Страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9 Два каменщика выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый каменщик сделал половину этой работы, а затем другой — остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый каменщик в отдельности?

Пусть $t_1$ — это время в часах, за которое первый каменщик выполнит всю работу самостоятельно, а $t_2$ — время в часах, за которое второй каменщик выполнит всю работу самостоятельно. Примем всю работу за 1 единицу.

Тогда производительность первого каменщика равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час), а производительность второго — $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в час).

Из условия задачи составим систему уравнений.

1. Два каменщика вместе выполнили работу за 12 часов. Их совместная производительность равна $v_1 + v_2$. За 12 часов они выполняют всю работу, что можно выразить уравнением:
$(v_1 + v_2) \cdot 12 = 1$
Подставив выражения для производительностей, получаем первое уравнение системы:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

2. Если бы сначала первый каменщик сделал половину работы, а затем второй — остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов.
Время, которое первый каменщик потратит на половину работы (т.е. на $\frac{1}{2}$ работы), составляет $\frac{1/2}{v_1} = \frac{t_1}{2}$ часов.
Время, которое второй каменщик потратит на вторую половину работы, составляет $\frac{1/2}{v_2} = \frac{t_2}{2}$ часов.
Суммарное время выполнения работы в этом случае равно 25 часам, что дает нам второе уравнение:
$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 25$
Умножив обе части на 2, получим:
$t_1 + t_2 = 50$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$$\begin{cases}\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \\t_1 + t_2 = 50\end{cases}$$

Выразим $t_2$ из второго уравнения: $t_2 = 50 - t_1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{50 - t_1} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_1(50 - t_1)$:
$\frac{(50 - t_1) + t_1}{t_1(50 - t_1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{50}{50t_1 - t_1^2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получим:
$50 \cdot 12 = 50t_1 - t_1^2$
$600 = 50t_1 - t_1^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $at^2+bt+c=0$:
$t_1^2 - 50t_1 + 600 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна 50, а их произведение равно 600. Легко подобрать корни: 20 и 30 ($20+30=50$, $20 \cdot 30=600$).
Или через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$
$t_{1} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}$
Получаем два возможных значения для $t_1$:
$t_{1,1} = \frac{50 + 10}{2} = 30$
$t_{1,2} = \frac{50 - 10}{2} = 20$

Теперь найдем соответствующие значения для $t_2$ используя уравнение $t_2 = 50 - t_1$:
1. Если $t_1 = 30$, то $t_2 = 50 - 30 = 20$.
2. Если $t_1 = 20$, то $t_2 = 50 - 20 = 30$.

В обоих случаях мы получаем, что время выполнения работы одним каменщиком составляет 20 часов, а другим — 30 часов.

Ответ: один каменщик мог бы выполнить всю работу за 20 часов, а другой — за 30 часов.

10 Придумайте условие задачи, математической моделью которой является система уравнений

$$\begin{cases} 5x + 3y = 380, \\ \frac{380}{x} - \frac{380}{y} = 3\frac{1}{6}. \end{cases}$$

Условие задачи

Две бригады рабочих изготавливают детали. Если первая бригада будет работать 5 часов, а вторая — 3 часа, то вместе они изготовят 380 деталей. Известно, что для изготовления всей партии из 380 деталей, работая в одиночку, первой бригаде требуется на $3\frac{1}{6}$ часа больше, чем второй. Найдите производительность каждой бригады (в деталях в час).

Решение

Пусть $x$ — производительность первой бригады (деталей/час), а $y$ — производительность второй бригады (деталей/час). Согласно условию задачи, можно составить следующую систему уравнений:

Решим данную систему. Из первого уравнения выразим переменную $y$:

$3y = 380 - 5x \implies y = \frac{380 - 5x}{3}$.

Поскольку производительность $y$ должна быть положительной величиной ($y > 0$), то и числитель дроби должен быть положительным: $380 - 5x > 0$, откуда следует $5x < 380$, то есть $x < 76$. Также по смыслу задачи $x>0$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Переведем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}$.

Вынесем общий множитель 380 за скобки в левой части:

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

Разделим обе части уравнения на 19 (учитывая, что $380 = 20 \cdot 19$):

По правилу пропорции получаем:

Подставим в это уравнение ранее полученное выражение для $y$:

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

Разделим все уравнение на 5 для упрощения:

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{35344} = 188$.

Найдем корни уравнения:

Ранее мы определили, что $x < 76$. Корень $x_1 = 228$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, является посторонним решением.

Единственное подходящее значение $x = 40$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

Таким образом, производительность первой бригады составляет 40 деталей/час, а второй — 60 деталей/час.

Ответ: производительность первой бригады составляет 40 деталей в час, а производительность второй бригады — 60 деталей в час.

1 Является ли пара чисел (-2; 3) решением уравнения

$(x - 1)^2 + y^2 = 18?$

Чтобы проверить, является ли пара чисел $(-2; 3)$ решением уравнения $(x - 1)^2 + y^2 = 18$, нужно подставить значения $x = -2$ и $y = 3$ в данное уравнение. Если в результате получится верное числовое равенство, то пара чисел является решением.

Исходное уравнение: $(x - 1)^2 + y^2 = 18$.

Подставляем $x = -2$ и $y = 3$:

$(-2 - 1)^2 + 3^2 = 18$

Выполняем вычисления в левой части уравнения:

$(-3)^2 + 3^2 = 18$

$9 + 9 = 18$

$18 = 18$

Мы получили верное равенство. Это означает, что пара чисел $(-2; 3)$ удовлетворяет уравнению.

Ответ: да, является.

2 Постройте график уравнения

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16.$

Данное уравнение $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ представляет собой стандартное уравнение окружности.

Общий вид уравнения окружности: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ — это координаты центра окружности, а $r$ — её радиус.

Для того чтобы построить график, необходимо определить параметры окружности из заданного уравнения:

• Сравнивая $(x + 1)^2$ с $(x - h)^2$, получаем $x - h = x + 1$, откуда находим абсциссу центра $h = -1$.
• Сравнивая $(y - 2)^2$ с $(y - k)^2$, получаем $y - k = y - 2$, откуда находим ординату центра $k = 2$.
• Таким образом, центр окружности находится в точке $C(-1, 2)$.
• Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $r^2 = 16$.
• Следовательно, радиус окружности равен $r = \sqrt{16} = 4$.

Построение графика выполняется в следующей последовательности:

1. На координатной плоскости отмечаем центр окружности — точку с координатами $(-1, 2)$.
2. От центра окружности откладываем расстояние, равное радиусу (4 единицы), в четырёх направлениях: вверх, вниз, вправо и влево. Получаем следующие точки на окружности:
   • Верхняя точка: $(-1, 2 + 4) = (-1, 6)$
   • Нижняя точка: $(-1, 2 - 4) = (-1, -2)$
   • Правая точка: $(-1 + 4, 2) = (3, 2)$
   • Левая точка: $(-1 - 4, 2) = (-5, 2)$
3. Соединяем полученные точки плавной кривой, формируя окружность.

Ответ: Графиком уравнения $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ является окружность с центром в точке $(-1, 2)$ и радиусом, равным $4$.

3 Решите графически:

а) систему уравнений

$$ \begin{cases} x^2 + y = 3, \\ y - x + 3 = 0; \end{cases} $$

б) систему неравенств

$$ \begin{cases} x^2 + y \le 3, \\ y - x + 3 \ge 0. \end{cases} $$

а) систему уравнений

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решением системы.

Первое уравнение: $x^2 + y = 3$. Преобразуем его к виду $y = -x^2 + 3$. Это уравнение задает параболу.
- Коэффициент при $x^2$ отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
- Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.

Второе уравнение: $y - x + 3 = 0$. Преобразуем его к виду $y = x - 3$. Это уравнение задает прямую линию. Для построения прямой достаточно двух точек, например:
- если $x = 0$, то $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
- если $x = 3$, то $y = 0$. Точка $(3, 0)$.

Построим графики параболы $y = -x^2 + 3$ и прямой $y = x - 3$ в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках, координаты которых и являются решением системы уравнений.

Из графика видно, что точки пересечения — это $(-3, -6)$ и $(2, -1)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему:

Для точки $(-3, -6)$:
$(-3)^2 + (-6) = 9 - 6 = 3$ (Верно)
$(-6) - (-3) + 3 = -6 + 3 + 3 = 0$ (Верно)

Для точки $(2, -1)$:
$(2)^2 + (-1) = 4 - 1 = 3$ (Верно)
$(-1) - 2 + 3 = -3 + 3 = 0$ (Верно)

Ответ: $(-3, -6)$, $(2, -1)$.

б) систему неравенств

Для графического решения системы неравенств нужно найти на координатной плоскости область, точки которой удовлетворяют каждому из неравенств. Эта область является пересечением множеств решений каждого неравенства.

Первое неравенство: $x^2 + y \le 3$, или $y \le -x^2 + 3$. Решением этого неравенства является множество точек, лежащих на параболе $y = -x^2 + 3$ и ниже неё.

Второе неравенство: $y - x + 3 \ge 0$, или $y \ge x - 3$. Решением этого неравенства является множество точек, лежащих на прямой $y = x - 3$ и выше неё.

Решением системы неравенств является пересечение этих двух областей. Это замкнутая фигура, ограниченная сверху дугой параболы $y = -x^2 + 3$ и снизу отрезком прямой $y = x - 3$. Границы (парабола и прямая) включаются в решение, так как неравенства нестрогие ($\le$ и $\ge$). Точки пересечения границ, найденные в пункте а), — это $(-3, -6)$ и $(2, -1)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область на координатной плоскости, ограниченная сверху параболой $y = -x^2 + 3$ и снизу прямой $y = x - 3$, включая сами границы.

4 Решите методом подстановки систему уравнений $ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 28, \\ x + y = 4. \end{cases} $

Для решения данной системы уравнений методом подстановки необходимо выразить одну переменную через другую из одного из уравнений, а затем подставить полученное выражение в другое уравнение системы.

Дана система:

$ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 28, \\ x + y = 4. \end{cases} $

Из второго, более простого (линейного) уравнения, выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 4 - y$

Теперь подставим это выражение вместо $x$ в первое уравнение системы:

$(4 - y)^2 - 2y^2 = 28$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(16 - 8y + y^2) - 2y^2 = 28$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 2y^2 - 8y + 16 - 28 = 0$

$-y^2 - 8y - 12 = 0$

Для удобства дальнейших вычислений умножим обе части уравнения на $-1$:

$y^2 + 8y + 12 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ay^2 + by + c = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=8$, $c=12$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь, зная значения $y$, найдем соответствующие значения $x$, используя ранее полученное выражение $x = 4 - y$.

1. При $y_1 = -2$:

$x_1 = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$

Таким образом, первая пара решений: $(6; -2)$.

2. При $y_2 = -6$:

$x_2 = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10$

Таким образом, вторая пара решений: $(10; -6)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Для пары $(6; -2)$:

$ \begin{cases} 6^2 - 2(-2)^2 = 36 - 2(4) = 36 - 8 = 28 \\ 6 + (-2) = 4 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Для пары $(10; -6)$:

$ \begin{cases} 10^2 - 2(-6)^2 = 100 - 2(36) = 100 - 72 = 28 \\ 10 + (-6) = 4 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(6; -2), (10; -6)$.

5 Решите методом алгебраического сложения систему уравнений

$\begin{cases} 3x^2 + y^2 = 7, \\ x^2 + 2y^2 = 9. \end{cases}$

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x^2 + y^2 = 7, \\ x^2 + 2y^2 = 9. \end{cases} $
Для решения системы методом алгебраического сложения, преобразуем уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Умножим обе части первого уравнения на $-2$:
$ \begin{cases} -2(3x^2 + y^2) = -2 \cdot 7, \\ x^2 + 2y^2 = 9. \end{cases} $
После умножения система примет вид:
$ \begin{cases} -6x^2 - 2y^2 = -14, \\ x^2 + 2y^2 = 9. \end{cases} $
Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений. Коэффициенты при $y^2$ ($−2$ и $2$) являются противоположными числами, поэтому при сложении это слагаемое исчезнет.
$(-6x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = -14 + 9$
$-5x^2 = -5$
Разделим обе части полученного уравнения на $-5$:
$x^2 = 1$
Из этого уравнения находим возможные значения для $x$:
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Теперь подставим значение $x^2 = 1$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем, например, второе уравнение $x^2 + 2y^2 = 9$:
$1 + 2y^2 = 9$
$2y^2 = 9 - 1$
$2y^2 = 8$
$y^2 = 4$
Из этого уравнения находим возможные значения для $y$:
$y_1 = 2$, $y_2 = -2$
Таким образом, решениями системы являются все возможные комбинации найденных значений $x$ и $y$:
$(1; 2)$, $(1; -2)$, $(-1; 2)$ и $(-1; -2)$.

Ответ: $(1; 2), (1; -2), (-1; 2), (-1; -2)$.

6 Решите методом замены переменных систему уравнений

$$\begin{cases} (xy)^2 - 3xy = 18, \\ 4x + y = 1. \end{cases}$$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (xy)^2 - 3xy = 18, \\ 4x + y = 1. \end{cases} $

Для решения этой системы методом замены переменных, обратим внимание на первое уравнение. Оно содержит только выражение $xy$. Сделаем замену: пусть $t = xy$.

Тогда первое уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 3t = 18$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$t^2 - 3t - 18 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-18$. Подбором находим корни:

$t_1 = 6$ и $t_2 = -3$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$. Для этого рассмотрим два случая, соответствующие найденным значениям $t$.

Случай 1: $xy = 6$

Из второго уравнения исходной системы ($4x + y = 1$) выразим $y$ через $x$:

$y = 1 - 4x$

Подставим это выражение в уравнение $xy = 6$:

$x(1 - 4x) = 6$

$x - 4x^2 = 6$

$4x^2 - x + 6 = 0$

Найдем дискриминант $D$ полученного квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 1 - 96 = -95$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае система уравнений не имеет действительных решений.

Случай 2: $xy = -3$

Снова используем выражение $y = 1 - 4x$ и подставим его в уравнение $xy = -3$:

$x(1 - 4x) = -3$

$x - 4x^2 = -3$

$4x^2 - x - 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя формулу $y = 1 - 4x$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1 - 4(1) = 1 - 4 = -3$

Таким образом, первая пара решений: $(1, -3)$.

Для $x_2 = -\frac{3}{4}$:

$y_2 = 1 - 4\left(-\frac{3}{4}\right) = 1 + 3 = 4$

Таким образом, вторая пара решений: $(-\frac{3}{4}, 4)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему.

Для $(1, -3)$:

$(1 \cdot (-3))^2 - 3(1 \cdot (-3)) = (-3)^2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18$.

$4(1) + (-3) = 4 - 3 = 1$.

Верно.

Для $(-\frac{3}{4}, 4)$:

$((-\frac{3}{4}) \cdot 4)^2 - 3((-\frac{3}{4}) \cdot 4) = (-3)^2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18$.

$4(-\frac{3}{4}) + 4 = -3 + 4 = 1$.

Верно.

Ответ: $(1, -3)$, $(-\frac{3}{4}, 4)$.