Страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5. Укажите, какие из представленных ниже соотношений являются истинными высказываниями, а какие — ложными:

а) $3,5 \in Q$;

б) $3,5 \in Z$;

в) $Q \subset Z$;

г) $Z \subset Q$;

д) $0 \in N$;

е) $0 \in Z$;

ж) $0 \in Q$;

з) $(-2; 0) \in [-2; 0]$;

и) $(-2; 0) \subset [-2; 0]$;

к) $(2; 5] \subset [2; 5)$;

л) $(2; 5] \not\subset [2; 5)$;

м) $(2; 5] \subset [2; 5]$;

н) $(2; 5] \not\subset [2; 5]$.

а) Высказывание $3,5 \in \mathbb{Q}$ утверждает, что число 3,5 принадлежит множеству рациональных чисел $(\mathbb{Q})$. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Число 3,5 можно записать как дробь $35/10$ или, после сокращения, $7/2$. Так как 7 и 2 — целые числа и знаменатель не равен нулю, 3,5 является рациональным числом. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

б) Высказывание $3,5 \in \mathbb{Z}$ утверждает, что число 3,5 принадлежит множеству целых чисел $(\mathbb{Z})$. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля $(\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots)$. Число 3,5 не является целым. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

в) Высказывание $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$ утверждает, что множество рациональных чисел является подмножеством множества целых чисел. Это означало бы, что каждое рациональное число является целым. Однако, как мы видели в пункте а), число 3,5 — рациональное, но, как мы видели в пункте б), оно не является целым. Значит, не все рациональные числа являются целыми. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

г) Высказывание $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ утверждает, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел. Это означает, что любое целое число является также и рациональным. Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $z/1$. Это представление соответствует определению рационального числа. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

д) Высказывание $0 \in \mathbb{N}$ утверждает, что 0 принадлежит множеству натуральных чисел $(\mathbb{N})$. В стандартном определении, принятом в российской школьной программе, множество натуральных чисел — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \dots$. Ноль в это множество не входит. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

е) Высказывание $0 \in \mathbb{Z}$ утверждает, что 0 принадлежит множеству целых чисел. По определению, множество целых чисел включает ноль. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

ж) Высказывание $0 \in \mathbb{Q}$ утверждает, что 0 принадлежит множеству рациональных чисел. Ноль можно представить в виде дроби, например, $0/1$. Это соответствует определению рационального числа. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

з) Высказывание $(-2; 0) \in [-2; 0]$ утверждает, что интервал $(-2; 0)$ является элементом отрезка $[-2; 0]$. Знак $\in$ означает принадлежность элемента множеству. Элементами множества $[-2; 0]$ являются числа (например, $-1,5$ или $0$), а не другие множества (интервалы). Интервал $(-2; 0)$ — это множество, а не число. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

и) Высказывание $(-2; 0) \subset [-2; 0]$ утверждает, что интервал $(-2; 0)$ является подмножеством отрезка $[-2; 0]$. Это означает, что любой элемент из интервала $(-2; 0)$ также содержится в отрезке $[-2; 0]$. Интервал $(-2; 0)$ — это множество всех чисел $x$, таких что $-2 < x < 0$. Отрезок $[-2; 0]$ — это множество всех чисел $x$, таких что $-2 \le x \le 0$. Любое число, удовлетворяющее условию $-2 < x < 0$, также удовлетворяет и условию $-2 \le x \le 0$. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

к) Высказывание $(2; 5] \subset [2; 5)$ утверждает, что полуинтервал $(2; 5]$ является подмножеством полуинтервала $[2; 5)$. Полуинтервал $(2; 5]$ включает число 5. Полуинтервал $[2; 5)$ включает все числа от 2 (включительно) до 5 (не включая 5). Поскольку число 5 принадлежит множеству $(2; 5]$, но не принадлежит множеству $[2; 5)$, то первое множество не является подмножеством второго. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложное.

л) Высказывание $(2; 5] \not\subset [2; 5)$ утверждает, что полуинтервал $(2; 5]$ не является подмножеством полуинтервала $[2; 5)$. Как было показано в предыдущем пункте, число 5 является элементом множества $(2; 5]$, но не является элементом множества $[2; 5)$. Это доказывает, что $(2; 5]$ не является подмножеством $[2; 5)$. Следовательно, данное высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

м) Высказывание $(2; 5] \subset [2; 5]$ утверждает, что полуинтервал $(2; 5]$ является подмножеством отрезка $[2; 5]$. Множество $(2; 5]$ содержит все числа $x$, такие что $2 < x \le 5$. Множество $[2; 5]$ содержит все числа $x$, такие что $2 \le x \le 5$. Любое число, удовлетворяющее первому условию, удовлетворяет и второму. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

н) Высказывание $(2; 5] \not\subset [2; 5]$ утверждает, что полуинтервал $(2; 5]$ не является подмножеством отрезка $[2; 5]$. В предыдущем пункте мы установили, что $(2; 5]$ является подмножеством $[2; 5]$. Таким образом, утверждение о том, что оно не является подмножеством, ложно.
Ответ: Ложное.

6. Выпишите все двухэлементные подмножества множества ${1, 2, 3, 4, 5}$.

Задача состоит в том, чтобы найти все подмножества, состоящие ровно из двух элементов, для заданного множества $M = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Важно помнить, что в множествах порядок элементов не имеет значения, поэтому подмножество $\{1, 2\}$ — это то же самое, что и подмножество $\{2, 1\}$.

Такие подмножества называются сочетаниями. Нам нужно найти все сочетания из 5 элементов по 2. Общее количество таких сочетаний можно вычислить по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее число элементов в множестве ($n=5$), а $k$ — число элементов в подмножестве ($k=2$).

Подставим наши значения в формулу, чтобы узнать, сколько всего должно получиться подмножеств:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$.
Итак, мы должны найти 10 двухэлементных подмножеств.

Чтобы выписать все подмножества systematically и ничего не пропустить, будем формировать пары. Возьмем первый элемент множества (1) и составим с ним все возможные пары. Затем возьмем второй элемент (2) и составим пары с оставшимися элементами, и так далее.

1. Подмножества, содержащие элемент 1:
$\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}$

2. Подмножества, содержащие элемент 2 (пару с 1 уже учли, поэтому начинаем с 3):
$\{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}$

3. Подмножества, содержащие элемент 3 (пары с 1 и 2 уже учтены):
$\{3, 4\}, \{3, 5\}$

4. Подмножество, содержащее элемент 4 (пары с 1, 2, 3 уже учтены):
$\{4, 5\}$

Все возможные пары составлены. Мы получили ровно 10 подмножеств, как и предсказывала формула.

Ответ: $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}$.

7. Выпишите все подмножества множества ${1, 3, 5}$. Сколько подмножеств получилось? Если меньше 8, постарайтесь найти утерянные подмножества.

Для того чтобы найти и выписать все подмножества множества $A = \{1, 3, 5\}$, нужно перечислить все возможные комбинации его элементов. Подмножество — это множество, все элементы которого содержатся в исходном множестве. Важно не забыть пустое множество (которое не содержит элементов) и само исходное множество, которые по определению также являются его подмножествами.

Выпишите все подмножества множества {1, 3, 5}.

Для удобства и чтобы ничего не пропустить, перечислим подмножества, сгруппировав их по количеству элементов:
• Подмножества из 0 элементов: $\emptyset$
• Подмножества из 1 элемента: $\{1\}$, $\{3\}$, $\{5\}$
• Подмножества из 2 элементов: $\{1, 3\}$, $\{1, 5\}$, $\{3, 5\}$
• Подмножества из 3 элементов: $\{1, 3, 5\}$

Таким образом, полный список всех подмножеств: $\emptyset$, $\{1\}$, $\{3\}$, $\{5\}$, $\{1, 3\}$, $\{1, 5\}$, $\{3, 5\}$, $\{1, 3, 5\}$.

Сколько подмножеств получилось?

В результате подсчета всех выписанных выше уникальных подмножеств получилось 8.

Если меньше 8, постарайтесь найти утерянные подмножества.

Полученное количество (8) совпадает с ожидаемым. Общее число подмножеств для конечного множества, содержащего $n$ элементов, вычисляется по формуле $2^n$. Для множества $\{1, 3, 5\}$ количество элементов $n=3$, следовательно, число всех подмножеств равно $2^3 = 8$. Это подтверждает, что все подмножества были найдены и утерянных нет.

Ответ: Всеми подмножествами множества $\{1, 3, 5\}$ являются: $\emptyset$, $\{1\}$, $\{3\}$, $\{5\}$, $\{1, 3\}$, $\{1, 5\}$, $\{3, 5\}$, $\{1, 3, 5\}$. Общее количество подмножеств — 8.

8. Что называют пересечением множеств $A$ и $B$? Как обозначают пересечение множеств $A$ и $B$?

Что называют пересечением множеств A и B?

Пересечением двух множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Иными словами, это общая часть двух множеств.
Элемент $x$ принадлежит пересечению множеств $A$ и $B$ тогда и только тогда, когда $x$ принадлежит $A$ и $x$ принадлежит $B$.
Формально это записывается так:
$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$
Например, если даны два множества: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5, 6\}$, то их пересечением будет множество $A \cap B = \{3, 4\}$, так как только числа 3 и 4 являются общими для обоих множеств.
Если у множеств нет общих элементов, их пересечение является пустым множеством, что обозначается как $A \cap B = \emptyset$.

Ответ: Пересечением множеств $A$ и $B$ называют множество, содержащее все те и только те элементы, которые принадлежат как множеству $A$, так и множеству $B$.

Как обозначают пересечение множеств A и B?

Для обозначения операции пересечения множеств используется специальный символ $ \cap $, который называется знаком пересечения.
Запись пересечения множеств $A$ и $B$ выглядит следующим образом:
$A \cap B$
Данное выражение читается как «пересечение множеств $A$ и $B$» или кратко «$A$ пересечение $B$».

Ответ: Пересечение множеств $A$ и $B$ обозначают как $A \cap B$.

9. Что называют объединением множеств $A$ и $B$? Как обозначают объединение множеств $A$ и $B$?

Что называют объединением множеств А и В?

Объединением (или, в некоторых контекстах, суммой) двух множеств $A$ и $B$ называется новое множество, которое включает в себя все без исключения элементы, принадлежащие множеству $A$, и все без исключения элементы, принадлежащие множеству $B$. Если какой-либо элемент принадлежит обоим множествам одновременно, в объединение он включается только один раз.

Иными словами, элемент $x$ является элементом объединения множеств $A$ и $B$ в том и только в том случае, если $x$ принадлежит $A$ или $x$ принадлежит $B$. Логическая связка "или" здесь используется в неисключающем смысле, то есть элемент может принадлежать и обоим множествам сразу.

Формальное определение объединения множеств записывается следующим образом:$A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$где $\lor$ — это знак дизъюнкции, или логического "ИЛИ".

Пример:Пусть даны два множества: $A = \{1, 2, 4, 8\}$ и $B = \{4, 8, 16, 32\}$.Тогда их объединением будет множество $A \cup B = \{1, 2, 4, 8, 16, 32\}$.

Ответ: Объединением множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Как обозначают объединение множеств А и В?

Для обозначения операции объединения множеств в математике и теории множеств используется специальный символ $\cup$. Этот символ помещается между обозначениями множеств.

Таким образом, объединение двух множеств, которые обозначены как $A$ и $B$, записывается в виде выражения:$A \cup B$

Читается это выражение как "А объединение В" или "объединение множеств А и В".

Ответ: Объединение множеств $A$ и $B$ обозначают как $A \cup B$.

10. Дано: $A = [1; 5]$, $B = (3; 8)$. Найдите:

а) $A \cup B$;

б) $A \cap B$.

Даны два числовых множества (промежутка): $A = [1; 5]$ и $B = (3; 8)$. Множество $A$ представляет собой замкнутый интервал (отрезок), включающий все действительные числа от 1 до 5, включая концы: $1 \le x \le 5$. Множество $B$ представляет собой открытый интервал, включающий все действительные числа от 3 до 8, не включая концы: $3 < x < 8$.

Объединение множеств $A \cup B$ содержит все элементы, которые принадлежат множеству $A$, или множеству $B$, или обоим множествам одновременно. Чтобы найти объединение, мы можем мысленно или на числовой оси расположить оба промежутка.

Промежуток $A$ начинается с 1, а промежуток $B$ заканчивается 8. Поскольку эти промежутки пересекаются (общая часть от 3 до 5), их объединение будет представлять собой один непрерывный промежуток. Наименьшее значение в объединении будет наименьшим значением из обоих множеств, то есть 1 (из множества $A$). Так как 1 включена в множество $A$ (квадратная скобка), она будет включена и в объединение. Наибольшее значение в объединении будет наибольшим значением из обоих множеств, то есть 8 (из множества $B$). Так как 8 не включена в множество $B$ (круглая скобка), она не будет включена и в объединение. Таким образом, объединение $A \cup B$ включает все числа от 1 (включительно) до 8 (не включительно).

Ответ: $A \cup B = [1; 8)$.

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Мы ищем числа $x$, для которых выполняются оба условия: $1 \le x \le 5$ (принадлежность $A$) и $3 < x < 8$ (принадлежность $B$).

Объединим эти два условия в одно двойное неравенство. Число $x$ должно быть больше 3 (из условия для $B$) и меньше или равно 5 (из условия для $A$). Получаем: $3 < x \le 5$. Этот промежуток и является пересечением множеств $A$ и $B$. Левая граница (3) не включается, так как она не принадлежит множеству $B$. Правая граница (5) включается, так как она принадлежит множеству $A$ и также попадает в интервал множества $B$ (ведь $3 < 5 < 8$). Следовательно, пересечение — это полуинтервал от 3 (не включительно) до 5 (включительно).

Ответ: $A \cap B = (3; 5]$.

7.32 Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. При этом $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9.

Сумма цифр этого числа равна $a + b$, а их произведение — $a \cdot b$.

Исходя из первого условия задачи, если разделить число на сумму его цифр, то в частном получится 7, а в остатке 6. Математически это выражается так:

$10a + b = 7 \cdot (a + b) + 6$

Раскроем скобки и упростим это выражение:

$10a + b = 7a + 7b + 6$
$10a - 7a = 7b - b + 6$
$3a = 6b + 6$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a = 2b + 2$

Из второго условия, если это же число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке — число, равное сумме цифр. Запишем это в виде второго уравнения:

$10a + b = 3 \cdot (a \cdot b) + (a + b)$

Упростим это уравнение, вычитая $a + b$ из обеих частей:

$10a + b - (a+b) = 3ab$
$9a = 3ab$

Поскольку $a$ является цифрой десятков двузначного числа, она не может быть равна нулю ($a \neq 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $3a$:

$\frac{9a}{3a} = \frac{3ab}{3a}$
$3 = b$

Теперь мы знаем значение цифры единиц $b = 3$. Подставим это значение в первое уравнение, которое мы вывели ($a = 2b + 2$):

$a = 2 \cdot 3 + 2$
$a = 6 + 2$
$a = 8$

Таким образом, мы нашли обе цифры: $a = 8$ (десятки) и $b = 3$ (единицы). Искомое число — 83.

Выполним проверку:

1. Деление на сумму цифр ($8+3=11$):
$83 \div 11 = 7$ (остаток $83 - 7 \cdot 11 = 6$). Условие выполнено.

2. Деление на произведение цифр ($8 \cdot 3=24$):
$83 \div 24 = 3$ (остаток $83 - 3 \cdot 24 = 11$). Остаток (11) равен сумме цифр (11). Условие выполнено.

Ответ: 83

7.33 На участке одноколейной железной дороги длиной 10 км надо уложить рельсы (две полосы). Для укладки имеются рельсы длиной 25 м и 12,5 м. Если уложить все рельсы длиной 25 м, то надо будет израсходовать половину имеющегося количества рельсов длиной 12,5 м. Если же уложить все имеющиеся рельсы длиной 12,5 м, то рельсов длиной 25 м надо уложить $\frac{2}{3}$ их количества.

Определите общее количество имеющихся рельсов.

1. Определение общей длины рельсов
Длина участка одноколейной железной дороги составляет 10 км. Так как рельсы укладываются в две полосы (по одной с каждой стороны колеи), общая длина рельсового полотна, которое необходимо уложить, в два раза больше длины участка.
Общая длина = $10 \text{ км} \times 2 = 20 \text{ км}$.
Поскольку длина рельсов указана в метрах, переведем общую длину в метры:
$20 \text{ км} = 20 \times 1000 \text{ м} = 20000 \text{ м}$.

2. Составление системы уравнений
Введем переменные для обозначения количества рельсов каждого типа:

• Пусть $x$ — это общее количество имеющихся рельсов длиной 25 м.
• Пусть $y$ — это общее количество имеющихся рельсов длиной 12,5 м.

На основе условий задачи составим два уравнения.

Условие 1: Если уложить все рельсы длиной 25 м (их количество $x$), то надо будет израсходовать половину имеющегося количества рельсов длиной 12,5 м (то есть $\frac{1}{2}y$). Суммарная длина этих рельсов должна покрыть 20000 м.
Уравнение 1: $25 \cdot x + 12.5 \cdot \frac{y}{2} = 20000$

Условие 2: Если уложить все имеющиеся рельсы длиной 12,5 м (их количество $y$), то рельсов длиной 25 м надо уложить $\frac{2}{3}$ их количества (то есть $\frac{2}{3}x$). Суммарная длина также составит 20000 м.
Уравнение 2: $12.5 \cdot y + 25 \cdot \frac{2}{3}x = 20000$

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} 25x + 6.25y = 20000 \\ \frac{50}{3}x + 12.5y = 20000 \end{cases}$

3. Решение системы уравнений
Для удобства решения умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ в обоих уравнениях стали одинаковыми.
$2 \cdot (25x + 6.25y) = 2 \cdot 20000$
$50x + 12.5y = 40000$

Теперь система выглядит так: $\begin{cases} 50x + 12.5y = 40000 \\ \frac{50}{3}x + 12.5y = 20000 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(50x + 12.5y) - (\frac{50}{3}x + 12.5y) = 40000 - 20000$
$50x - \frac{50}{3}x = 20000$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{150x - 50x}{3} = 20000$
$\frac{100x}{3} = 20000$
$100x = 20000 \cdot 3$
$100x = 60000$
$x = \frac{60000}{100} = 600$
Итак, количество рельсов длиной 25 м равно 600.

Теперь подставим значение $x=600$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$\frac{50}{3}(600) + 12.5y = 20000$
$50 \cdot 200 + 12.5y = 20000$
$10000 + 12.5y = 20000$
$12.5y = 20000 - 10000$
$12.5y = 10000$
$y = \frac{10000}{12.5} = 800$
Количество рельсов длиной 12,5 м равно 800.

4. Определение общего количества рельсов
Чтобы найти общее количество имеющихся рельсов, сложим количество рельсов каждого типа:
Общее количество = $x + y = 600 + 800 = 1400$.

Ответ: 1400.

7.34 Велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь длиной 120 км он затрачивает времени на 3 ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста.

По условию, велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист. Выразим эту разницу в скоростях в км/ч.

600 м = 0,6 км. Разница в расстоянии за минуту составляет 0,6 км.

Поскольку в одном часе 60 минут, разница в скоростях будет:
$0,6 \text{ км/мин} \times 60 \text{ мин/ч} = 36 \text{ км/ч}$.

Это означает, что скорость мотоциклиста на 36 км/ч больше скорости велосипедиста. Таким образом, скорость мотоциклиста составляет $(x + 36)$ км/ч.

Весь путь составляет 120 км. Время, которое затратит велосипедист, вычисляется по формуле $t = S/v$:
$t_{велосипедиста} = \frac{120}{x}$ часов.

Время, которое затратит мотоциклист:
$t_{мотоциклиста} = \frac{120}{x + 36}$ часов.

Известно, что велосипедист затрачивает на путь на 3 часа больше, чем мотоциклист. На основе этого составим уравнение:

$t_{велосипедиста} - t_{мотоциклиста} = 3$

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 36} = 3$

Для удобства решения разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 36} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 36)$:

$\frac{40(x + 36) - 40x}{x(x + 36)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{40x + 1440 - 40x}{x^2 + 36x} = 1$

$\frac{1440}{x^2 + 36x} = 1$

Из этого следует (при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne -36$):

$x^2 + 36x = 1440$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 36x - 1440 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 1296 + 5760 = 7056$

$\sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 + 84}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 - 84}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста составляет 24 км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

$x + 36 = 24 + 36 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста — 24 км/ч, скорость мотоциклиста — 60 км/ч.

7.35 Автомобили двух моделей выехали из пунктов А и В навстречу друг другу, причём автомобиль первой модели вышел из А на 15 с раньше. Пройдя расстояние AB, равное 60 м, каждый сразу повернул обратно и вернулся к месту старта. Найдите скорость каждого автомобиля, если первая встреча между ними произошла через 21 с, а вторая — через 45 с после выхода автомобиля первой модели.

Обозначим скорость автомобиля первой модели (выехавшего из пункта А) как $v_1$, а скорость автомобиля второй модели (выехавшего из пункта В) как $v_2$. Расстояние между пунктами A и B равно $S = 60$ м.

Время будем отсчитывать с момента выезда первого автомобиля. Таким образом, первый автомобиль находится в пути время $t$, а второй, выехавший на 15 с позже, находится в пути время $(t-15)$ с.

Первая встреча

Первая встреча произошла через $t_1 = 21$ с после выезда первого автомобиля. К этому моменту автомобили двигались навстречу друг другу. Первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 21v_1$. Второй автомобиль к этому моменту был в пути $21 - 15 = 6$ с и проехал расстояние $S_2 = v_2 \cdot (21-15) = 6v_2$.

Так как они встретились, двигаясь навстречу, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пунктами А и В:

$S_1 + S_2 = S$

$21v_1 + 6v_2 = 60$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$7v_1 + 2v_2 = 20$ (1)

Вторая встреча

Вторая встреча произошла через $t_2 = 45$ с после выезда первого автомобиля. К этому моменту каждый автомобиль доехал до противоположного пункта и, развернувшись, поехал обратно.

Общий путь, пройденный обоими автомобилями к моменту второй встречи, равен трем расстояниям $AB$. То есть, сначала они вместе преодолели расстояние $S$, чтобы встретиться в первый раз. Затем, чтобы встретиться во второй раз, им суммарно нужно проехать еще $2S$. Общий путь составляет $S + 2S = 3S$.

К моменту времени $t_2 = 45$ с первый автомобиль проехал расстояние $S_{1,общ} = v_1 \cdot t_2 = 45v_1$.

Второй автомобиль к этому моменту был в пути $45 - 15 = 30$ с и проехал расстояние $S_{2,общ} = v_2 \cdot (45 - 15) = 30v_2$.

Сумма этих расстояний равна $3S$:

$S_{1,общ} + S_{2,общ} = 3S$

$45v_1 + 30v_2 = 3 \cdot 60$

$45v_1 + 30v_2 = 180$

Разделим обе части уравнения на 15 для упрощения:

$3v_1 + 2v_2 = 12$ (2)

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 7v_1 + 2v_2 = 20 \\ 3v_1 + 2v_2 = 12 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(7v_1 + 2v_2) - (3v_1 + 2v_2) = 20 - 12$

$4v_1 = 8$

$v_1 = 2$ м/с

Подставим найденное значение $v_1$ во второе уравнение, чтобы найти $v_2$:

$3(2) + 2v_2 = 12$

$6 + 2v_2 = 12$

$2v_2 = 6$

$v_2 = 3$ м/с

Ответ: скорость автомобиля первой модели равна 2 м/с, а скорость автомобиля второй модели — 3 м/с.

7.36 Из пункта А в одном и том же направлении вышли два лыжника, причём второй стартовал на 6 мин позже первого и догнал первого в 3 км от старта. Дойдя до отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого в 4,6 км от старта. Найдите скорости лыжников.

Пусть $v_1$ (км/ч) – скорость первого лыжника, а $v_2$ (км/ч) – скорость второго лыжника.

Второй лыжник стартовал на 6 минут позже первого. Выразим эту разницу во времени в часах:
$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0,1 \text{ ч}$.

Первая встреча лыжников произошла на расстоянии 3 км от старта. К этому моменту первый лыжник был в пути $t_1 = \frac{3}{v_1}$ часа, а второй – $t_2 = \frac{3}{v_2}$ часа. Так как второй лыжник стартовал позже, его время в пути было на 0,1 часа меньше. Составим первое уравнение:
$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = 0,1$

Дойдя до отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 4,6 км от старта. К моменту второй встречи:
- Первый лыжник прошел 4,6 км. Его общее время в пути с момента старта составило $T_1 = \frac{4,6}{v_1}$ часа.
- Второй лыжник к этому моменту прошел 5 км вперед и $5 - 4,6 = 0,4$ км назад. Общий пройденный им путь равен $5 + 0,4 = 5,4$ км. Его общее время в пути составило $T_2 = \frac{5,4}{v_2}$ часа.
С момента старта первого лыжника прошло на 0,1 часа больше, чем с момента старта второго. Составим второе уравнение:
$\frac{4,6}{v_1} - \frac{5,4}{v_2} = 0,1$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = 0,1 \\ \frac{4,6}{v_1} - \frac{5,4}{v_2} = 0,1 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, можем приравнять их левые части:
$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = \frac{4,6}{v_1} - \frac{5,4}{v_2}$
Перенесем слагаемые с $v_1$ в одну сторону, а с $v_2$ в другую:
$\frac{5,4}{v_2} - \frac{3}{v_2} = \frac{4,6}{v_1} - \frac{3}{v_1}$
$\frac{2,4}{v_2} = \frac{1,6}{v_1}$
Отсюда находим соотношение между скоростями:
$2,4 \cdot v_1 = 1,6 \cdot v_2$
$v_2 = \frac{2,4}{1,6} v_1 = 1,5 v_1$

Подставим полученное выражение для $v_2$ в первое уравнение системы:
$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{1,5 v_1} = 0,1$
$\frac{3}{v_1} - \frac{2}{v_1} = 0,1$
$\frac{1}{v_1} = 0,1$
$v_1 = \frac{1}{0,1} = 10$ (км/ч).

Теперь найдем скорость второго лыжника:
$v_2 = 1,5 \cdot v_1 = 1,5 \cdot 10 = 15$ (км/ч).

Ответ: скорость первого лыжника 10 км/ч, скорость второго лыжника 15 км/ч.

7.37 Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 70 км от пункта А, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист со скоростью движения 50 км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста в 20 км от пункта А. Прибыв в В, мотоциклист через 36 мин выехал обратно и встретился с велосипедистом спустя 3 ч 20 мин после выезда велосипедиста из А. Найдите скорость велосипедиста.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_в$ (в км/ч) — искомая скорость велосипедиста, а $t_з$ (в часах) — время задержки, то есть время, на которое мотоциклист выехал позже велосипедиста.

Из условия задачи известны:

• Расстояние между пунктами А и В: $S = 70$ км.
• Скорость мотоциклиста: $v_м = 50$ км/ч.

Этап 1: Первая встреча.
Первая встреча произошла на расстоянии $S_1 = 20$ км от пункта А.
Время, которое велосипедист затратил, чтобы проехать это расстояние, равно $t_в = \frac{S_1}{v_в} = \frac{20}{v_в}$ ч.
Мотоциклист проехал то же расстояние. Время, которое он затратил, равно $t_м = \frac{S_1}{v_м} = \frac{20}{50} = 0.4$ ч.
Так как мотоциклист выехал на $t_з$ часов позже, то к моменту встречи он был в пути на $t_з$ часов меньше, чем велосипедист. Таким образом, можно составить первое уравнение:
$t_в - t_м = t_з$
$\frac{20}{v_в} - 0.4 = t_з$

Этап 2: Вторая встреча.
Вторая встреча произошла через $T = 3$ ч 20 мин после выезда велосипедиста из А. Переведем это время в часы:
$T = 3 \frac{20}{60} \text{ ч} = 3 \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3}$ ч.
За это время велосипедист, двигаясь без остановок, проехал от пункта А расстояние:
$S_в = v_в \cdot T = v_в \cdot \frac{10}{3}$ км.

Теперь определим положение мотоциклиста в момент времени $T$. Его движение состоит из нескольких частей:

1. Движение от А до В: время в пути $t_{АВ} = \frac{S}{v_м} = \frac{70}{50} = 1.4$ ч.
2. Остановка в пункте В: время остановки $t_{ост} = 36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ ч} = 0.6$ ч.
3. Движение обратно из В в сторону А.

Мотоциклист выехал из А в момент времени $t_з$ (отсчитывая от старта велосипедиста). Он прибыл в В в момент $t_з + t_{АВ} = t_з + 1.4$ ч. Выехал обратно из В в момент $t_з + 1.4 + t_{ост} = t_з + 1.4 + 0.6 = t_з + 2$ ч.
Вторая встреча произошла в момент $T = \frac{10}{3}$ ч. Значит, время движения мотоциклиста на обратном пути (от В до второй встречи) составило:
$t_{обр} = T - (t_з + 2) = \frac{10}{3} - t_з - 2 = \frac{10-6}{3} - t_з = \frac{4}{3} - t_з$ ч.
За это время он проехал расстояние $S_{обр} = v_м \cdot t_{обр} = 50 \left(\frac{4}{3} - t_з\right)$ км.
Положение мотоциклиста в момент второй встречи относительно пункта А:
$S_м = S - S_{обр} = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - t_з\right)$ км.

Этап 3: Составление и решение системы уравнений.
В момент второй встречи велосипедист и мотоциклист находились в одной точке, значит $S_в = S_м$.
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - t_з\right)$
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $v_в$ и $t_з$:
1) $t_з = \frac{20}{v_в} - 0.4$
2) $\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - t_з\right)$
Подставим выражение для $t_з$ из первого уравнения во второе:
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - \left(\frac{20}{v_в} - 0.4\right)\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - \frac{20}{v_в} + 0.4\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} + \frac{2}{5} - \frac{20}{v_в}\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{20+6}{15} - \frac{20}{v_в}\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{26}{15} - \frac{20}{v_в}\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - \frac{50 \cdot 26}{15} + \frac{50 \cdot 20}{v_в}$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - \frac{10 \cdot 26}{3} + \frac{1000}{v_в}$
$\frac{10}{3} v_в = \frac{210 - 260}{3} + \frac{1000}{v_в}$
$\frac{10}{3} v_в = -\frac{50}{3} + \frac{1000}{v_в}$
Умножим обе части уравнения на $3v_в$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $v_в \neq 0$):
$10v_в^2 = -50v_в + 3000$
$10v_в^2 + 50v_в - 3000 = 0$
Разделим уравнение на 10:
$v_в^2 + 5v_в - 300 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$
Найдем корни уравнения:
$v_{в1} = \frac{-5 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$v_{в2} = \frac{-5 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Поскольку скорость не может быть отрицательной, единственным физически осмысленным решением является $v_в = 15$.

Ответ: 15 км/ч.