Страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Операции над множествами.

Операции над множествами — это способы построения новых множеств из одного или нескольких исходных. Множество — это совокупность различных элементов. Рассмотрим основные операции.

Объединение множеств

Объединением (или суммой) двух множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (то есть принадлежат множеству $A$, или множеству $B$, или им обоим одновременно).

Обозначение: $A \cup B$.

Формальное определение: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}$.

Пример: Пусть даны множества $A = \{1, 2, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$. Тогда их объединение будет $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Элемент '4' входит в оба множества, но в результирующем множестве он указывается один раз, так как все элементы множества должны быть уникальны.

На диаграммах Венна объединение множеств изображается как область, занимаемая всеми кругами, соответствующими этим множествам.

Ответ: Объединение множеств $A$ и $B$ — это множество $A \cup B$, содержащее все элементы из $A$ и все элементы из $B$.

Пересечение множеств

Пересечением (или произведением) двух множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Обозначение: $A \cap B$.

Формальное определение: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$.

Пример: Для множеств $A = \{1, 2, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$ их пересечением будет множество $A \cap B = \{4\}$, так как только элемент '4' является общим для обоих множеств.

Если пересечение множеств пусто ($A \cap B = \emptyset$), то такие множества называются непересекающимися.

На диаграммах Венна пересечение изображается как общая область перекрытия кругов.

Ответ: Пересечение множеств $A$ и $B$ — это множество $A \cap B$, содержащее только те элементы, которые есть в обоих множествах одновременно.

Разность множеств

Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$.

Обозначение: $A \setminus B$ или $A - B$.

Формальное определение: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}$.

Пример: Для $A = \{1, 2, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$ разность $A \setminus B = \{1, 2\}$, так как элементы '1' и '2' есть в $A$, но нет в $B$. Элемент '4' исключается, так как он есть в $B$.

Важно отметить, что операция разности некоммутативна, то есть $A \setminus B \neq B \setminus A$. В нашем примере $B \setminus A = \{3, 5\}$.

Ответ: Разность множеств $A$ и $B$ — это множество $A \setminus B$, содержащее элементы, которые есть в $A$, но которых нет в $B$.

Дополнение множества

Дополнением множества $A$ (до универсального множества $U$) называется множество, содержащее все элементы универсального множества $U$, которые не принадлежат множеству $A$. Универсальное множество $U$ — это множество, содержащее все возможные элементы в рамках рассматриваемой задачи.

Обозначение: $\bar{A}$, $A'$, или $A^c$.

Формальное определение: $\bar{A} = U \setminus A = \{x \in U \mid x \notin A\}$.

Пример: Пусть универсальное множество $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ и $A = \{1, 2, 4\}$. Тогда дополнением множества $A$ будет $\bar{A} = \{0, 3, 5\}$.

Ответ: Дополнение множества $A$ — это множество $\bar{A}$, содержащее все элементы универсального множества $U$, которых нет в $A$.

Симметрическая разность множеств

Симметрической разностью двух множеств $A$ и $B$ называется множество, включающее все элементы, которые принадлежат только одному из этих множеств, но не их пересечению.

Обозначение: $A \Delta B$.

Формальное определение: $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. Эквивалентная формула: $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$.

Пример: Для $A = \{1, 2, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$ симметрическая разность $A \Delta B = \{1, 2, 3, 5\}$. Элемент '4' исключается, так как он принадлежит обоим множествам.

Ответ: Симметрическая разность множеств $A$ и $B$ — это множество $A \Delta B$, содержащее элементы, принадлежащие либо $A$, либо $B$, но не обоим сразу.

Декартово произведение множеств

Декартовым (или прямым) произведением множеств $A$ и $B$ называется множество всех упорядоченных пар $(a, b)$, у которых первый элемент $a$ принадлежит множеству $A$, а второй элемент $b$ — множеству $B$. Порядок элементов в паре имеет значение.

Обозначение: $A \times B$.

Формальное определение: $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ и } b \in B\}$.

Пример: Пусть $A = \{1, 2\}$ и $B = \{x, y\}$. Тогда декартово произведение $A \times B = \{(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)\}$.

А декартово произведение $B \times A = \{(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)\}$. Как видно, $A \times B \neq B \times A$.

Мощность (количество элементов) декартова произведения равна произведению мощностей исходных множеств: $|A \times B| = |A| \cdot |B|$.

Ответ: Декартово произведение множеств $A$ и $B$ — это множество $A \times B$, состоящее из всех возможных упорядоченных пар $(a, b)$, где $a \in A$ и $b \in B$.

2. Системы и совокупности неравенств.

Системы неравенств

Система неравенств — это набор из двух или более неравенств с одной или несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Решением системы неравенств является множество значений переменных, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно. Это соответствует логическому оператору «И». Для обозначения системы используется фигурная скобка $\{$.

Алгоритм решения системы неравенств:

1. Решить каждое неравенство в системе отдельно.
2. Найти пересечение (общую часть) множеств решений всех неравенств. Удобно для этого использовать числовую ось, на которой отмечаются все найденные решения.
3. Записать получившееся пересечение в виде интервала или объединения интервалов. Это и будет ответом.

Пример:

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3x + 9 > 0 \\ 10 - 2x \ge 0 \end{cases} $

1. Решаем первое неравенство:
$3x > -9$
$x > -3$
Решение первого неравенства: $x \in (-3; +\infty)$.

2. Решаем второе неравенство:
$-2x \ge -10$
$x \le 5$ (делим на -2, поэтому знак неравенства меняется на противоположный)
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 5]$.

3. Находим пересечение множеств решений. На числовой оси это будет промежуток, который одновременно удовлетворяет условиям $x > -3$ и $x \le 5$.
Общей частью этих двух интервалов является промежуток от -3 (не включая) до 5 (включая).

Ответ: $x \in (-3; 5]$.

Совокупности неравенств

Совокупность неравенств — это набор из двух или более неравенств, для которых нужно найти все значения переменных, удовлетворяющие хотя бы одному из этих неравенств. Это соответствует логическому оператору «ИЛИ». Для обозначения совокупности используется квадратная скобка $[$ или слово "или".

Алгоритм решения совокупности неравенств:

1. Решить каждое неравенство в совокупности отдельно.
2. Найти объединение множеств решений всех неравенств. При объединении мы берем все значения, которые входят хотя бы в одно из решений.
3. Записать получившееся объединение. Это и будет ответом.

Пример:

Решим совокупность неравенств:
$ \begin{bmatrix} x + 2 \le 0 \\ x - 3 > 0 \end{bmatrix} $

1. Решаем первое неравенство:
$x + 2 \le 0$
$x \le -2$
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2]$.

2. Решаем второе неравенство:
$x - 3 > 0$
$x > 3$
Решение второго неравенства: $x \in (3; +\infty)$.

3. Находим объединение множеств решений. Мы ищем все значения $x$, которые либо меньше или равны -2, либо строго больше 3. Эти два интервала не пересекаются, поэтому в ответе мы их просто объединяем с помощью знака $\cup$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup (3; +\infty)$.

8.4 а) $y = \frac{1}{x - 7}$;

б) $y = \frac{4}{4x + 1}$;

в) $y = \frac{10}{3 + x}$;

г) $y = \frac{6}{8 + 5x}$.

а) Дана функция $y = \frac{1}{x - 7}$.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Данная функция является дробно-рациональной, и её знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x - 7 = 0$
$x = 7$
Следовательно, значение $x = 7$ необходимо исключить из области определения. Таким образом, областью определения функции являются все действительные числа, кроме 7.
Ответ: $x \in (-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$

б) Дана функция $y = \frac{4}{4x + 1}$.
Функция определена для всех значений $x$, при которых её знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель равен нулю:
$4x + 1 = 0$
$4x = -1$
$x = -\frac{1}{4}$
Следовательно, из области определения нужно исключить $x = -\frac{1}{4}$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме $-\frac{1}{4}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (-\frac{1}{4}; +\infty)$

в) Дана функция $y = \frac{10}{3 + x}$.
Знаменатель дроби $3 + x$ не должен быть равен нулю. Найдем значение $x$, которое необходимо исключить из области определения:
$3 + x = 0$
$x = -3$
Область определения функции состоит из всех действительных чисел, за исключением $x = -3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$

г) Дана функция $y = \frac{6}{8 + 5x}$.
Функция определена, когда ее знаменатель $8 + 5x$ не равен нулю. Найдем недопустимое значение $x$, решив уравнение:
$8 + 5x = 0$
$5x = -8$
$x = -\frac{8}{5}$
Значит, область определения — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{8}{5}$ (или $x = -1.6$).
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{8}{5}) \cup (-\frac{8}{5}; +\infty)$

8.5 a) $y = \frac{2}{(x - 2)^2}$

б) $y = \frac{3x}{(2x + 1)^2}$

В) $y = \frac{1 - 5x}{(3 - x)^2}$

Г) $y = \frac{1}{(2 + 3x)^2}$

а) Для нахождения производной функции $y = \frac{2}{(x-2)^2}$ представим ее в виде степенной функции: $y = 2(x-2)^{-2}$. Используем правило дифференцирования сложной функции, которое для степенной функции имеет вид $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$. В данном случае, коэффициент равен 2, основание степени $u = x-2$, а показатель степени $n = -2$.
Находим производную внутренней функции: $u' = (x-2)' = 1$.
Теперь находим производную всей функции:
$y' = (2(x-2)^{-2})' = 2 \cdot (-2)(x-2)^{-2-1} \cdot (x-2)' = -4(x-2)^{-3} \cdot 1 = -\frac{4}{(x-2)^3}$.
Ответ: $y' = -\frac{4}{(x-2)^3}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{3x}{(2x+1)^2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь числитель $u = 3x$ и знаменатель $v = (2x+1)^2$.
Находим производные числителя и знаменателя:
$u' = (3x)' = 3$.
$v' = ((2x+1)^2)'$, по правилу дифференцирования сложной функции, $v' = 2(2x+1)^{2-1} \cdot (2x+1)' = 2(2x+1) \cdot 2 = 4(2x+1)$.
Подставляем найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{3 \cdot (2x+1)^2 - 3x \cdot 4(2x+1)}{((2x+1)^2)^2} = \frac{3(2x+1)^2 - 12x(2x+1)}{(2x+1)^4}$.
Вынесем в числителе за скобки общий множитель $3(2x+1)$:
$y' = \frac{3(2x+1)((2x+1) - 4x)}{(2x+1)^4} = \frac{3(2x+1)(1-2x)}{(2x+1)^4}$.
Сокращаем дробь на $(2x+1)$:
$y' = \frac{3(1-2x)}{(2x+1)^3}$.
Ответ: $y' = \frac{3(1-2x)}{(2x+1)^3}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \frac{1-5x}{(3-x)^2}$ снова используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = 1-5x$ и $v = (3-x)^2$.
Находим производные $u'$ и $v'$:
$u' = (1-5x)' = -5$.
$v' = ((3-x)^2)' = 2(3-x) \cdot (3-x)' = 2(3-x) \cdot (-1) = -2(3-x)$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{-5 \cdot (3-x)^2 - (1-5x) \cdot (-2(3-x))}{((3-x)^2)^2} = \frac{-5(3-x)^2 + 2(1-5x)(3-x)}{(3-x)^4}$.
Выносим в числителе общий множитель $(3-x)$:
$y' = \frac{(3-x)[-5(3-x) + 2(1-5x)]}{(3-x)^4}$.
Упрощаем выражение в квадратных скобках:
$-5(3-x) + 2(1-5x) = -15 + 5x + 2 - 10x = -13 - 5x$.
Подставляем результат обратно и сокращаем дробь:
$y' = \frac{(3-x)(-13-5x)}{(3-x)^4} = \frac{-13-5x}{(3-x)^3}$.
Можно изменить знак в числителе и знаменателе для более удобной записи: $y' = \frac{-(13+5x)}{-(x-3)^3} = \frac{13+5x}{(x-3)^3}$.
Ответ: $y' = \frac{13+5x}{(x-3)^3}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{(2+3x)^2}$ представим ее как $y = (2+3x)^{-2}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = 2+3x$, $n = -2$.
Производная внутренней функции: $u' = (2+3x)' = 3$.
Находим производную исходной функции:
$y' = ((2+3x)^{-2})' = -2(2+3x)^{-2-1} \cdot (2+3x)' = -2(2+3x)^{-3} \cdot 3 = -6(2+3x)^{-3} = -\frac{6}{(2+3x)^3}$.
Ответ: $y' = -\frac{6}{(2+3x)^3}$.

8.6 а) $y = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}$;

б) $y = \frac{3 + x^2}{x^2(x - 5)}$;

в) $y = \frac{10x^2}{x(7 - x)}$;

г) $y = \frac{8 - 3x}{x^2(6 + x)}$;

а) Дана функция $y = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}$.
Это дробно-рациональная функция. Ее область определения (обозначается $D(y)$) — это множество всех действительных чисел, при которых знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль не определено.
Найдем значения $x$, которые нужно исключить из области определения, приравняв знаменатель к нулю:
$x(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 1 = 0$.
Из второго уравнения получаем $x_2 = -1$.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=-1$. Это можно записать в виде объединения интервалов.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Дана функция $y = \frac{3 + x^2}{x^2(x - 5)}$.
Функция определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель $x^2(x - 5)$ не равен нулю.
Найдем нули знаменателя, решив уравнение:
$x^2(x - 5) = 0$
Это уравнение распадается на два:
$x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$.
$x - 5 = 0$, откуда $x_2 = 5$.
Таким образом, из области определения необходимо исключить точки $x=0$ и $x=5$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

в) Дана функция $y = \frac{10x^2}{x(7 - x)}$.
Областью определения являются все значения $x$, для которых знаменатель $x(7 - x)$ не обращается в ноль.
Приравняем знаменатель к нулю:
$x(7 - x) = 0$
Корни этого уравнения:
$x_1 = 0$
$7 - x = 0$, откуда $x_2 = 7$.
Хотя дробь можно сократить на $x$ (при $x \neq 0$), область определения ищется для исходной, несокращенной функции. Поэтому $x=0$ является точкой разрыва и исключается из области определения.
Область определения — это все действительные числа, кроме $0$ и $7$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

г) Дана функция $y = \frac{8 - 3x}{x^2(6 + x)}$.
Функция определена, когда ее знаменатель $x^2(6 + x)$ отличен от нуля.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x^2(6 + x) = 0$
Уравнение имеет следующие корни:
$x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$.
$6 + x = 0$, откуда $x_2 = -6$.
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=-6$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -6) \cup (-6; 0) \cup (0; +\infty)$.

8.7 a) $y = \frac{10x}{(x - 1)(x + 2)}$;

б) $y = \frac{12 - 5x}{(x + 50)(2x + 7)}$;

В) $y = \frac{x}{(x + 12)(6x - 3)}$;

Г) $y = \frac{19x - 12}{(5x - 4)(x - 13)}$;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Для данных дробно-рациональных функций необходимо, чтобы их знаменатель не был равен нулю.

а) $y = \frac{10x}{(x - 1)(x + 2)}$
Найдём значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$(x - 1)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $1$ и $-2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \frac{12 - 5x}{(x + 50)(2x + 7)}$
Найдём значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$(x + 50)(2x + 7) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x + 50 = 0 \implies x_1 = -50$
$2x + 7 = 0 \implies 2x = -7 \implies x_2 = -3.5$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-50$ и $-3.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -50) \cup (-50; -3.5) \cup (-3.5; +\infty)$.

в) $y = \frac{x}{(x + 12)(6x - 3)}$
Найдём значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$(x + 12)(6x - 3) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x + 12 = 0 \implies x_1 = -12$
$6x - 3 = 0 \implies 6x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{6} = 0.5$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-12$ и $0.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -12) \cup (-12; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$.

г) $y = \frac{19x - 12}{(5x - 4)(x - 13)}$
Найдём значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$(5x - 4)(x - 13) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$5x - 4 = 0 \implies 5x = 4 \implies x_1 = \frac{4}{5} = 0.8$
$x - 13 = 0 \implies x_2 = 13$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $0.8$ и $13$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0.8) \cup (0.8; 13) \cup (13; +\infty)$.

8.8 a) $y = \frac{x^2 - 4x - 3}{x^2 - 5x + 4}$;

б) $y = \frac{x + 3}{2x^2 - 9x + 7}$;

В) $y = \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3}$;

Г) $y = \frac{2x^2 - 5x + 2}{3x^2 - x + 10}$.

а) $y = \frac{x^2 - 4x - 3}{x^2 - 5x + 4}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения x, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю: $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = 1$ и $x = 4$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Ответ: область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=4$, то есть $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 4) \cup (4; +\infty)$.

б) $y = \frac{x + 3}{2x^2 - 9x + 7}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения x, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю: $2x^2 - 9x + 7 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 5}{4}$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.

Знаменатель равен нулю при $x = 1$ и $x = \frac{7}{2}$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Ответ: область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=\frac{7}{2}$, то есть $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}; +\infty)$.

в) $y = \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю. Проверим, может ли знаменатель $x^2 + 2x + 3$ быть равен нулю.

Рассмотрим уравнение: $x^2 + 2x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $x^2 + 2x + 3$ никогда не обращается в ноль ни при каких действительных значениях x.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: область определения функции — множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $y = \frac{2x^2 - 5x + 2}{3x^2 - x + 10}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю. Проверим, может ли знаменатель $3x^2 - x + 10$ быть равен нулю.

Рассмотрим уравнение: $3x^2 - x + 10 = 0$.

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 1 - 120 = -119$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $3x^2 - x + 10$ никогда не обращается в ноль ни при каких действительных значениях x.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: область определения функции — множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

8.9 a) $y = \sqrt{x - 3}$;

б) $y = \sqrt{11 - x}$;

в) $y = \sqrt{x + 4}$;

г) $y = \sqrt{2 - x}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{x - 3}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это приводит к неравенству:

$x - 3 \ge 0$

Перенесем 3 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge 3$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные 3.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$

б)

Для функции $y = \sqrt{11 - x}$ подкоренное выражение также должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$11 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства:

$11 \ge x$

Это неравенство эквивалентно $x \le 11$. Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, меньшие или равные 11.

Ответ: $x \in (-\infty; 11]$

в)

Для функции $y = \sqrt{x + 4}$ найдем область определения, решив неравенство для подкоренного выражения:

$x + 4 \ge 0$

Вычтем 4 из обеих частей неравенства:

$x \ge -4$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные -4.

Ответ: $x \in [-4; +\infty)$

г)

Для функции $y = \sqrt{2 - x}$ подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Решим соответствующее неравенство:

$2 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства:

$2 \ge x$

Это означает, что $x \le 2$. Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, меньшие или равные 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$

8.10 a) $y = \sqrt{x^2 + 13}$;

б) $y = \sqrt{x^2 + x^4}$;

В) $y = \sqrt{x^2 + 24}$;

Г) $y = \sqrt{2x^6 + x^2}$.

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x^2 + 13}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Функция является композицией двух функций: внешней $f(u) = \sqrt{u}$ и внутренней $u(x) = x^2 + 13$. Производная сложной функции, имеющей вид квадратного корня, вычисляется по формуле $(\sqrt{u(x)})' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$.
Сначала найдем производную внутренней функции:
$u'(x) = (x^2 + 13)' = (x^2)' + (13)' = 2x + 0 = 2x$.
Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для производной корня:
$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 13}}$.
Сократив на 2, получаем окончательный результат:
$y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 13}}$.
Ответ: $y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 13}}$.

б) Дана функция $y = \sqrt{x^2 + x^4}$. Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = x^2 + x^4$, а внешняя $f(u) = \sqrt{u}$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции: $y' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
Сначала найдем производную внутренней функции:
$u'(x) = (x^2 + x^4)' = (x^2)' + (x^4)' = 2x + 4x^3$.
Подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу:
$y' = \frac{2x + 4x^3}{2\sqrt{x^2 + x^4}}$.
Можно упростить выражение. Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$y' = \frac{2(x + 2x^3)}{2\sqrt{x^2 + x^4}} = \frac{x + 2x^3}{\sqrt{x^2 + x^4}}$.
Данное выражение определено для всех $x \neq 0$.
Ответ: $y' = \frac{x + 2x^3}{\sqrt{x^2 + x^4}}$.

в) Дана функция $y = \sqrt{x^2 + 24}$. Это сложная функция, аналогичная пункту а).
Пусть внутренняя функция $u(x) = x^2 + 24$.
Ее производная: $u'(x) = (x^2 + 24)' = 2x$.
Применяем формулу для производной квадратного корня из функции $y' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 24}}$.
Сокращаем на 2:
$y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 24}}$.
Ответ: $y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 24}}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{2x^6 + x^2}$. Это сложная функция.
Внутренняя функция $u(x) = 2x^6 + x^2$.
Ее производная: $u'(x) = (2x^6 + x^2)' = 2 \cdot 6x^5 + 2x = 12x^5 + 2x$.
Применяем формулу для производной сложной функции $y' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
$y' = \frac{12x^5 + 2x}{2\sqrt{2x^6 + x^2}}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$y' = \frac{2(6x^5 + x)}{2\sqrt{2x^6 + x^2}} = \frac{6x^5 + x}{\sqrt{2x^6 + x^2}}$.
Это выражение определено для всех $x$, для которых $2x^6 + x^2 > 0$, то есть для всех $x \neq 0$.
Ответ: $y' = \frac{6x^5 + x}{\sqrt{2x^6 + x^2}}$.

8.11 a) $y = \sqrt{x^2 - 9};$

б) $y = \sqrt{7 - x^2};$

в) $y = \sqrt{x^2 - 144};$

г) $y = \sqrt{20 - x^2}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 9}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$x^2 - 9 \ge 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 3)(x + 3) \ge 0$
Корнями соответствующего уравнения $x^2 - 9 = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -3$ или $x \ge 3$.
В виде промежутка область определения записывается как $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{7 - x^2}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$7 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 7$
Корнями уравнения $7 - x^2 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$. Графиком функции $f(x) = 7 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, значения функции неотрицательны на интервале между корнями, включая сами корни.
Таким образом, $-\sqrt{7} \le x \le \sqrt{7}$.
В виде промежутка область определения записывается как $[-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.
Ответ: $D(y) = [-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.

в) Для функции $y = \sqrt{x^2 - 144}$ подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
Решим неравенство:
$x^2 - 144 \ge 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 12)(x + 12) \ge 0$
Корнями уравнения $x^2 - 144 = 0$ являются $x_1 = -12$ и $x_2 = 12$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится на промежутках вне корней.
Следовательно, $x \le -12$ или $x \ge 12$.
В виде промежутка область определения записывается как $(-\infty; -12] \cup [12; \infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -12] \cup [12; \infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{20 - x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$20 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 20$
Корнями уравнения $20 - x^2 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{20}$ и $x_2 = \sqrt{20}$. Упростим значение корня: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Таким образом, корни равны $x = -2\sqrt{5}$ и $x = 2\sqrt{5}$. Графиком является парабола с ветвями вниз, поэтому неотрицательные значения находятся между корнями.
Следовательно, $-2\sqrt{5} \le x \le 2\sqrt{5}$.
В виде промежутка область определения записывается как $[-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}]$.
Ответ: $D(y) = [-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}]$.