Страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.49 В январе 2014 г. на счёт в банке была положена некоторая сумма денег. В конце 2014 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Добавив в январе 2015 г. на свой счёт ещё 18000 р., вкладчик пришёл в банк закрыть счёт в декабре 2015 г. и получил 44000 р. Какая сумма была положена на счёт первоначально и сколько процентов в год начисляет банк?

Для решения задачи введем переменные:

• $S$ — первоначальная сумма, положенная на счёт в январе 2014 г. (в рублях).
• $r$ — годовая процентная ставка банка, выраженная в долях (например, 10% = 0.1).

Проанализируем условия задачи по шагам и составим систему уравнений.

1. В конце 2014 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Это означает, что проценты были начислены на первоначальную сумму $S$. Отсюда получаем первое уравнение:

$S \cdot r = 2000$

2. В начале 2015 г. на счёте была сумма $S$ плюс начисленные проценты, то есть $S + 2000$. Вкладчик добавил ещё 18 000 р. Таким образом, сумма, на которую начислялись проценты в 2015 году, составила:

$S_{2015} = (S + 2000) + 18000 = S + 20000$

3. В конце 2015 г. вкладчик закрыл счёт и получил 44 000 р. Эта сумма состоит из вклада на начало 2015 года и начисленных на него процентов. Это даёт нам второе уравнение:

$(S + 20000) \cdot (1 + r) = 44000$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} S \cdot r = 2000 \\ (S + 20000)(1 + r) = 44000 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $S$ через $r$: $S = \frac{2000}{r}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{2000}{r} + 20000)(1 + r) = 44000$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 2000:

$(\frac{1}{r} + 10)(1 + r) = 22$

Раскроем скобки в левой части:

$\frac{1}{r} \cdot 1 + \frac{1}{r} \cdot r + 10 \cdot 1 + 10 \cdot r = 22$

$\frac{1}{r} + 1 + 10 + 10r = 22$

$\frac{1}{r} + 10r + 11 = 22$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{1}{r} + 10r - 11 = 0$

Умножим все члены уравнения на $r$ (поскольку процентная ставка $r \neq 0$):

$1 + 10r^2 - 11r = 0$

Запишем полученное квадратное уравнение в стандартном виде:

$10r^2 - 11r + 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 121 - 40 = 81$

Корни уравнения:

$r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 10} = \frac{11 \pm 9}{20}$

Мы получили два возможных значения для $r$:

$r_1 = \frac{11 + 9}{20} = \frac{20}{20} = 1$

$r_2 = \frac{11 - 9}{20} = \frac{2}{20} = 0.1$

Математически задача имеет два решения. Рассмотрим каждое из них.

Решение 1

Возьмем значение $r_2 = 0.1$.

сколько процентов в год начисляет банк:

Ставка $r = 0.1$ соответствует $0.1 \cdot 100\% = 10\%$ годовых.

Какая сумма была положена на счёт первоначально:

Найдем $S$ из первого уравнения: $S = \frac{2000}{r} = \frac{2000}{0.1} = 20000$ р.

Проверка:
- Вклад: 20 000 р.
- Проценты за 2014 г.: $20000 \cdot 0.1 = 2000$ р. (верно)
- Сумма на начало 2015 г.: $20000 + 2000 + 18000 = 40000$ р.
- Сумма к получению в конце 2015 г.: $40000 \cdot (1 + 0.1) = 44000$ р. (верно)

Ответ: Первоначальная сумма 20 000 р., процентная ставка 10% годовых.

Решение 2

Возьмем значение $r_1 = 1$.

сколько процентов в год начисляет банк:

Ставка $r = 1$ соответствует $1 \cdot 100\% = 100\%$ годовых.

Какая сумма была положена на счёт первоначально:

Найдем $S$ из первого уравнения: $S = \frac{2000}{r} = \frac{2000}{1} = 2000$ р.

Проверка:
- Вклад: 2 000 р.
- Проценты за 2014 г.: $2000 \cdot 1 = 2000$ р. (верно)
- Сумма на начало 2015 г.: $2000 + 2000 + 18000 = 22000$ р.
- Сумма к получению в конце 2015 г.: $22000 \cdot (1 + 1) = 44000$ р. (верно)

Ответ: Первоначальная сумма 2 000 р., процентная ставка 100% годовых.

7.50 У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на год на счета в разные банки, причём младший брат нашёл банк, который даёт на 5% годовых больше, чем банк, в который обратился старший брат. Сняв свои деньги со счетов через год, старший брат получил 4600 р., а младший — 2400 р. Сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальная сумма денег младшего брата в рублях. Согласно условию, у старшего брата было вдвое больше денег, то есть $2x$ рублей.

Пусть $y$ — годовая процентная ставка в банке старшего брата, выраженная в виде десятичной дроби (например, 10% это 0.1). Тогда процентная ставка в банке младшего брата, которая на 5% больше, будет равна $y + 0.05$.

Сумма на счете через год рассчитывается по формуле $S = S_0 \cdot (1 + p)$, где $S_0$ — начальный вклад, а $p$ — годовая процентная ставка.

Основываясь на данных задачи, составим систему из двух уравнений:

1. Для старшего брата: его начальный вклад $2x$ под процент $y$ через год превратился в 4600 р.

$2x \cdot (1 + y) = 4600$

2. Для младшего брата: его начальный вклад $x$ под процент $y+0.05$ через год превратился в 2400 р.

$x \cdot (1 + y + 0.05) = 2400$

Теперь решим эту систему уравнений. Из второго уравнения выразим $x$:

$x = \frac{2400}{1.05 + y}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$2 \cdot \left(\frac{2400}{1.05 + y}\right) \cdot (1 + y) = 4600$

Упростим полученное уравнение:

$\frac{4800 \cdot (1 + y)}{1.05 + y} = 4600$

Разделим обе части уравнения на 100, чтобы упростить вычисления:

$\frac{48 \cdot (1 + y)}{1.05 + y} = 46$

Теперь умножим обе части на $(1.05 + y)$:

$48 \cdot (1 + y) = 46 \cdot (1.05 + y)$

$48 + 48y = 48.3 + 46y$

Соберем слагаемые с $y$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$48y - 46y = 48.3 - 48$

$2y = 0.3$

$y = 0.15$

Таким образом, процентная ставка в банке старшего брата составляла 15% годовых. Процентная ставка в банке младшего брата была $y + 0.05 = 0.15 + 0.05 = 0.20$, то есть 20% годовых.

Теперь найдем первоначальные суммы денег. Подставим значение $y = 0.15$ в выражение для $x$:

$x = \frac{2400}{1.05 + 0.15} = \frac{2400}{1.20} = 2000$ рублей.

Это была сумма младшего брата. Сумма старшего брата была $2x = 2 \cdot 2000 = 4000$ рублей.

Теперь ответим на главный вопрос задачи: сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки?

В этом гипотетическом сценарии:

• Старший брат положил бы свои 4000 р. в банк с процентной ставкой 20% (0.20). Через год у него было бы:

$4000 \cdot (1 + 0.20) = 4000 \cdot 1.2 = 4800$ рублей.

• Младший брат положил бы свои 2000 р. в банк с процентной ставкой 15% (0.15). Через год у него было бы:

$2000 \cdot (1 + 0.15) = 2000 \cdot 1.15 = 2300$ рублей.

Суммарная сумма денег у братьев составила бы:

$4800 + 2300 = 7100$ рублей.

Ответ: 7100 р.

7.51 Суммарный доход двух предприятий возрастёт втрое, если доход первого предприятия останется неизменным, а доход второго увеличится в 4 раза. Во сколько раз надо увеличить доход первого предприятия, оставляя неизменным доход второго, чтобы их суммарный доход вырос в 4 раза?

Обозначим первоначальный доход первого предприятия как $D_1$, а первоначальный доход второго предприятия как $D_2$. Их суммарный доход составляет $D_1 + D_2$.

Согласно первому условию, если доход первого предприятия не изменится ($D_1$), а доход второго увеличится в 4 раза ($4D_2$), то суммарный доход возрастёт втрое. Запишем это в виде уравнения:

$D_1 + 4D_2 = 3(D_1 + D_2)$

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы найти соотношение между доходами предприятий:

$D_1 + 4D_2 = 3D_1 + 3D_2$

$4D_2 - 3D_2 = 3D_1 - D_1$

$D_2 = 2D_1$

Это означает, что первоначальный доход второго предприятия был в два раза больше, чем у первого.

Теперь рассмотрим второе условие. Нам нужно найти, во сколько раз (обозначим этот множитель как $k$) нужно увеличить доход первого предприятия ($k \cdot D_1$), оставив доход второго неизменным ($D_2$), чтобы их суммарный доход вырос в 4 раза. Составим второе уравнение:

$k \cdot D_1 + D_2 = 4(D_1 + D_2)$

Теперь подставим в это уравнение найденное нами ранее соотношение $D_2 = 2D_1$:

$k \cdot D_1 + 2D_1 = 4(D_1 + 2D_1)$

Упростим полученное уравнение:

$D_1(k + 2) = 4(3D_1)$

$D_1(k + 2) = 12D_1$

Поскольку доход предприятия не может быть равен нулю ($D_1 \neq 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $D_1$:

$k + 2 = 12$

$k = 12 - 2$

$k = 10$

Таким образом, доход первого предприятия необходимо увеличить в 10 раз.

Ответ: в 10 раз.

7.52 Торговая фирма получила две партии некоторого товара. Если продавать весь товар по цене 80 р. за 1 кг, то выручка от продаж будет на 15 % ниже выручки, которую фирма получила бы, продав первую партию по названной цене, а вторую — по цене, превышающей её на 25 %. Какую часть (по массе) составляет первая партия товара в общем количестве товара этих двух партий?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $m_1$ — масса первой партии товара в кг, а $m_2$ — масса второй партии товара в кг. Тогда общая масса обеих партий составляет $(m_1 + m_2)$ кг.

Рассмотрим два сценария, описанных в задаче.

Сценарий 1: Весь товар продается по цене 80 р. за 1 кг. Выручка от продажи всего товара ($V_1$) в этом случае будет равна произведению общей массы на цену:

$V_1 = 80 \cdot (m_1 + m_2)$

Сценарий 2: Первая партия продается по цене 80 р. за 1 кг, а вторая — по цене, превышающей ее на 25%. Найдем цену продажи второй партии. Цена на 25% выше, значит, она составляет $100\% + 25\% = 125\%$ от базовой цены. Цена второй партии: $P_2 = 80 \cdot (1 + 0,25) = 80 \cdot 1,25 = 100$ р. за 1 кг. Выручка ($V_2$) в этом сценарии складывается из выручки от продажи каждой партии отдельно:

$V_2 = 80 \cdot m_1 + 100 \cdot m_2$

По условию задачи, выручка в первом сценарии ($V_1$) на 15% ниже выручки во втором сценарии ($V_2$). Это означает, что $V_1$ составляет $100\% - 15\% = 85\%$ от $V_2$. Математически это можно записать так:

$V_1 = 0,85 \cdot V_2$

Теперь подставим выражения для $V_1$ и $V_2$ в это уравнение:

$80 \cdot (m_1 + m_2) = 0,85 \cdot (80 \cdot m_1 + 100 \cdot m_2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$80m_1 + 80m_2 = 0,85 \cdot 80m_1 + 0,85 \cdot 100m_2$

$80m_1 + 80m_2 = 68m_1 + 85m_2$

Сгруппируем слагаемые с $m_1$ в левой части уравнения, а слагаемые с $m_2$ — в правой:

$80m_1 - 68m_1 = 85m_2 - 80m_2$

$12m_1 = 5m_2$

Это соотношение показывает связь между массами двух партий. Нам нужно найти, какую часть (по массе) составляет первая партия в общем количестве товара. Искомая величина — это отношение массы первой партии к общей массе:

$\frac{m_1}{m_1 + m_2}$

Из соотношения $12m_1 = 5m_2$ выразим $m_2$ через $m_1$:

$m_2 = \frac{12}{5}m_1$

Подставим это выражение в знаменатель искомой дроби:

$\frac{m_1}{m_1 + m_2} = \frac{m_1}{m_1 + \frac{12}{5}m_1}$

Вынесем $m_1$ в знаменателе за скобки и сократим дробь:

$\frac{m_1}{m_1(1 + \frac{12}{5})} = \frac{1}{1 + \frac{12}{5}}$

Теперь вычислим значение в знаменателе:

$1 + \frac{12}{5} = \frac{5}{5} + \frac{12}{5} = \frac{17}{5}$

Тогда искомая часть равна:

$\frac{1}{\frac{17}{5}} = 1 \cdot \frac{5}{17} = \frac{5}{17}$

Таким образом, первая партия составляет $\frac{5}{17}$ от общего количества товара.

Ответ: $\frac{5}{17}$.

7.53 При смешивании 40%-ного раствора соли с 10%-ным раствором получили 800 г раствора с концентрацией соли 21,25%. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса 40%-ного раствора соли в граммах, а $y$ — масса 10%-ного раствора соли в граммах.

Составление уравнений

Первое уравнение составим исходя из общей массы полученного раствора. По условию, при смешивании двух растворов получили 800 г нового раствора. Следовательно, сумма масс исходных растворов равна 800 г:
$x + y = 800$

Второе уравнение составим исходя из массы соли в растворах. Масса соли в первом (40%-ном) растворе составляет $0,40x$ г. Масса соли во втором (10%-ном) растворе составляет $0,10y$ г. Масса соли в конечном (21,25%-ном) растворе составляет $0,2125 \times 800$ г.

Вычислим массу соли в конечном растворе:
$0,2125 \times 800 = 170$ г.

Так как масса соли в итоговом растворе равна сумме масс соли в исходных растворах, получаем второе уравнение:
$0,4x + 0,1y = 170$

Таким образом, получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 800 \\ 0,4x + 0,1y = 170 \end{cases}$

Решение системы уравнений

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 800 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$0,4x + 0,1(800 - x) = 170$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$0,4x + 80 - 0,1x = 170$
$0,3x = 170 - 80$
$0,3x = 90$
$x = \frac{90}{0,3}$
$x = 300$

Таким образом, масса 40%-ного раствора соли составляет 300 г.

Теперь найдем массу второго раствора, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 800 - x = 800 - 300 = 500$

Следовательно, масса 10%-ного раствора соли составляет 500 г.

Проверка

Проверим общую массу: $300 \text{ г} + 500 \text{ г} = 800 \text{ г}$. Верно.
Проверим массу соли: $(0,40 \times 300) + (0,10 \times 500) = 120 + 50 = 170$ г.
Проверим концентрацию конечного раствора: $\frac{170}{800} \times 100\% = \frac{17}{80} \times 100\% = 21,25\%$. Верно.

Ответ: было взято 300 г 40%-ного раствора и 500 г 10%-ного раствора.

7.54 Имеются два раствора соли в воде, первый — $40\%$-ный, второй — $60\%$-ный. Их смешали, добавили 5 л воды и получили $20\%$-ный раствор. Если бы вместо 5 л воды добавили 5 л $80\%$-ного раствора соли, то получился бы $70\%$-ный раствор. Сколько было $40\%$-ного и сколько $60\%$-ного раствора?

Обозначим за $x$ объем (в литрах) 40%-ного раствора и за $y$ — объем (в литрах) 60%-ного раствора. Тогда количество соли в первом растворе составляет $0.4x$ л, а во втором — $0.6y$ л.

Первое условие

Когда растворы смешали и добавили 5 л воды, общий объем стал $(x + y + 5)$ л, а количество соли осталось прежним: $(0.4x + 0.6y)$ л. Концентрация полученного 20%-ного раствора описывается уравнением: $ \frac{0.4x + 0.6y}{x + y + 5} = 0.2 $.
Последовательно упростим это уравнение:
$ 0.4x + 0.6y = 0.2(x + y + 5) $
$ 0.4x + 0.6y = 0.2x + 0.2y + 1 $
$ 0.2x + 0.4y = 1 $

Второе условие

Если бы вместо воды добавили 5 л 80%-ного раствора, объем смеси также был бы $(x + y + 5)$ л. Количество соли в добавленном растворе: $5 \cdot 0.8 = 4$ л. Общее количество соли в итоговой смеси: $(0.4x + 0.6y + 4)$ л. Концентрация 70%-ного раствора описывается уравнением: $ \frac{0.4x + 0.6y + 4}{x + y + 5} = 0.7 $.
Упростим это уравнение:
$ 0.4x + 0.6y + 4 = 0.7(x + y + 5) $
$ 0.4x + 0.6y + 4 = 0.7x + 0.7y + 3.5 $
$ 4 - 3.5 = 0.7x - 0.4x + 0.7y - 0.6y $
$ 0.5 = 0.3x + 0.1y $
Умножив на 10, получим: $ 5 = 3x + y $.

Решение системы уравнений

Получили систему из двух уравнений:
1) $ 0.2x + 0.4y = 1 $
2) $ 3x + y = 5 $
Из второго уравнения выражаем $y$: $y = 5 - 3x$.
Подставляем это выражение в первое уравнение:
$ 0.2x + 0.4(5 - 3x) = 1 $
Раскрываем скобки и решаем уравнение:
$ 0.2x + 2 - 1.2x = 1 $
$ 2 - x = 1 $
$ x = 1 $
Теперь находим $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$ y = 5 - 3(1) = 2 $

Таким образом, первоначально было 1 л 40%-ного раствора и 2 л 60%-ного раствора.

Ответ: было 1 л 40%-ного раствора и 2 л 60%-ного раствора.

7.55 Имеется три слитка. Масса первого равна 5 кг, масса второго 3 кг, и каждый из них содержит 30 % меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56 % меди. Если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60 % меди. Каким будет процентное содержание меди в сплаве из всех трёх слитков?

Для решения задачи введем переменные для третьего, неизвестного, слитка: пусть его масса будет $m_3$ кг, а процентное содержание меди в нем $p_3$ (в долях от единицы). Масса меди в этом слитке равна произведению его массы на долю меди: $c_3 = m_3 \cdot p_3$.

Найдем массу меди в известных слитках:

Масса меди в первом слитке (масса 5 кг, 30% меди): $c_1 = 5 \cdot 0.30 = 1.5$ кг.

Масса меди во втором слитке (масса 3 кг, 30% меди): $c_2 = 3 \cdot 0.30 = 0.9$ кг.

Теперь используем условия о сплавах, чтобы составить систему уравнений. Процентное содержание вещества в сплаве равно отношению массы этого вещества к общей массе сплава.

1. Если первый слиток сплавить с третьим, получится слиток, содержащий 56% меди. Общая масса этого сплава равна $(5 + m_3)$ кг, а общая масса меди в нем — $(1.5 + c_3)$ кг. Составим уравнение:

$\frac{1.5 + m_3 \cdot p_3}{5 + m_3} = 0.56$

$1.5 + m_3 \cdot p_3 = 0.56(5 + m_3)$

$1.5 + m_3 \cdot p_3 = 2.8 + 0.56m_3$

Из этого уравнения выразим массу меди в третьем слитке ($c_3 = m_3 \cdot p_3$):

$m_3 \cdot p_3 = 1.3 + 0.56m_3$

2. Если второй слиток сплавить с третьим, получится слиток, содержащий 60% меди. Общая масса этого сплава — $(3 + m_3)$ кг, а общая масса меди — $(0.9 + c_3)$ кг. Составим второе уравнение:

$\frac{0.9 + m_3 \cdot p_3}{3 + m_3} = 0.60$

$0.9 + m_3 \cdot p_3 = 0.60(3 + m_3)$

$0.9 + m_3 \cdot p_3 = 1.8 + 0.60m_3$

Из этого уравнения также выразим массу меди в третьем слитке:

$m_3 \cdot p_3 = 0.9 + 0.60m_3$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Приравняем правые части выражений для $m_3 \cdot p_3$:

$1.3 + 0.56m_3 = 0.9 + 0.60m_3$

Решим это уравнение относительно $m_3$:

$1.3 - 0.9 = 0.60m_3 - 0.56m_3$

$0.4 = 0.04m_3$

$m_3 = \frac{0.4}{0.04} = 10$ кг.

Масса третьего слитка — 10 кг. Теперь найдем массу меди в нем, подставив $m_3 = 10$ в любое из выражений для $m_3 \cdot p_3$. Возьмем второе:

$c_3 = 0.9 + 0.60 \cdot 10 = 0.9 + 6 = 6.9$ кг.

Теперь мы можем найти процентное содержание меди в сплаве из всех трёх слитков. Сначала найдем общую массу сплава и общую массу меди.

Общая масса всех трех слитков:

$M_{общ} = m_1 + m_2 + m_3 = 5 + 3 + 10 = 18$ кг.

Общая масса меди во всех трех слитках:

$C_{общ} = c_1 + c_2 + c_3 = 1.5 + 0.9 + 6.9 = 9.3$ кг.

Процентное содержание меди в итоговом сплаве равно отношению общей массы меди к общей массе сплава, умноженному на 100%:

$P_{общ} = \frac{C_{общ}}{M_{общ}} \cdot 100\% = \frac{9.3}{18} \cdot 100\% = \frac{93}{180} \cdot 100\% = \frac{31}{60} \cdot 100\% = \frac{310}{6}\% = \frac{155}{3}\% = 51\frac{2}{3}\%$.

Ответ: $51\frac{2}{3}\%$.