Страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.12 a) $y = \sqrt{2x - x^2}$;

б) $y = \sqrt{\frac{1}{3}x^2 - 3}$;

В) $y = \sqrt{x^2 - 5x}$;

Г) $y = \sqrt{5 - \frac{1}{5}x^2}$.

а) Областью определения функции $y = \sqrt{2x - x^2}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Для нахождения области определения решим неравенство:

$2x - x^2 \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2 - x) \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x(2 - x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $f(x) = -x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Следовательно, выражение $2x - x^2$ принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[0; 2]$.

Ответ: $[0; 2]$.

б) Областью определения функции $y = \sqrt{\frac{1}{3}x^2 - 3}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$\frac{1}{3}x^2 - 3 \ge 0$

Перенесем $-3$ в правую часть и умножим обе части на 3:

$\frac{1}{3}x^2 \ge 3$

$x^2 \ge 9$

Корнями уравнения $x^2=9$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения вне промежутка между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

в) Областью определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$x^2 - 5x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 5) \ge 0$

Корнями уравнения $x(x - 5) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения вне промежутка между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; 0] \cup [5; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [5; \infty)$.

г) Областью определения функции $y = \sqrt{5 - \frac{1}{5}x^2}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$5 - \frac{1}{5}x^2 \ge 0$

Перенесем $\frac{1}{5}x^2$ в правую часть и умножим обе части на 5:

$5 \ge \frac{1}{5}x^2$

$25 \ge x^2$

или

$x^2 \le 25$

Корнями уравнения $x^2 = 25$ являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $f(x) = 5 - \frac{1}{5}x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-5; 5]$.

Ответ: $[-5; 5]$.

8.13 a) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 5};$

б) $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4};$

в) $y = \sqrt{x^2 - 5x + 6};$

г) $y = \sqrt{-2 + x + x^2}.$

Чтобы найти область определения для каждой функции, необходимо решить неравенство, в котором подкоренное выражение больше или равно нулю. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

а) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 5}$

Область определения функции задается неравенством:

$x^2 - 6x + 5 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 6$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5$

Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 6x + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $x^2 - 6x + 5$ принимает неотрицательные значения при $x \le 1$ и при $x \ge 5$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4}$

Область определения функции задается неравенством:

$-x^2 + 3x + 4 \ge 0$

Найдем корни уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$, $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$.

Графиком функции $f(x) = -x^2 + 3x + 4$ является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Следовательно, выражение $-x^2 + 3x + 4$ принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-1, 4]$.

в) $y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$

Область определения функции задается неравенством:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = 5$
• $x_1 \cdot x_2 = 6$

Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, выражение $x^2 - 5x + 6$ неотрицательно, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.

г) $y = \sqrt{-2 + x + x^2}$

Перепишем выражение под корнем в стандартном виде: $y = \sqrt{x^2 + x - 2}$.

Область определения функции задается неравенством:

$x^2 + x - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.

$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$, $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.

Графиком функции $f(x) = x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, выражение $x^2 + x - 2$ принимает неотрицательные значения при $x \le -2$ и при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$.

8.14 a) $y = \frac{1}{\sqrt{x-2}};$

б) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}};$

В) $y = \frac{5}{\sqrt{x+3}};$

Г) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 8x + 15}}.$

а) $y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Область определения функции (ОДЗ) задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$x - 2 > 0$

Перенесем 2 в правую часть:

$x > 2$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

б) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}}$

Для нахождения области определения этой функции, выражение под знаком квадратного корня в знаменателе должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$x^2 - 6x + 8 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $(x - 2)(x - 4) > 0$.

Это неравенство можно решить методом интервалов. Корни $x=2$ и $x=4$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x + 8$ направлены вверх, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < 2$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$

в) $y = \frac{5}{\sqrt{x + 3}}$

Область определения функции определяется условием, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$x + 3 > 0$

Вычтем 3 из обеих частей неравенства:

$x > -3$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, которые больше -3.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$

г) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 8x + 15}}$

Чтобы найти область определения данной функции, выражение, стоящее под корнем в знаменателе, должно быть строго больше нуля.

Решим неравенство:

$x^2 - 8x + 15 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корнями являются числа $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Представим неравенство в виде $(x - 3)(x - 5) > 0$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 15$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Она принимает положительные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, неравенство справедливо для $x < 3$ или $x > 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$

8.15 а) $y = 3x\sqrt{(3x - 5)^{-1}};$

б) $y = -2x\sqrt{(x^2 - 11x - 12)^{-1}};$

в) $y = -\sqrt{(20 - 5x)^{-1}};$

г) $y = \frac{x^2}{4}\sqrt{(-x^2 + 7x - 12)^{-1}}.$

а) Для функции $y = 3x \sqrt{(3x - 5)^{-1}}$, область определения находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Учитывая, что $(3x - 5)^{-1} = \frac{1}{3x - 5}$, получаем, что $\frac{1}{3x - 5} \ge 0$. Поскольку числитель дроби (1) является положительным числом, это неравенство выполняется только тогда, когда знаменатель также положителен. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому условие становится строгим: $3x - 5 > 0$. Решим это линейное неравенство: $3x > 5$, откуда $x > \frac{5}{3}$. Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие $\frac{5}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{5}{3}, +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = -2x \sqrt{(x^2 - 11x - 12)^{-1}}$. Область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $(x^2 - 11x - 12)^{-1} \ge 0$. Перепишем это как $\frac{1}{x^2 - 11x - 12} \ge 0$. Так как числитель положителен, знаменатель должен быть строго больше нуля: $x^2 - 11x - 12 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 11x - 12 = 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 = 13^2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{11 - 13}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{11 + 13}{2} = 12$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 - 11x - 12$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 11x - 12 > 0$ выполняется на интервалах, находящихся за пределами корней.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (12, +\infty)$.

в) Для функции $y = - \sqrt{(20 - 5x)^{-1}}$, или $y = - \sqrt{\frac{1}{20 - 5x}}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{1}{20 - 5x} \ge 0$. Это неравенство эквивалентно условию, что знаменатель строго больше нуля: $20 - 5x > 0$. Решаем неравенство: $20 > 5x$, что равносильно $4 > x$ или $x < 4$. Область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 4, не включая 4.
Ответ: $x \in (-\infty, 4)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2}{4} \sqrt{(-x^2 + 7x - 12)^{-1}}$. Область определения функции определяется условием $(-x^2 + 7x - 12)^{-1} \ge 0$, что можно записать в виде $\frac{1}{-x^2 + 7x - 12} \ge 0$. Это условие выполняется, когда знаменатель строго положителен: $-x^2 + 7x - 12 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $-x^2 + 7x - 12 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы $y = -x^2 + 7x - 12$ направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1 < 0$). Поэтому неравенство $-x^2 + 7x - 12 > 0$ выполняется между корнями.
Ответ: $x \in (3, 4)$.

8.16 a) $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{\sqrt{x + 2}}$;

б) $y = \frac{\sqrt{4x + 6}}{\sqrt{3x + 4}}$;

в) $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 3}}$;

г) $y = \frac{\sqrt{5 - 3x}}{\sqrt{4x + 8}}$.

а) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{x+2}}$ необходимо, чтобы выражение под корнем в числителе было неотрицательным, а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным, так как на ноль делить нельзя.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2 - x \ge 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $2 - x \ge 0 \implies -x \ge -2 \implies x \le 2$

2) $x + 2 > 0 \implies x > -2$

Найдем пересечение решений: необходимо, чтобы $x$ был одновременно меньше или равен 2 и строго больше -2. Это соответствует промежутку $(-2, 2]$.

Ответ: $x \in (-2, 2]$.

б) Для функции $y = \frac{\sqrt{4x+6}}{\sqrt{3x+4}}$ область определения находится из следующих условий:

$\begin{cases} 4x + 6 \ge 0 \\ 3x + 4 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $4x + 6 \ge 0 \implies 4x \ge -6 \implies x \ge -\frac{6}{4} \implies x \ge -1.5$

2) $3x + 4 > 0 \implies 3x > -4 \implies x > -\frac{4}{3}$

Сравним значения: $-\frac{4}{3} \approx -1.333...$. Так как $-1.333... > -1.5$, то более строгим является второе неравенство. Следовательно, общее решение системы — это $x > -\frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}, +\infty)$.

в) Для функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+3}}$ область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$

2) $x + 3 > 0 \implies x > -3$

Пересечением двух условий $x \ge -1$ и $x > -3$ является более сильное условие, то есть $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.

г) Для функции $y = \frac{\sqrt{5-3x}}{\sqrt{4x+8}}$ область определения находится из системы:

$\begin{cases} 5 - 3x \ge 0 \\ 4x + 8 > 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1) $5 - 3x \ge 0 \implies -3x \ge -5 \implies x \le \frac{5}{3}$

2) $4x + 8 > 0 \implies 4x > -8 \implies x > -2$

Общим решением является интервал, где $x$ одновременно больше -2 и меньше или равен $\frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in (-2, \frac{5}{3}]$.

8.17 a) $y = \sqrt{\frac{2-x}{3x+2}};$

Б) $y = \sqrt{\frac{3x+6}{2x+1}};$

В) $y = \sqrt{\frac{2x+1}{x+3}};$

Г) $y = \sqrt{\frac{5-3x}{2x+8}}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{2-x}{3x+2}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$\frac{2-x}{3x+2} \ge 0$

Данное рациональное неравенство решается методом интервалов. Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (2-x)(3x+2) \ge 0, \\ 3x+2 \ne 0. \end{cases}$

Найдем нули числителя и знаменателя:

$2-x = 0 \Rightarrow x = 2$

$3x+2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=2$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x = -\frac{2}{3}$ — выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}, 2]$ и $[2, \infty)$. Парабола $f(x)=(2-x)(3x+2) = -3x^2+4x+4$ имеет ветви, направленные вниз, следовательно, она положительна между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x \in (-\frac{2}{3}, 2]$.

Ответ: $D(y) = (-\frac{2}{3}, 2]$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{3x+6}{2x+1}}$ задается неравенством:

$\frac{3x+6}{2x+1} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$3x+6=0 \Rightarrow x=-2$

$2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

Знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne -\frac{1}{2}$. Отметим точки $-2$ и $-\frac{1}{2}$ на числовой прямой. Парабола $f(x)=(3x+6)(2x+1) = 6x^2+15x+6$ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, она положительна вне интервала между корнями.

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, -2]$ и $(-\frac{1}{2}, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -2] \cup (-\frac{1}{2}, \infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{2x+1}{x+3}}$ задается неравенством:

$\frac{2x+1}{x+3} \ge 0$

Находим нули числителя и знаменателя:

$2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

$x+3=0 \Rightarrow x = -3$

Знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne -3$. Отмечаем точки $-3$ и $-\frac{1}{2}$ на числовой прямой. Парабола $f(x)=(2x+1)(x+3) = 2x^2+7x+3$ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, она положительна вне интервала между корнями.

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, -3)$ и $[-\frac{1}{2}, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup [-\frac{1}{2}, \infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{5-3x}{2x+8}}$ задается неравенством:

$\frac{5-3x}{2x+8} \ge 0$

Находим нули числителя и знаменателя:

$5-3x=0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$

$2x+8=0 \Rightarrow x = -4$

Знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne -4$. Отмечаем точки $-4$ и $\frac{5}{3}$ на числовой прямой. Парабола $f(x)=(5-3x)(2x+8) = -6x^2-14x+40$ имеет ветви, направленные вниз, следовательно, она положительна между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x \in (-4, \frac{5}{3}]$.

Ответ: $D(y) = (-4, \frac{5}{3}]$.