя из общего числа каналов число работающих:

Число неработающих каналов $m = 128 - 96 = 32$.

Теперь мы можем рассчитать вероятность попадания на неработающий канал. Здесь благоприятным исходом является выбор неработающего канала. Используем ту же формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n}$

где $m$ — число неработающих каналов, а $n$ — общее число каналов.

Подставим значения:

$P = \frac{32}{128}$

Сократим эту дробь. Заметим, что 128 делится на 32 без остатка ($128 = 32 \times 4$):

$\frac{32}{128} = \frac{1}{4}$

Преобразуем дробь в десятичный вид:

$\frac{1}{4} = 0,25$

Следовательно, вероятность попасть на неработающий канал составляет 0,25.

Ответ: 0,25.

424 a) На полке стоят 4 банки вишнёвого варенья, 7 банок — клубничного и 9 банок — малинового. Какова вероятность того, что достав не глядя одну из банок, вы возьмёте клубничное варенье?

б) На блюде лежат 10 яблок, 7 нектаринов и 8 персиков. Какова вероятность того, что взяв не глядя один из этих фруктов, вы возьмёте персик?

а) Для нахождения вероятности события используется классическая формула: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — это общее число всех возможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих данному событию.

1. Сначала определим общее число банок варенья на полке. Это и будет общее число исходов ($n$).
$n = 4 (\text{вишнёвое}) + 7 (\text{клубничное}) + 9 (\text{малиновое}) = 20$ банок.

2. Далее определим число благоприятствующих исходов ($m$). В данном случае это количество банок с клубничным вареньем.
$m = 7$.

3. Теперь рассчитаем вероятность того, что, достав наугад одну банку, мы возьмём именно клубничное варенье.
$P(\text{клубничное варенье}) = \frac{m}{n} = \frac{7}{20}$.

Ответ: Вероятность того, что вы возьмёте клубничное варенье, равна $\frac{7}{20}$.

б) Решение этой задачи аналогично предыдущей и также основано на формуле вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$.

1. Найдем общее количество фруктов на блюде ($n$).
$n = 10 (\text{яблок}) + 7 (\text{нектаринов}) + 8 (\text{персиков}) = 25$ фруктов.

2. Определим число благоприятствующих исходов ($m$) — количество персиков.
$m = 8$.

3. Рассчитаем вероятность того, что взятый наугад фрукт окажется персиком.
$P(\text{персик}) = \frac{m}{n} = \frac{8}{25}$.

Ответ: Вероятность того, что вы возьмёте персик, равна $\frac{8}{25}$.

425 a) Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5?

б) Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4?

а) При подбрасывании двух игральных кубиков каждый кубик может выпасть одной из шести граней (от 1 до 6). Общее число всех возможных исходов равно произведению числа исходов для каждого кубика. Таким образом, общее число равновозможных исходов $N$ составляет:
$N = 6 \times 6 = 36$.
Нас интересует событие, при котором сумма выпавших очков равна 5. Перечислим все комбинации, которые дают в сумме 5 (первое число – очки на первом кубике, второе – на втором):
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).
Всего таких комбинаций 4. Это число благоприятных исходов, $m = 4$.
Вероятность $P$ события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Общее число равновозможных исходов при броске двух кубиков, как и в предыдущем пункте, равно $N = 36$.
Нас интересует событие, при котором сумма выпавших очков равна 4. Перечислим все комбинации, которые удовлетворяют этому условию:
(1, 3), (2, 2), (3, 1).
Всего таких комбинаций 3. Это число благоприятных исходов, $m = 3$.
Вероятность $P$ данного события равна:
$P = \frac{m}{N} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$

426 a) Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика дважды сумма выпавших очков не будет превосходить число 7.

б) Определите вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков сумма очков будет превосходить число 8.

а)

При бросании одного игрального кубика дважды общее число всех возможных равновероятных исходов равно $N = 6 \times 6 = 36$. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(x, y)$, где $x$ — результат первого броска, а $y$ — результат второго.

Событие, вероятность которого нужно найти, заключается в том, что сумма выпавших очков не будет превосходить 7, то есть $x + y \leq 7$. Найдем количество благоприятных исходов ($m$), перечислив все подходящие пары:

• Если при первом броске выпало 1 ($x=1$), то для второго броска подходят значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 (сумма будет от 2 до 7). Это 6 исходов.
• Если при первом броске выпало 2 ($x=2$), то для второго броска подходят 1, 2, 3, 4, 5 (сумма будет от 3 до 7). Это 5 исходов.
• Если при первом броске выпало 3 ($x=3$), то для второго броска подходят 1, 2, 3, 4 (сумма будет от 4 до 7). Это 4 исхода.
• Если при первом броске выпало 4 ($x=4$), то для второго броска подходят 1, 2, 3 (сумма будет от 5 до 7). Это 3 исхода.
• Если при первом броске выпало 5 ($x=5$), то для второго броска подходят 1, 2 (сумма будет 6 или 7). Это 2 исхода.
• Если при первом броске выпало 6 ($x=6$), то для второго броска подходит только 1 (сумма будет 7). Это 1 исход.

Суммарное количество благоприятных исходов: $m = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$.

Вероятность данного события вычисляется по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{N} = \frac{21}{36}$

Сокращаем полученную дробь на 3: $P = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$

б)

При бросании двух игральных кубиков общее число равновероятных исходов также составляет $N = 6 \times 6 = 36$.

Нас интересует событие, при котором сумма очков будет превосходить 8, то есть $x + y > 8$. Это означает, что сумма может быть равна 9, 10, 11 или 12. Перечислим все благоприятные исходы:

• Сумма равна 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) — 4 исхода.
• Сумма равна 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) — 3 исхода.
• Сумма равна 11: (5, 6), (6, 5) — 2 исхода.
• Сумма равна 12: (6, 6) — 1 исход.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов для каждого случая: $m = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Вероятность этого события равна: $P = \frac{m}{N} = \frac{10}{36}$

Сокращаем дробь на 2: $P = \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18}$