Страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.8 Если к числителю и знаменателю обыкновенной дроби прибавить по 1, то дробь станет равна $\frac{1}{2}$, а если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 146. Найдите исходную дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — это числитель, а $y$ — знаменатель ($x, y \in \mathbb{Z}$, $y \ne 0$).

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие гласит, что если к числителю и знаменателю прибавить 1, то дробь станет равна $\frac{1}{2}$. Запишем это в виде уравнения:
$\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2}$

Второе условие гласит, что сумма квадратов числителя и знаменателя исходной дроби равна 146. Запишем это в виде второго уравнения:
$x^2 + y^2 = 146$

Теперь у нас есть система уравнений:
$\begin{cases} \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2} \\ x^2 + y^2 = 146 \end{cases}$

Начнем с преобразования первого уравнения, чтобы выразить одну переменную через другую. Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$2(x + 1) = 1(y + 1)$
$2x + 2 = y + 1$
Выразим $y$:
$y = 2x + 1$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$x^2 + (2x + 1)^2 = 146$

Раскроем скобки и решим получившееся квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 + (4x^2 + 4x + 1) = 146$
$5x^2 + 4x + 1 - 146 = 0$
$5x^2 + 4x - 145 = 0$

Для решения этого уравнения используем формулу корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-145) = 16 + 2900 = 2916$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2916} = 54$.

Теперь найдем возможные значения для $x$:
$x_1 = \frac{-4 + 54}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$
$x_2 = \frac{-4 - 54}{2 \cdot 5} = \frac{-58}{10} = -5.8$

Поскольку числитель обыкновенной дроби должен быть целым числом, нам подходит только корень $x = 5$.

Найдем соответствующее значение знаменателя $y$, подставив $x = 5$ в выражение $y = 2x + 1$:
$y = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$

Следовательно, исходная дробь равна $\frac{5}{11}$.

Проверим найденное решение:
1. $\frac{5 + 1}{11 + 1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Первое условие выполняется.
2. $5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$. Второе условие выполняется.

Ответ: $\frac{5}{11}$

7.9 Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 28 см. Составим первое уравнение:
$2(a + b) = 28$
$a + b = 14$

Диагональ прямоугольника $d$, его стороны $a$ и $b$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$, так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами-катетами $a$ и $b$. Согласно условию, диагональ равна 10 см. Составим второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 10^2$
$a^2 + b^2 = 100$

Мы получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 14 - a$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$a^2 + 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2 = 100$
$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:
$a^2 - 14a + 48 = 0$

Решим это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $a$ с противоположным знаком, то есть 14, а их произведение равно свободному члену, то есть 48. Подбором находим корни:
$a_1 = 6$
$a_2 = 8$

Теперь найдем вторую сторону $b$ для каждого из корней:
Если $a = 6$ см, то $b = 14 - 6 = 8$ см.
Если $a = 8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

7.10 Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, а его гипотенуза равна 41 м. Найдите площадь треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

Согласно условию задачи, у нас есть система из двух уравнений:
1. Сумма катетов: $a + b = 49$
2. Теорема Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$): $a^2 + b^2 = 41^2$

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2}ab$

Чтобы найти площадь, нам нужно найти произведение катетов $ab$. Для этого возведем в квадрат обе части первого уравнения:
$(a + b)^2 = 49^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$a^2 + 2ab + b^2 = 2401$

Мы знаем из второго уравнения (теоремы Пифагора), что $a^2 + b^2 = 41^2 = 1681$. Подставим это значение в раскрытое уравнение:
$(a^2 + b^2) + 2ab = 2401$
$1681 + 2ab = 2401$

Теперь найдем значение $2ab$:
$2ab = 2401 - 1681$
$2ab = 720$

Теперь мы можем легко найти произведение катетов $ab$:
$ab = \frac{720}{2} = 360$

Наконец, подставим значение $ab$ в формулу для площади треугольника:
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 360 = 180$

Ответ: 180 м$^2$.

7.11 Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а его гипотенуза равна 37 дм. Найдите периметр треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Согласно условию задачи, имеем:

• Разность катетов: $a - b = 23$ дм.
• Гипотенуза: $c = 37$ дм.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Для нахождения периметра нам нужно найти сумму катетов $a + b$. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая для прямоугольного треугольника имеет вид: $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известное значение гипотенузы: $a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a - b = 23 \\ a^2 + b^2 = 1369 \end{cases} $

Возведем первое уравнение в квадрат: $(a - b)^2 = 23^2$ $a^2 - 2ab + b^2 = 529$

Мы знаем, что $a^2 + b^2 = 1369$. Подставим это значение в полученное уравнение: $1369 - 2ab = 529$

Отсюда найдем значение $2ab$: $2ab = 1369 - 529$ $2ab = 840$

Теперь рассмотрим формулу квадрата суммы катетов: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Мы можем переписать ее как $(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$. Подставим известные нам значения $a^2 + b^2 = 1369$ и $2ab = 840$: $(a + b)^2 = 1369 + 840$ $(a + b)^2 = 2209$

Найдем сумму катетов $a + b$, взяв квадратный корень из 2209. Так как $a$ и $b$ — это длины сторон, их сумма должна быть положительной. $a + b = \sqrt{2209} = 47$ дм.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника: $P = (a + b) + c = 47 + 37 = 84$ дм.

Ответ: 84 дм.

7.12 Площадь прямоугольного треугольника равна 210 см$^2$, гипотенуза равна 37 см. Найдите периметр этого треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Из условия задачи известны площадь $S = 210 \text{ см}^2$ и гипотенуза $c = 37$ см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$

Подставим известное значение площади и найдем произведение катетов: $210 = \frac{1}{2} a \cdot b$ $a \cdot b = 2 \cdot 210 = 420$

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, которая связывает катеты и гипотенузу: $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известное значение гипотенузы $c = 37$: $a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$

Для нахождения периметра нам необходимо найти сумму катетов $a + b$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

У нас есть все необходимые значения: $a^2 + b^2 = 1369$ и $a \cdot b = 420$. Подставим их в формулу: $(a+b)^2 = 1369 + 2 \cdot 420$ $(a+b)^2 = 1369 + 840$ $(a+b)^2 = 2209$

Теперь найдем сумму катетов, извлекая квадратный корень из 2209. Так как $a$ и $b$ являются длинами сторон, их сумма — положительное число. $a+b = \sqrt{2209} = 47$ см.

Наконец, мы можем вычислить периметр треугольника, сложив сумму катетов и длину гипотенузы: $P = (a+b) + c = 47 + 37 = 84$ см.

Ответ: 84 см.

7.13 В первом зрительном зале 350 мест, а во втором — 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом зале?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $s_1$ — количество мест в одном ряду первого зала, а $r_1$ — количество рядов в первом зале.
Тогда общее количество мест в первом зале можно выразить формулой: $r_1 \cdot s_1 = 350$.

Пусть $s_2$ — количество мест в одном ряду второго зала, а $r_2$ — количество рядов во втором зале.
Тогда общее количество мест во втором зале: $r_2 \cdot s_2 = 480$.

Из условия задачи нам известны соотношения между параметрами залов:

• Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом: $r_2 = r_1 - 5$.
• В каждом ряду второго зала на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого: $s_2 = s_1 + 10$.

Подставим эти соотношения в уравнение для второго зала:

$(r_1 - 5)(s_1 + 10) = 480$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $r_1$ и $s_1$:

$ \begin{cases} r_1 \cdot s_1 = 350 \\ (r_1 - 5)(s_1 + 10) = 480 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $r_1$ через $s_1$: $r_1 = \frac{350}{s_1}$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{350}{s_1} - 5)(s_1 + 10) = 480$

Теперь решим это уравнение относительно $s_1$. Раскроем скобки:

$\frac{350}{s_1} \cdot s_1 + \frac{350}{s_1} \cdot 10 - 5 \cdot s_1 - 5 \cdot 10 = 480$

$350 + \frac{3500}{s_1} - 5s_1 - 50 = 480$

Приведем подобные слагаемые:

$300 + \frac{3500}{s_1} - 5s_1 = 480$

$\frac{3500}{s_1} - 5s_1 = 480 - 300$

$\frac{3500}{s_1} - 5s_1 = 180$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $s_1$ (так как количество мест $s_1$ не может быть равно нулю):

$3500 - 5s_1^2 = 180s_1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5s_1^2 + 180s_1 - 3500 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 5:

$s_1^2 + 36s_1 - 700 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 1296 + 2800 = 4096$

$\sqrt{D} = \sqrt{4096} = 64$

Теперь найдем значения $s_1$:

$s_{1,1} = \frac{-36 + 64}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$s_{1,2} = \frac{-36 - 64}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Поскольку количество мест в ряду не может быть отрицательным, единственным верным решением является $s_1 = 14$.

Таким образом, в первом зале 14 мест в каждом ряду.

Теперь найдем количество мест в ряду второго зала, зная, что их на 10 больше:

$s_2 = s_1 + 10 = 14 + 10 = 24$

Во втором зале 24 места в каждом ряду.

Ответ: в первом зале 14 мест в ряду, а во втором — 24 места в ряду.

7.14 В красном зале кинотеатра 320 мест, а в синем — 360. В красном зале на 2 ряда больше, чем в синем, но в каждом ряду на 4 места меньше, чем в каждом ряду синего зала. Сколько рядов в каждом зале кинотеатра?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $r_с$ — это количество рядов в синем зале, а $m_с$ — количество мест в каждом ряду синего зала. Аналогично, пусть $r_к$ — количество рядов в красном зале, а $m_к$ — количество мест в каждом ряду красного зала.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений:

1. Общее количество мест в красном зале: $r_к \cdot m_к = 320$.

2. Общее количество мест в синем зале: $r_с \cdot m_с = 360$.

3. В красном зале на 2 ряда больше, чем в синем: $r_к = r_с + 2$.

4. В каждом ряду красного зала на 4 места меньше, чем в синем: $m_к = m_с - 4$.

Теперь будем решать эту систему. Из второго уравнения выразим $m_с$ через $r_с$:

$m_с = \frac{360}{r_с}$

Подставим это выражение в четвертое уравнение, чтобы выразить $m_к$ через $r_с$:

$m_к = \frac{360}{r_с} - 4$

Теперь подставим выражения для $r_к$ (из третьего уравнения) и $m_к$ (полученное выше) в первое уравнение:

$(r_с + 2) \cdot (\frac{360}{r_с} - 4) = 320$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$r_с \cdot \frac{360}{r_с} - 4 \cdot r_с + 2 \cdot \frac{360}{r_с} - 2 \cdot 4 = 320$

$360 - 4r_с + \frac{720}{r_с} - 8 = 320$

Упростим уравнение:

$352 - 4r_с + \frac{720}{r_с} = 320$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$352 - 320 - 4r_с + \frac{720}{r_с} = 0$

$32 - 4r_с + \frac{720}{r_с} = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все уравнение на $r_с$ (поскольку количество рядов не может быть равно нулю, $r_с \neq 0$):

$32r_с - 4r_с^2 + 720 = 0$

Для удобства решения разделим все члены на $-4$ и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$r_с^2 - 8r_с - 180 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 64 + 720 = 784$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{784} = 28$:

$r_{с1} = \frac{-(-8) + 28}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 28}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$r_{с2} = \frac{-(-8) - 28}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 28}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Количество рядов не может быть отрицательным числом, поэтому корень $r_с = -10$ не является решением задачи. Следовательно, количество рядов в синем зале равно 18.

Теперь найдем количество рядов в красном зале, используя третье уравнение:

$r_к = r_с + 2 = 18 + 2 = 20$

Таким образом, в синем зале 18 рядов, а в красном — 20 рядов.

Ответ: в красном зале 20 рядов, в синем зале 18 рядов.

7.15 В колледже для проведения письменного экзамена по математике было заготовлено 400 листов бумаги. Но на экзаменах по предыдущим предметам отсеялось 20 человек, поэтому каждому абитуриенту смогли дать на 1 лист бумаги больше, чем предполагалось. Сколько человек сдавало экзамен по математике?

Пусть $n$ — это количество человек, которые сдавали экзамен по математике. Согласно условию, изначально планировалось, что экзамен будут сдавать на 20 человек больше, то есть $n + 20$ абитуриентов.

Всего было заготовлено 400 листов бумаги.

Изначально предполагалось выдать каждому абитуриенту по $ \frac{400}{n + 20} $ листов бумаги.

Фактически, каждый абитуриент, сдававший экзамен, получил $ \frac{400}{n} $ листов бумаги.

По условию задачи, каждый из сдавших экзамен абитуриентов получил на 1 лист бумаги больше, чем предполагалось изначально. На основании этого можно составить уравнение:

$$ \frac{400}{n} = \frac{400}{n + 20} + 1 $$

Перенесем дробь из правой части в левую:

$$ \frac{400}{n} - \frac{400}{n + 20} = 1 $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $n(n + 20)$:

$$ \frac{400(n + 20) - 400n}{n(n + 20)} = 1 $$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$$ \frac{400n + 8000 - 400n}{n^2 + 20n} = 1 $$

$$ \frac{8000}{n^2 + 20n} = 1 $$

Из этого уравнения следует, что числитель равен знаменателю (при условии, что $n \neq 0$ и $n \neq -20$):

$$ n^2 + 20n = 8000 $$

Перенесем 8000 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ n^2 + 20n - 8000 = 0 $$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$$ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400 $$

Найдем корни уравнения:

$$ n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 180}{2} = \frac{160}{2} = 80 $$

$$ n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 180}{2} = \frac{-200}{2} = -100 $$

Так как количество человек ($n$) не может быть отрицательным, корень $n_2 = -100$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, экзамен по математике сдавало 80 человек.

Ответ: 80.

7.16 Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 5 ч. Если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого, то они встретятся через 2 ч после отправления первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $v_1$ — скорость первого поезда в км/ч, а $v_2$ — скорость второго поезда в км/ч.

Из первого условия известно, что расстояние между городами составляет 700 км. Когда поезда отправляются одновременно навстречу друг другу, они встречаются через 5 часов. При движении навстречу скорости складываются, поэтому их скорость сближения равна $v_1 + v_2$. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, получаем первое уравнение:

$5 \cdot (v_1 + v_2) = 700$

Разделим обе части уравнения на 5:

$v_1 + v_2 = 140$

Из второго условия известно, что если второй поезд отправится на 7 часов раньше первого, то они встретятся через 2 часа после отправления первого поезда. Это означает, что первый поезд был в пути 2 часа, а второй поезд — $7 + 2 = 9$ часов.

За 2 часа первый поезд проехал расстояние $S_1 = 2 \cdot v_1$.

За 9 часов второй поезд проехал расстояние $S_2 = 9 \cdot v_2$.

Суммарное расстояние, которое они проехали до встречи, равно расстоянию между городами, то есть 700 км. Отсюда получаем второе уравнение:

$2v_1 + 9v_2 = 700$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 140 \\ 2v_1 + 9v_2 = 700 \end{cases}$

Для решения системы выразим $v_1$ из первого уравнения:

$v_1 = 140 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(140 - v_2) + 9v_2 = 700$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_2$:

$280 - 2v_2 + 9v_2 = 700$

$7v_2 = 700 - 280$

$7v_2 = 420$

$v_2 = \frac{420}{7}$

$v_2 = 60$

Итак, скорость второго поезда равна 60 км/ч. Теперь найдем скорость первого поезда, подставив значение $v_2$ в выражение для $v_1$:

$v_1 = 140 - 60 = 80$

Скорость первого поезда равна 80 км/ч.

Ответ: скорость первого поезда — 80 км/ч, скорость второго поезда — 60 км/ч.