Страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1 Является ли пара чисел (3; 4) решением уравнения $x^2 + (y - 8)^2 = 25$?

Чтобы проверить, является ли пара чисел $(3; 4)$ решением уравнения $x^2 + (y - 8)^2 = 25$, необходимо подставить значения $x=3$ и $y=4$ в данное уравнение.

Подставляем значения в левую часть уравнения:

$3^2 + (4 - 8)^2$

Выполняем вычисления по порядку действий:

1. Вычисляем значение в скобках: $4 - 8 = -4$.

2. Возводим в квадрат: $3^2 = 9$ и $(-4)^2 = 16$.

3. Складываем полученные результаты: $9 + 16 = 25$.

Теперь сравним результат левой части с правой частью уравнения:

$25 = 25$

Так как мы получили верное числовое равенство, это означает, что пара чисел $(3; 4)$ удовлетворяет уравнению.

Ответ: Да, пара чисел $(3; 4)$ является решением уравнения.

2 Постройте график уравнения

$ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $

Данное уравнение, $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$, представляет собой каноническое уравнение окружности.

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$ выглядит так: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Сравнив данное уравнение с общей формой, мы можем определить параметры окружности. Из члена $(x - 2)^2$ следует, что абсцисса центра $a = 2$. Из члена $(y + 1)^2$, который можно представить как $(y - (-1))^2$, следует, что ордината центра $b = -1$. Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами $(2, -1)$.

Правая часть уравнения равна 9, что соответствует $R^2$. Следовательно, радиус окружности $R = \sqrt{9} = 3$.

Для построения графика необходимо на координатной плоскости отметить центр окружности, точку $(2, -1)$, и из этой точки провести окружность радиусом 3. Для точности построения можно найти несколько ключевых точек на окружности, отложив от центра расстояние, равное радиусу, вдоль осей:
- Точка справа от центра: $(2+3, -1)$, то есть $(5, -1)$.
- Точка слева от центра: $(2-3, -1)$, то есть $(-1, -1)$.
- Точка сверху от центра: $(2, -1+3)$, то есть $(2, 2)$.
- Точка снизу от центра: $(2, -1-3)$, то есть $(2, -4)$.
Соединив эти точки плавной кривой, мы получим искомый график.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(2, -1)$ и радиусом 3.

3 Решите графически:

а) систему уравнений

$\begin{cases} x^2 - y = 3, \\ x + y = 3; \end{cases}$

б) систему неравенств

$\begin{cases} x^2 - y \leq 3, \\ x + y \leq 3. \end{cases}$

а) систему уравнений

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики функций, соответствующих каждому уравнению, в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков и будут решением системы.

1. Преобразуем первое уравнение $x^2 - y = 3$ к виду функции $y(x)$. Получим $y = x^2 - 3$.
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$. Построим её по нескольким точкам:
- при $x=0$, $y=-3$;
- при $x=1$, $y=1^2-3=-2$;
- при $x=-1$, $y=(-1)^2-3=-2$;
- при $x=2$, $y=2^2-3=1$;
- при $x=-2$, $y=(-2)^2-3=1$;
- при $x=3$, $y=3^2-3=6$;
- при $x=-3$, $y=(-3)^2-3=6$.

2. Преобразуем второе уравнение $x + y = 3$ к виду функции $y(x)$. Получим $y = 3 - x$.
Графиком этой функции является прямая. Для её построения достаточно двух точек:
- при $x=0$, $y=3$;
- при $y=0$, $x=3$.
Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

3. Построим параболу $y = x^2 - 3$ и прямую $y = 3 - x$ на одной координатной плоскости.

4. Графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек являются решением системы. Из построенных графиков видно, что это точки с координатами $(-3, 6)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(-3, 6), (2, 1)$.

б) систему неравенств

Решением системы неравенств является область на координатной плоскости, точки которой удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Границами этой области служат графики, построенные в предыдущем пункте.

1. Первое неравенство: $x^2 - y \le 3$.
Преобразуем его: $-y \le 3 - x^2$, что эквивалентно $y \ge x^2 - 3$.
Этому неравенству удовлетворяют все точки, лежащие на параболе $y = x^2 - 3$ и выше неё.

2. Второе неравенство: $x + y \le 3$.
Преобразуем его: $y \le 3 - x$.
Этому неравенству удовлетворяют все точки, лежащие на прямой $y = 3 - x$ и ниже неё.

3. Решением системы является пересечение этих двух областей: множество точек, которые находятся одновременно и выше (или на) параболы, и ниже (или на) прямой.

Таким образом, решением системы неравенств является замкнутая область, ограниченная снизу дугой параболы $y = x^2 - 3$ и сверху отрезком прямой $y = 3 - x$. Границы области, то есть сама дуга параболы и отрезок прямой, включаются в решение, так как неравенства нестрогие.

Ответ: Множество точек $(x, y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих условиям $y \ge x^2 - 3$ и $y \le 3 - x$ одновременно. Это область, заключенная между параболой $y = x^2 - 3$ и прямой $y = 3 - x$, включая сами границы.

4 Решите методом подстановки систему уравнений

$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 4, \\ x + y = 6. \end{cases}$

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 4 \\ x + y = 6 \end{cases} $$

Для решения системы методом подстановки, выразим одну из переменных из второго уравнения. Второе уравнение ($x + y = 6$) является линейным, поэтому из него удобно выразить одну переменную через другую.

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 6 - y$

Теперь подставим это выражение вместо $x$ в первое уравнение системы:

$(6 - y)^2 - 3y^2 = 4$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$36 - 12y + y^2 - 3y^2 = 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-2y^2 - 12y + 36 = 4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$-2y^2 - 12y + 36 - 4 = 0$

$-2y^2 - 12y + 32 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на $-2$:

$y^2 + 6y - 16 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Мы нашли два возможных значения для $y$. Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя подстановку $x = 6 - y$.

1. Для $y_1 = 2$:

$x_1 = 6 - y_1 = 6 - 2 = 4$

Таким образом, первая пара решений: $(4; 2)$.

2. Для $y_2 = -8$:

$x_2 = 6 - y_2 = 6 - (-8) = 6 + 8 = 14$

Таким образом, вторая пара решений: $(14; -8)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Проверка для $(4; 2)$:

$4^2 - 3(2^2) = 16 - 3(4) = 16 - 12 = 4$ (верно)

$4 + 2 = 6$ (верно)

Проверка для $(14; -8)$:

$14^2 - 3(-8)^2 = 196 - 3(64) = 196 - 192 = 4$ (верно)

$14 + (-8) = 6$ (верно)

Оба решения удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: $(4; 2)$, $(14; -8)$.

5 Решите методом алгебраического сложения систему уравнений

$\begin{cases}x^2 - 2y^2 = -4, \\x^2 + 2y^2 = 12.\end{cases}$

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 - 2y^2 = -4 \\x^2 + 2y^2 = 12\end{cases}$$

Для решения системы применим метод алгебраического сложения. Этот метод заключается в сложении или вычитании уравнений системы для исключения одной из переменных.

1. Сложение уравнений.

Сложим левые и правые части обоих уравнений, чтобы избавиться от переменной $y$:

$(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = -4 + 12$

Приводим подобные слагаемые:

$2x^2 = 8$

Находим $x^2$:

$x^2 = \frac{8}{2}$

$x^2 = 4$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. Вычитание уравнений.

Теперь вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной $x$:

$(x^2 + 2y^2) - (x^2 - 2y^2) = 12 - (-4)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2 + 2y^2 - x^2 + 2y^2 = 12 + 4$

$4y^2 = 16$

Находим $y^2$:

$y^2 = \frac{16}{4}$

$y^2 = 4$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

3. Формирование решений.

Поскольку исходные уравнения содержат переменные только в четной степени ($x^2$ и $y^2$), любая комбинация полученных значений $x$ и $y$ будет являться решением системы. Составим все возможные пары $(x; y)$:

• $(2; 2)$
• $(2; -2)$
• $(-2; 2)$
• $(-2; -2)$

Таким образом, система имеет четыре решения.

Ответ: $(2; 2)$, $(2; -2)$, $(-2; 2)$, $(-2; -2)$.

6 Решите методом замены переменных систему уравнений

$\begin{cases} (xy)^2 - 7xy + 10 = 0, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

Данная система уравнений:$\begin{cases}(xy)^2 - 7xy + 10 = 0, \\3x + y = 7.\end{cases}$

Для решения этой системы используем метод замены переменных. Рассмотрим первое уравнение. Введем новую переменную $t = xy$. Тогда первое уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 7t + 10 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя, например, теорему Виета: сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Отсюда легко подобрать корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 5$.

В качестве альтернативы, можно решить через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.Корни: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$, что дает $t_1 = 2$ и $t_2 = 5$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Решение исходной системы сводится к решению двух независимых систем уравнений, так как мы получили два возможных значения для произведения $xy$:

1) $\begin{cases} xy = 2, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy = 5, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} xy = 2, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 7 - 3x$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x(7 - 3x) = 2$

$7x - 3x^2 = 2$

$3x^2 - 7x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Дискриминант:$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$

$x_1 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 7 - 3x$:

При $x_1 = \frac{1}{3}$, $y_1 = 7 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 7 - 1 = 6$.

При $x_2 = 2$, $y_2 = 7 - 3 \cdot 2 = 7 - 6 = 1$.

Таким образом, из первой системы мы получили два решения: $(\frac{1}{3}; 6)$ и $(2; 1)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} xy = 5, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

Аналогично выразим $y$ из второго уравнения: $y = 7 - 3x$. Подставим в первое уравнение:

$x(7 - 3x) = 5$

$7x - 3x^2 = 5$

$3x^2 - 7x + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 49 - 60 = -11$

Так как дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, вторая система не имеет решений в действительных числах.

Объединив результаты, получаем, что исходная система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 6)$, $(2; 1)$.

7 Решите систему уравнений

$\begin{cases} (x+2y)^2 - 2(x-2y) = 11, \\ 5(x+2y) + x - 2y = -18. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений удобно использовать метод введения новых переменных. Заметим, что в обоих уравнениях присутствуют одинаковые выражения $x + 2y$ и $x - 2y$.

Введем новые переменные. Пусть $a = x + 2y$ и $b = x - 2y$.

Подставим эти переменные в исходную систему:

$ \begin{cases} a^2 - 2b = 11, \\ 5a + b = -18. \end{cases} $

Теперь решим полученную систему относительно переменных $a$ и $b$. Из второго уравнения выразим $b$:

$b = -18 - 5a$

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$a^2 - 2(-18 - 5a) = 11$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 + 36 + 10a = 11$

$a^2 + 10a + 36 - 11 = 0$

$a^2 + 10a + 25 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом:

$(a + 5)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$a + 5 = 0 \implies a = -5$

Теперь найдем значение $b$, подставив найденное значение $a = -5$ в выражение $b = -18 - 5a$:

$b = -18 - 5(-5) = -18 + 25 = 7$

Мы получили значения для наших новых переменных: $a = -5$ и $b = 7$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, выполнив обратную замену:

$ \begin{cases} x + 2y = a, \\ x - 2y = b. \end{cases} $

Подставляем найденные значения $a$ и $b$:

$ \begin{cases} x + 2y = -5, \\ x - 2y = 7. \end{cases} $

Для решения этой системы линейных уравнений сложим первое уравнение со вторым. Это позволит исключить переменную $y$:

$(x + 2y) + (x - 2y) = -5 + 7$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x = 1$ в любое из уравнений системы (например, в первое: $x + 2y = -5$) для нахождения $y$:

$1 + 2y = -5$

$2y = -5 - 1$

$2y = -6$

$y = -3$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; -3)$.

Ответ: $(1; -3)$

8 Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9, \\ |x+1| - y = 1. \end{cases}$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут решениями системы.

1. Анализ первого уравнения: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$

Это уравнение является стандартным уравнением окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $C(-1, 2)$, а радиус окружности $R = \sqrt{9} = 3$. Итак, первый график — это окружность с центром в точке $(-1, 2)$ и радиусом 3.

2. Анализ второго уравнения: $|x + 1| - y = 1$

Выразим $y$ из уравнения: $y = |x + 1| - 1$. Этот график является графиком функции $y = |x|$, смещенным на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Вершина этого графика находится в точке $(-1, -1)$.
График состоит из двух лучей, выходящих из вершины:
- При $x \ge -1$, уравнение принимает вид $y = (x + 1) - 1$, то есть $y = x$.
- При $x < -1$, уравнение принимает вид $y = -(x + 1) - 1$, то есть $y = -x - 2$.
Таким образом, второй график — это "галочка" с вершиной в точке $(-1, -1)$, ветви которой направлены вверх.

3. Построение графиков и нахождение решений

Построим оба графика в одной системе координат. Окружность с центром в $C(-1, 2)$ и радиусом 3. И график $y = |x + 1| - 1$ с вершиной в $(-1, -1)$.

Из графика видно, что окружность и "галочка" пересекаются в трех точках. Найдем их координаты.
- Первая точка пересечения — это вершина "галочки" $(-1, -1)$. Проверим, лежит ли она на окружности: $(-1 + 1)^2 + (-1 - 2)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9$. Верно.
- Вторая точка пересечения лежит на луче $y = x$. Подставив в уравнение окружности, получим $(x+1)^2 + (x-2)^2 = 9$, что приводит к уравнению $x^2-x-2=0$. Корни $x=2$ и $x=-1$. Корень $x=-1$ соответствует уже найденной точке. Корень $x=2$ дает $y=2$. Таким образом, вторая точка — $(2, 2)$.
- Третья точка пересечения лежит на луче $y = -x - 2$. Подставив в уравнение окружности, получим $(x+1)^2 + (-x-4)^2 = 9$, что приводит к уравнению $x^2+5x+4=0$. Корни $x=-4$ и $x=-1$. Корень $x=-1$ не удовлетворяет условию $x < -1$. Корень $x=-4$ дает $y = -(-4)-2=2$. Таким образом, третья точка — $(-4, 2)$.
Итак, система имеет три решения, которые соответствуют координатам точек пересечения графиков.

Ответ: $(-1, -1)$, $(2, 2)$, $(-4, 2)$.