Номер 5, страница 45 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

II. Основы динамики. Решаем задачи - номер 5, страница 45.

Условие.

5. Определите первую космическую скорость для Марса, если его масса равна $6.4 \cdot 10^{23}$ кг, а радиус — 3400 км.

Решение.

Дано:

Масса Марса, $M = 6.4 \cdot 10^{23}$ кг

Радиус Марса, $R = 3400$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$R = 3400 \text{ км} = 3400 \cdot 10^3 \text{ м} = 3.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первую космическую скорость для Марса, $v_1$

Решение:

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Для движения по такой орбите сила всемирного тяготения, действующая на спутник, должна быть равна центростремительной силе, удерживающей его на орбите.

Запишем равенство силы тяготения ($F_g$) и центростремительной силы ($F_c$):

$F_g = F_c$

$G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v_1^2}{R}$

где $\text{M}$ — масса Марса, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{R}$ — радиус Марса (радиус орбиты), $v_1$ — первая космическая скорость, $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{R}$ в уравнении и выразим скорость $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_1 = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6.4 \cdot 10^{23} \text{ кг}}{3.4 \cdot 10^6 \text{ м}}}$

Выполним вычисления:

$v_1 = \sqrt{\frac{4.2688 \cdot 10^{13}}{3.4 \cdot 10^6}} \text{ м/с}$

$v_1 = \sqrt{1.2555 \cdot 10^7} \text{ м/с} = \sqrt{12.555 \cdot 10^6} \text{ м/с}$

$v_1 \approx 3543 \text{ м/с}$

Также можно выразить скорость в километрах в секунду:

$3543 \text{ м/с} \approx 3.54 \text{ км/с}$

Ответ: Первая космическая скорость для Марса составляет примерно $3543$ м/с (или $3.54$ км/с).