Страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют системой неравенств?

1. Системой неравенств называют объединение двух или более неравенств с одной или несколькими переменными, для которых требуется найти общее множество решений. Решением системы неравенств является значение переменной (или набор значений переменных), которое удовлетворяет каждому неравенству в системе одновременно.

Другими словами, если у нас есть несколько неравенств, и мы ищем такие значения неизвестных, которые делают каждое из этих неравенств верным, то мы говорим о решении системы неравенств. Системы неравенств принято записывать с помощью фигурной скобки, которая символизирует логическое "И".

Что значит "решить систему неравенств"?

Решить систему неравенств — это значит найти множество всех её решений или доказать, что решений не существует. Это множество является пересечением множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему.

Пример:

Рассмотрим систему из двух линейных неравенств с одной переменной $x$:

$\begin{cases} x + 1 > 3 \\ 2x < 10 \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, нужно решить каждое неравенство по отдельности:

1. Решаем первое неравенство: $x + 1 > 3$. Вычитаем 1 из обеих частей: $x > 2$. Решением является числовой промежуток $(2; +\infty)$.

2. Решаем второе неравенство: $2x < 10$. Делим обе части на 2: $x < 5$. Решением является числовой промежуток $(-\infty; 5)$.

Теперь нужно найти пересечение этих двух множеств решений. Мы ищем числа, которые одновременно больше 2 и меньше 5. На числовой оси это будет интервал, где штриховки для обоих решений пересекаются.

Пересечением промежутков $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 5)$ является промежуток $(2; 5)$.

Таким образом, любое число из интервала $(2; 5)$ является решением данной системы неравенств.

Ответ: Системой неравенств называют два или более неравенства, для которых необходимо найти все общие решения, то есть все значения переменных, которые обращают каждое из неравенств системы в верное числовое неравенство.

2. Если множество A является решением неравенства $f(x) > 0$, а множество B — решением неравенства $g(x) < 0$, то что собой представляет решение системы неравенств $\begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0? \end{cases}$

По условию задачи, множество $A$ — это совокупность всех значений $x$, для которых выполняется неравенство $f(x) > 0$. В виде записи теории множеств это выглядит так: $A = \{x \mid f(x) > 0\}$.

Аналогично, множество $B$ — это совокупность всех значений $x$, для которых выполняется неравенство $g(x) < 0$. То есть, $B = \{x \mid g(x) < 0\}$.

Система неравенств $\begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0\end{cases}$требует одновременного выполнения обоих условий. Решением системы будет множество всех таких значений $x$, которые удовлетворяют и первому, и второму неравенству.

Это означает, что искомые значения $x$ должны принадлежать множеству $A$ (так как $f(x) > 0$) и в то же время принадлежать множеству $B$ (так как $g(x) < 0$).

Множество, которое содержит все общие элементы для множеств $A$ и $B$, называется их пересечением и обозначается символом $A \cap B$.

Таким образом, решение данной системы неравенств представляет собой пересечение множеств $A$ и $B$.

Ответ: Пересечение множеств $A$ и $B$, то есть множество $A \cap B$.

3. Опишите алгоритм решения системы двух неравенств с одной переменной.

Решением системы двух неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, которое одновременно удовлетворяет каждому из неравенств системы. Решить систему означает найти множество всех её решений (общую часть решений обоих неравенств) или доказать, что таких решений не существует.

Для решения системы двух неравенств с одной переменной используется следующий алгоритм:

1. Решить первое неравенство системы. Производятся все необходимые преобразования (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, перенос членов из одной части в другую) для того, чтобы найти множество всех значений переменной, удовлетворяющих первому неравенству. Это множество, обычно представляющее собой числовой промежуток, является решением первого неравенства.
2. Решить второе неравенство системы. Аналогично первому пункту, находится множество решений для второго неравенства.
3. Найти пересечение множеств решений. Это ключевой шаг, на котором определяется итоговое решение системы. Общее решение системы — это множество значений переменной, которые принадлежат и множеству решений первого неравенства, и множеству решений второго. Практически это удобнее всего сделать с помощью числовой прямой. Для этого нужно начертить числовую ось; отметить на ней граничные точки из решений обоих неравенств (выколотыми для строгих неравенств $>$, <, и закрашенными для нестрогих $\ge$, $\le$); заштриховать решения первого и второго неравенств на этой оси; найти область, где штриховки пересекаются. Эта область и является решением системы. Если пересечения нет, система не имеет решений.

Пример:

Требуется решить систему неравенств:

$ \begin{cases} 5x - 15 > 0 \\ 2x - 7 \le 1 \end{cases} $

1. Решаем первое неравенство: $5x > 15$, что дает $x > 3$. Решение: $x \in (3; +\infty)$.

2. Решаем второе неравенство: $2x \le 1 + 7$, что дает $2x \le 8$, и, следовательно, $x \le 4$. Решение: $x \in (-\infty; 4]$.

3. Находим пересечение решений на числовой прямой. Отмечаем выколотую точку $3$ и закрашенную точку $4$. Штрихуем область справа от $3$ и область слева от $4$ (включая точку 4). Пересечением этих областей является промежуток от $3$ до $4$, не включая $3$ и включая $4$.

Следовательно, решением системы является промежуток $(3; 4]$.

Ответ: Алгоритм решения системы двух неравенств с одной переменной: 1) решить каждое неравенство системы по отдельности, чтобы найти множество его решений; 2) найти пересечение полученных множеств решений, которое и является решением системы. Для нахождения пересечения удобно изобразить множества решений на одной числовой прямой и определить их общую часть.

4. Дана система неравенств

$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0. \end{cases} $ Оказалось, что неравенство $f(x) > 0$ не имеет решений. Что вы можете сказать о решении заданной системы неравенств?

Решением системы неравенств $$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0 \end{cases} $$ называется множество значений переменной $x$, которые удовлетворяют одновременно каждому из неравенств, входящих в систему. Другими словами, решение системы — это пересечение множеств решений первого и второго неравенств.

В условии задачи сказано, что неравенство $f(x) > 0$ не имеет решений. Это означает, что множество значений $x$, для которых функция $f(x)$ принимает положительные значения, является пустым множеством ($\emptyset$).

Поскольку для решения системы необходимо, чтобы выполнялись оба условия, а первое условие ($f(x) > 0$) не выполняется ни при каком значении $x$, то не существует такого значения $x$, которое могло бы быть решением всей системы. Неважно, какие решения имеет второе неравенство $g(x) < 0$, так как уже первое условие делает невозможным нахождение общего решения.

Математически это можно записать так: пусть $A$ — множество решений неравенства $f(x) > 0$, а $B$ — множество решений неравенства $g(x) < 0$. По условию, $A = \emptyset$. Решением системы является пересечение этих множеств: $A \cap B$. Пересечение любого множества с пустым множеством всегда является пустым множеством: $$ \emptyset \cap B = \emptyset $$ Следовательно, множество решений заданной системы неравенств пусто.

Ответ: Заданная система неравенств не имеет решений.

5. Дана система неравенств $\begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0. \end{cases}$ Оказалось, что неравенство $f(x) > 0$ имеет своим решением множество A, а неравенство $g(x) < 0$ выполняется при любых значениях переменной. Что вы можете сказать о решении заданной системы неравенств?

Рассмотрим данную систему неравенств: $$ \begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) < 0. \end{cases} $$

Решением системы неравенств является множество всех значений переменной $x$, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно. Это означает, что мы ищем пересечение множеств решений первого и второго неравенств.

Проанализируем условия задачи для каждого неравенства.

Для первого неравенства, $f(x) > 0$, нам дано, что его решением является множество $A$.

Для второго неравенства, $g(x) < 0$, сказано, что оно выполняется при любых значениях переменной. Это значит, что решением этого неравенства является множество всех действительных чисел, которое обозначается как $ℝ$ (или в виде интервала $(-\infty; +\infty)$).

Чтобы найти решение всей системы, необходимо найти пересечение этих двух множеств решений. Если $S$ - множество решений системы, то: $$ S = (\text{решение } f(x) > 0) \cap (\text{решение } g(x) < 0) $$ Подставляя известные нам множества, получаем: $$ S = A \cap ℝ $$

Пересечение любого множества $A$ (которое является подмножеством действительных чисел) с множеством всех действительных чисел $ℝ$ всегда равно самому множеству $A$. Это происходит потому, что все элементы, принадлежащие $A$, по определению также принадлежат и $ℝ$.

Таким образом, решение системы неравенств полностью совпадает с решением первого неравенства, так как второе неравенство не накладывает никаких дополнительных ограничений на переменную $x$.

Ответ: Решением заданной системы неравенств является множество $A$.

8.1 a) $y = x^2$;

б) $y = \sqrt{x}$;

В) $y = \frac{1}{x}$;

Г) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

а) Для нахождения производной функции $y = x^2$ используется основное правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$. В данном случае показатель степени $n=2$.
Подставляем значение $n$ в формулу и вычисляем производную:
$y' = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.
Ответ: $y' = 2x$.

б) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x}$ сначала представим корень в виде степени: $y = x^{1/2}$.
Теперь применим то же правило дифференцирования степенной функции, где $n = 1/2$.
$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$.
Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательной степени и вернуться к форме с корнем:
$y' = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{x}$ представим ее в виде степени: $y = x^{-1}$.
Применяем правило дифференцирования степенной функции при $n = -1$.
$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2}$.
Запишем результат в виде дроби:
$y' = -\frac{1}{x^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ сначала представим ее в виде степени: $y = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$.
Применим правило дифференцирования степенной функции, где $n = -1/2$.
$y' = (x^{-1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.
Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательной и дробной степени:
$y' = -\frac{1}{2x^{3/2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

8.2 a) $y = x^2 + 8;$

б) $y = \frac{4x - 1}{5};$

В) $y = x^3 - 1;$

Г) $y = \frac{8x + 3}{7}.$

а) Для нахождения функции, обратной к $y = x^2 + 8$, необходимо поменять местами переменные $x$ и $y$, а затем выразить $y$ из полученного уравнения.

Меняем переменные местами: $x = y^2 + 8$.

Теперь выражаем $y$:

$y^2 = x - 8$

$y = \pm\sqrt{x - 8}$

Исходная функция $y = x^2 + 8$ не является взаимно-однозначной на всей числовой оси, поэтому обратное к ней соотношение не является функцией. Полученное выражение $y = \pm\sqrt{x - 8}$ задает две ветви, соответствующие двум возможным ограничениям области определения исходной функции (например, $x \ge 0$ или $x \le 0$). Область определения для обратного соотношения: $x - 8 \ge 0$, то есть $x \ge 8$.

Ответ: $y = \pm\sqrt{x - 8}$.

б) Дана функция $y = \frac{4x - 1}{5}$. Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$.

$x = \frac{4y - 1}{5}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$.

Умножим обе части на 5:

$5x = 4y - 1$

Прибавим 1 к обеим частям:

$5x + 1 = 4y$

Разделим обе части на 4:

$y = \frac{5x + 1}{4}$

Ответ: $y = \frac{5x + 1}{4}$.

в) Дана функция $y = x^3 - 1$. Она является строго монотонной на всей области определения, поэтому для нее существует единственная обратная функция. Найдем ее, поменяв местами $x$ и $y$.

$x = y^3 - 1$

Решим уравнение относительно $y$.

Прибавим 1 к обеим частям:

$y^3 = x + 1$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$y = \sqrt[3]{x + 1}$

Ответ: $y = \sqrt[3]{x + 1}$.

г) Дана функция $y = \frac{8x + 3}{7}$. Это линейная функция, которая является монотонной. Найдем обратную функцию, поменяв местами $x$ и $y$.

$x = \frac{8y + 3}{7}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$.

Умножим обе части на 7:

$7x = 8y + 3$

Вычтем 3 из обеих частей:

$7x - 3 = 8y$

Разделим обе части на 8:

$y = \frac{7x - 3}{8}$

Ответ: $y = \frac{7x - 3}{8}$.

8.3 a) $y = \frac{2x}{x^2 + 1};$

б) $y = \frac{6x + 3}{2x^2 + 0.5};$

В) $y = \frac{3x - 4}{x^2 + 4};$

Г) $y = \frac{4x}{3x^2 + 2.3}.$

a) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Для нахождения области значений функции, рассмотрим $y$ как параметр и решим уравнение относительно $x$. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом $x$.

Преобразуем уравнение:

$y(x^2 + 1) = 2x$

$yx^2 + y = 2x$

$yx^2 - 2x + y = 0$

Это уравнение можно рассматривать как уравнение относительно переменной $x$ с параметром $y$.

1. Если $y = 0$, уравнение принимает вид $-2x = 0$, откуда $x=0$. Следовательно, значение $y=0$ принадлежит области значений функции.

2. Если $y \neq 0$, то это полноценное квадратное уравнение. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

$D = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot y = 4 - 4y^2$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$4 - 4y^2 \ge 0$

$1 - y^2 \ge 0$

$(1 - y)(1 + y) \ge 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $y \in [-1, 1]$.

Объединяя случай $y=0$, который входит в найденный интервал, получаем, что область значений функции — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.

б) $y = \frac{6x + 3}{2x^2 + 0,5}$

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $2x^2 + 0,5 > 0$ для любого $x$. Преобразуем уравнение, рассматривая его как уравнение относительно $x$ с параметром $y$:

$y(2x^2 + 0,5) = 6x + 3$

$2yx^2 + 0,5y = 6x + 3$

$2yx^2 - 6x + (0,5y - 3) = 0$

1. Если $y = 0$, уравнение становится линейным: $-6x - 3 = 0$, откуда $x = -0,5$. Значит, $y=0$ принадлежит области значений.

2. Если $y \neq 0$, это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные решения, если дискриминант $D \ge 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot (2y) \cdot (0,5y - 3) = 36 - 8y(0,5y - 3) = 36 - 4y^2 + 24y$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$-4y^2 + 24y + 36 \ge 0$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$y^2 - 6y - 9 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 - 6y - 9 = 0$ с помощью формулы корней:

$y_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2}$

Так как $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$, получаем:

$y_{1,2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}$

Парабола $f(y) = y^2 - 6y - 9$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $f(y) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $[3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2}]$.

Это и есть область значений функции.

Ответ: $[3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2}]$.

в) $y = \frac{3x - 4}{x^2 + 4}$

Область определения функции — $x \in \mathbb{R}$, так как $x^2 + 4 > 0$ всегда. Преобразуем уравнение:

$y(x^2 + 4) = 3x - 4$

$yx^2 - 3x + (4y + 4) = 0$

1. Если $y=0$, уравнение становится линейным: $-3x+4=0$, откуда $x = 4/3$. Значит, $y=0$ входит в область значений.

2. Если $y \neq 0$, это квадратное уравнение относительно $x$, которое имеет действительные решения при $D \ge 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot (4y + 4) = 9 - 16y^2 - 16y$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$-16y^2 - 16y + 9 \ge 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$16y^2 + 16y - 9 \le 0$

Найдем корни уравнения $16y^2 + 16y - 9 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-9)}}{2 \cdot 16} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 576}}{32} = \frac{-16 \pm \sqrt{832}}{32}$

Упростим корень: $\sqrt{832} = \sqrt{64 \cdot 13} = 8\sqrt{13}$.

$y_{1,2} = \frac{-16 \pm 8\sqrt{13}}{32} = \frac{8(-2 \pm \sqrt{13})}{32} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{4}$

Ветви параболы $f(y) = 16y^2 + 16y - 9$ направлены вверх, значит, неравенство $f(y) \le 0$ выполняется между корнями.

Область значений функции — отрезок $[\frac{-2 - \sqrt{13}}{4}, \frac{-2 + \sqrt{13}}{4}]$.

Ответ: $[\frac{-2 - \sqrt{13}}{4}, \frac{-2 + \sqrt{13}}{4}]$.

г) $y = \frac{4x}{3x^2 + 2,3}$

Область определения функции — $x \in \mathbb{R}$, так как $3x^2 + 2,3 > 0$ всегда. Преобразуем уравнение:

$y(3x^2 + 2,3) = 4x$

$3yx^2 - 4x + 2,3y = 0$

1. При $y=0$ получаем $-4x=0$, то есть $x=0$. Значение $y=0$ принадлежит области значений.

2. При $y \neq 0$, уравнение является квадратным относительно $x$. Оно имеет действительные решения, если дискриминант $D \ge 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot (3y) \cdot (2,3y) = 16 - 12y(2,3y) = 16 - 27,6y^2$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$16 - 27,6y^2 \ge 0$

$16 \ge 27,6y^2$

$y^2 \le \frac{16}{27,6} = \frac{160}{276}$

Сократим дробь: $\frac{160}{276} = \frac{40}{69}$.

$y^2 \le \frac{40}{69}$

Это неравенство равносильно $|y| \le \sqrt{\frac{40}{69}}$, то есть $-\sqrt{\frac{40}{69}} \le y \le \sqrt{\frac{40}{69}}$.

Упростим корень: $\sqrt{\frac{40}{69}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 10}}{\sqrt{69}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{69}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{69}$: $\frac{2\sqrt{10}\sqrt{69}}{69} = \frac{2\sqrt{690}}{69}$.

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-\frac{2\sqrt{690}}{69}, \frac{2\sqrt{690}}{69}]$.

Ответ: $[-\frac{2\sqrt{690}}{69}, \frac{2\sqrt{690}}{69}]$.