Страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.17 Расстояние между двумя посёлками, равное 24 км, первый пешеход преодолел на 2 ч быстрее второго. Если скорость движения первого увеличить на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то и в этом случае весь путь первый преодолеет на 2 ч быстрее второго. Найдите первоначальные скорости пешеходов.

Решение

Пусть $v_1$ км/ч — первоначальная скорость первого пешехода, а $v_2$ км/ч — первоначальная скорость второго пешехода. Расстояние между посёлками составляет $S = 24$ км.

Время, за которое первый пешеход проходит расстояние $S$, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{24}{v_1}$ ч.
Время, за которое второй пешеход проходит расстояние $S$, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{24}{v_2}$ ч.

По условию, первый пешеход преодолел расстояние на 2 часа быстрее второго, следовательно, время второго пешехода на 2 часа больше времени первого:

$t_2 - t_1 = 2$

$\frac{24}{v_2} - \frac{24}{v_1} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = 1$ (1)

Далее, скорость первого пешехода увеличили на 2 км/ч, и она стала равной $(v_1 + 2)$ км/ч. Скорость второго пешехода увеличили на 1 км/ч, и она стала равной $(v_2 + 1)$ км/ч.

Новое время первого пешехода: $t_{1_{нов}} = \frac{24}{v_1 + 2}$ ч.
Новое время второго пешехода: $t_{2_{нов}} = \frac{24}{v_2 + 1}$ ч.

В этом случае первый пешеход также преодолел путь на 2 часа быстрее второго:

$t_{2_{нов}} - t_{1_{нов}} = 2$

$\frac{24}{v_2 + 1} - \frac{24}{v_1 + 2} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_1 + 2} = 1$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = 1 \\ \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_1 + 2} = 1 \end{cases}$

Приравняем левые части уравнений, так как их правые части равны:

$\frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_1 + 2}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$\frac{12}{v_1 + 2} - \frac{12}{v_1} = \frac{12}{v_2 + 1} - \frac{12}{v_2}$

Приведём к общему знаменателю в каждой части уравнения:

$\frac{12v_1 - 12(v_1 + 2)}{v_1(v_1 + 2)} = \frac{12v_2 - 12(v_2 + 1)}{v_2(v_2 + 1)}$

$\frac{12v_1 - 12v_1 - 24}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{12v_2 - 12v_2 - 12}{v_2^2 + v_2}$

$\frac{-24}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{-12}{v_2^2 + v_2}$

Разделим обе части на -12:

$\frac{2}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{1}{v_2^2 + v_2}$

$2(v_2^2 + v_2) = v_1^2 + 2v_1$

Теперь выразим $v_2$ через $v_1$ из уравнения (1):

$\frac{12}{v_2} = 1 + \frac{12}{v_1} = \frac{v_1 + 12}{v_1}$

$v_2 = \frac{12v_1}{v_1 + 12}$

Подставим это выражение для $v_2$ в уравнение $2(v_2^2 + v_2) = v_1^2 + 2v_1$:

$2\left(\left(\frac{12v_1}{v_1 + 12}\right)^2 + \frac{12v_1}{v_1 + 12}\right) = v_1^2 + 2v_1$

$2\left(\frac{144v_1^2}{(v_1 + 12)^2} + \frac{12v_1(v_1+12)}{(v_1 + 12)^2}\right) = v_1(v_1 + 2)$

$2\left(\frac{144v_1^2 + 12v_1^2 + 144v_1}{(v_1 + 12)^2}\right) = v_1(v_1 + 2)$

$2\left(\frac{156v_1^2 + 144v_1}{(v_1 + 12)^2}\right) = v_1(v_1 + 2)$

$2 \cdot \frac{12v_1(13v_1 + 12)}{(v_1 + 12)^2} = v_1(v_1 + 2)$

Поскольку скорость $v_1 > 0$, мы можем разделить обе части на $v_1$:

$\frac{24(13v_1 + 12)}{(v_1 + 12)^2} = v_1 + 2$

$24(13v_1 + 12) = (v_1 + 2)(v_1 + 12)^2$

$312v_1 + 288 = (v_1 + 2)(v_1^2 + 24v_1 + 144)$

$312v_1 + 288 = v_1^3 + 24v_1^2 + 144v_1 + 2v_1^2 + 48v_1 + 288$

$312v_1 + 288 = v_1^3 + 26v_1^2 + 192v_1 + 288$

$0 = v_1^3 + 26v_1^2 + 192v_1 - 312v_1$

$0 = v_1^3 + 26v_1^2 - 120v_1$

$0 = v_1(v_1^2 + 26v_1 - 120)$

Так как $v_1 \ne 0$, решаем квадратное уравнение $v_1^2 + 26v_1 - 120 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 26^2 - 4(1)(-120) = 676 + 480 = 1156 = 34^2$.

$v_1 = \frac{-26 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{-26 \pm 34}{2}$

$v_{1_a} = \frac{-26 + 34}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$v_{1_b} = \frac{-26 - 34}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_1 = 4$ км/ч.

Теперь найдём $v_2$:

$v_2 = \frac{12v_1}{v_1 + 12} = \frac{12 \cdot 4}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3$ км/ч.

Проверка:
Первоначальные скорости: $v_1 = 4$ км/ч, $v_2 = 3$ км/ч.
Время: $t_1 = 24/4 = 6$ ч, $t_2 = 24/3 = 8$ ч. Разница $8 - 6 = 2$ ч. Верно.
Новые скорости: $v_1 = 4+2=6$ км/ч, $v_2 = 3+1=4$ км/ч.
Время: $t_{1_{нов}} = 24/6 = 4$ ч, $t_{2_{нов}} = 24/4 = 6$ ч. Разница $6 - 4 = 2$ ч. Верно.

Ответ: первоначальная скорость первого пешехода равна 4 км/ч, а второго — 3 км/ч.

7.18 Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 ч, а против течения за 2 ч 48 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Для решения задачи введем переменные. Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч.

Когда лодка движется по течению, ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения, то есть $v_{\text{по теч.}} = x + y$ км/ч.

Когда лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения, то есть $v_{\text{против теч.}} = x - y$ км/ч.

По условию, расстояние $S$ между двумя пунктами равно 14 км.

Время движения по течению составляет $t_{\text{по теч.}} = 2$ ч.

Время движения против течения составляет $t_{\text{против теч.}} = 2$ ч 48 мин. Для удобства расчетов переведем это время полностью в часы. Зная, что в 1 часе 60 минут, получаем: $48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$. Таким образом, $t_{\text{против теч.}} = 2 + 0.8 = 2.8$ ч.

Используя формулу пути $S = v \cdot t$, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

1. Уравнение для движения по течению:
$S = v_{\text{по теч.}} \cdot t_{\text{по теч.}}$
$14 = (x + y) \cdot 2$

2. Уравнение для движения против течения:
$S = v_{\text{против теч.}} \cdot t_{\text{против теч.}}$
$14 = (x - y) \cdot 2.8$

Получили систему уравнений: $ \begin{cases} 2(x + y) = 14 \\ 2.8(x - y) = 14 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение. Из первого уравнения выразим скорость по течению: $x + y = \frac{14}{2}$
$x + y = 7$

Из второго уравнения выразим скорость против течения: $x - y = \frac{14}{2.8}$
$x - y = \frac{140}{28}$
$x - y = 5$

Теперь у нас есть более простая система: $ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 5 \end{cases} $

Для нахождения $x$ сложим два уравнения системы: $(x + y) + (x - y) = 7 + 5$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$

Таким образом, собственная скорость лодки составляет 6 км/ч.

Для нахождения $y$, подставим значение $x = 6$ в первое уравнение ($x + y = 7$): $6 + y = 7$
$y = 7 - 6$
$y = 1$

Таким образом, скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Проверка:
Скорость лодки по течению: $6 + 1 = 7$ км/ч. Время в пути: $\frac{14 \text{ км}}{7 \text{ км/ч}} = 2$ ч. (Совпадает с условием).
Скорость лодки против течения: $6 - 1 = 5$ км/ч. Время в пути: $\frac{14 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 2.8$ ч, что равно 2 часам и $0.8 \cdot 60 = 48$ минутам. (Совпадает с условием).

Ответ: собственная скорость лодки — 6 км/ч, скорость течения реки — 1 км/ч.

7.19 Моторная лодка против течения реки проплыла 10 км, а по течению 9 км, при этом по течению она шла 45 мин, а против течения — 1 ч 15 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Для решения этой задачи введем переменные:

• Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость моторной лодки.
• Пусть $y$ км/ч — это скорость течения реки.

Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + y)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - y)$ км/ч.

Сначала необходимо перевести время из минут в часы для удобства расчетов, так как расстояние дано в километрах, а скорость мы ищем в км/ч.

Время движения по течению:

$t_{по} = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0,75 \text{ ч}$.

Время движения против течения:

$t_{против} = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{5}{4} \text{ ч} = 1,25 \text{ ч}$.

Теперь воспользуемся основной формулой движения: расстояние = скорость × время ($S = v \cdot t$). Из этой формулы выразим скорость: $v = \frac{S}{t}$.

Найдем скорость лодки по течению. Она прошла 9 км за 0,75 ч:

$v_{по} = x + y = \frac{9 \text{ км}}{0,75 \text{ ч}} = \frac{9}{3/4} \text{ км/ч} = 9 \cdot \frac{4}{3} \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$.

Найдем скорость лодки против течения. Она прошла 10 км за 1,25 ч:

$v_{против} = x - y = \frac{10 \text{ км}}{1,25 \text{ ч}} = \frac{10}{5/4} \text{ км/ч} = 10 \cdot \frac{4}{5} \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 8 \end{cases}$

Для решения системы сложим первое уравнение со вторым. Это позволит нам исключить переменную $y$ и найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 12 + 8$

$2x = 20$

$x = \frac{20}{2}$

$x = 10$

Итак, собственная скорость лодки составляет 10 км/ч.

Теперь подставим найденное значение $x = 10$ в любое из уравнений системы, например, в первое, чтобы найти скорость течения $y$:

$10 + y = 12$

$y = 12 - 10$

$y = 2$

Скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Проверим результат:

• Скорость по течению: $10 + 2 = 12$ км/ч. Расстояние: $12 \text{ км/ч} \cdot 0,75 \text{ ч} = 9$ км. Верно.
• Скорость против течения: $10 - 2 = 8$ км/ч. Расстояние: $8 \text{ км/ч} \cdot 1,25 \text{ ч} = 10$ км. Верно.

Ответ: собственная скорость лодки — 10 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.

7.20 Турист проплыл на лодке по реке из города $A$ в город $B$ и обратно за 7 ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что турист проплывал 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению, а расстояние между городами равно 20 км.

Пусть $v_л$ - собственная скорость лодки (в стоячей воде), а $v_т$ - скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна $(v_л + v_т)$, а скорость против течения равна $(v_л - v_т)$.

Из условия известно, что турист проплывал 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. Составим уравнение на основе этого условия:

$t_{против} = t_{по}$

$\frac{2}{v_л - v_т} = \frac{5}{v_л + v_т}$

Используя основное свойство пропорции, получим:

$2(v_л + v_т) = 5(v_л - v_т)$

$2v_л + 2v_т = 5v_л - 5v_т$

$7v_т = 3v_л$

Отсюда выразим собственную скорость лодки через скорость течения:

$v_л = \frac{7}{3}v_т$

Общее время движения из города А в город В и обратно составило 7 часов, а расстояние между городами равно 20 км. Время в пути по течению равно $\frac{20}{v_л + v_т}$, а время против течения - $\frac{20}{v_л - v_т}$. Составим второе уравнение:

$\frac{20}{v_л + v_т} + \frac{20}{v_л - v_т} = 7$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $v_л$, которое мы нашли ранее ($v_л = \frac{7}{3}v_т$):

$\frac{20}{(\frac{7}{3}v_т) + v_т} + \frac{20}{(\frac{7}{3}v_т) - v_т} = 7$

$\frac{20}{\frac{10}{3}v_т} + \frac{20}{\frac{4}{3}v_т} = 7$

Упростим дроби:

$\frac{20 \cdot 3}{10v_т} + \frac{20 \cdot 3}{4v_т} = 7$

$\frac{60}{10v_т} + \frac{60}{4v_т} = 7$

$\frac{6}{v_т} + \frac{15}{v_т} = 7$

Сложим дроби в левой части уравнения:

$\frac{21}{v_т} = 7$

Отсюда находим скорость течения реки:

$v_т = \frac{21}{7} = 3$

Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

7.21 Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч скорее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?

Пусть $t$ часов — время, за которое первый комбайн может выполнить задание, работая один. Это искомая величина.

Согласно условию, первый комбайн выполняет задание на 5 часов скорее, чем второй. Следовательно, время, которое требуется второму комбайну для выполнения того же задания в одиночку, составляет $(t + 5)$ часов.

Производительность (скорость выполнения работы) — это часть задания, выполняемая за единицу времени. Примем всю работу за 1.

Тогда производительность первого комбайна равна $\frac{1}{t}$ (часть задания в час).

Производительность второго комбайна равна $\frac{1}{t+5}$ (часть задания в час).

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{t} + \frac{1}{t+5}$.

В условии сказано, что, работая вместе, два комбайна выполняют задание за 6 часов. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ (часть задания в час).

Приравниваем выражения для совместной производительности и получаем уравнение: $$ \frac{1}{t} + \frac{1}{t+5} = \frac{1}{6} $$

Теперь решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $t(t+5)$: $$ \frac{t+5+t}{t(t+5)} = \frac{1}{6} $$ $$ \frac{2t+5}{t^2+5t} = \frac{1}{6} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $$ 6(2t+5) = 1(t^2+5t) $$ $$ 12t + 30 = t^2 + 5t $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$ t^2 + 5t - 12t - 30 = 0 $$ $$ t^2 - 7t - 30 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 $$

Найдем корни уравнения: $$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7+13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$ $$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7-13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

Поскольку время $t$ не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, время, за которое первый комбайн выполнит задание, работая один, равно 10 часам.

Ответ: 10 часов.

7.22 Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 ч быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла бы выполнить задание первая бригада, если бы она работала одна?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество часов, за которое первая бригада может выполнить все задание, работая в одиночку. По условию, первая бригада выполняет задание на 12 часов быстрее, чем вторая. Это означает, что второй бригаде для выполнения того же задания потребуется $(x + 12)$ часов.

Производительность труда — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Если принять всю работу за 1, то:

• Производительность первой бригады равна $\frac{1}{x}$ (часть задания в час).
• Производительность второй бригады равна $\frac{1}{x+12}$ (часть задания в час).

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. Таким образом, их совместная производительность составляет: $P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12}$

Из условия известно, что, работая вместе, они выполняют задание за 8 часов. Это значит, что их совместная производительность равна $\frac{1}{8}$ часть задания в час. Приравняем два выражения для совместной производительности и получим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+12)$:

$\frac{x+12+x}{x(x+12)} = \frac{1}{8}$

$\frac{2x+12}{x^2+12x} = \frac{1}{8}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестным умножением):

$8(2x+12) = 1(x^2+12x)$

$16x + 96 = x^2 + 12x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 16x - 96 = 0$

$x^2 - 4x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4+20}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4-20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -8$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $x=12$.

Таким образом, первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание за 12 часов.

Ответ: 12 часов.

7.23 Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Для решения задачи примем весь объем земляных работ за 1 условную единицу.

Пусть $x$ часов — это время, за которое первый (более быстрый) экскаватор может выполнить всю работу, работая отдельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за час) составляет $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, второй экскаватор выполняет ту же работу на 4 часа дольше. Следовательно, его время работы составляет $(x+4)$ часов, а его производительность равна $\frac{1}{x+4}$.

Работая одновременно, два экскаватора выполняют весь объем работ за 3 часа 45 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов:
$3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{12+3}{4} \text{ ч} = \frac{15}{4} \text{ ч}$.

При совместной работе производительности экскаваторов складываются. Общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.

Также общая производительность может быть вычислена как отношение всего объема работы ко времени совместной работы:
$P_{общ} = \frac{1}{15/4} = \frac{4}{15}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{4}{15}$.

Решим это уравнение. Сначала приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+4)$:
$\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{4}{15}$
$\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{4}{15}$.

Применим правило пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $x>0$, а значит знаменатели не равны нулю:
$15(2x+4) = 4(x^2+4x)$
$30x + 60 = 4x^2 + 16x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0$
$4x^2 - 14x - 60 = 0$.

Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$2x^2 - 7x - 30 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Теперь вычислим значения $x$:
$x_1 = \frac{-(-7) + 17}{2 \cdot 2} = \frac{7+17}{4} = \frac{24}{4} = 6$.
$x_2 = \frac{-(-7) - 17}{2 \cdot 2} = \frac{7-17}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Таким образом, корень $x_2 = -2.5$ не является решением задачи.
Время работы первого, более быстрого, экскаватора составляет $x = 6$ часов.

Время работы второго экскаватора:
$x+4 = 6+4 = 10$ часов.

Ответ: первому экскаватору для выполнения работы требуется 6 часов, а второму — 10 часов.