Номер 9, страница 42 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

II. Основы динамики. Считаем и сравниваем - номер 9, страница 42.

Условие.

9. Пронумеруйте небесные тела в порядке возрастания первой космической скорости вблизи их поверхностей.

Земля: $M = 6 \cdot 10^{24}$ кг, $R = 6400$ км

Венера: $M = 4,9 \cdot 10^{24}$ кг, $R = 6050$ км

Сатурн: $M = 5,7 \cdot 10^{26}$ кг, $R = 60268$ км

Уран: $M = 8,7 \cdot 10^{25}$ кг, $R = 25600$ км

Решение.

Дано:

Земля: $M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг, $R_З = 6400$ км
Венера: $M_В = 4,9 \cdot 10^{24}$ кг, $R_В = 6050$ км
Сатурн: $M_С = 5,7 \cdot 10^{26}$ кг, $R_С = 60268$ км
Уран: $M_У = 8,7 \cdot 10^{25}$ кг, $R_У = 25600$ км
Гравитационная постоянная: $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н$\cdot$м$^2$/кг$^2$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$R_В = 6050 \text{ км} = 6050 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,05 \cdot 10^6 \text{ м}$
$R_С = 60268 \text{ км} = 60268 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,0268 \cdot 10^7 \text{ м}$
$R_У = 25600 \text{ км} = 25600 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,56 \cdot 10^7 \text{ м}$

Найти:

Пронумеровать небесные тела в порядке возрастания их первой космической скорости ($v_1$).

Решение:

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо придать объекту у поверхности небесного тела, чтобы он стал его искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Она вычисляется по формуле:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса небесного тела, $\text{R}$ — его радиус.

Рассчитаем первую космическую скорость для каждого небесного тела, подставив его массу и радиус в формулу.

Земля

$v_{1З} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6,4 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{6,25 \cdot 10^7} \approx 7906$ м/с $\approx 7,91$ км/с.

Венера

$v_{1В} = \sqrt{\frac{G M_В}{R_В}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 4,9 \cdot 10^{24}}{6,05 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5,40 \cdot 10^7} \approx 7350$ м/с $\approx 7,35$ км/с.

Сатурн

$v_{1С} = \sqrt{\frac{G M_С}{R_С}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,7 \cdot 10^{26}}{6,0268 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{6,31 \cdot 10^8} \approx 25115$ м/с $\approx 25,12$ км/с.

Уран

$v_{1У} = \sqrt{\frac{G M_У}{R_У}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8,7 \cdot 10^{25}}{2,56 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{2,27 \cdot 10^8} \approx 15056$ м/с $\approx 15,06$ км/с.

Сравним полученные значения скоростей и расположим их в порядке возрастания:

$v_{1В} (7,35 \text{ км/с}) < v_{1З} (7,91 \text{ км/с}) < v_{1У} (15,06 \text{ км/с}) < v_{1С} (25,12 \text{ км/с})$.

Таким образом, порядок небесных тел по возрастанию первой космической скорости следующий:

1. Венера
2. Земля
3. Уран
4. Сатурн

Ответ:

Земля — 2
Венера — 1
Сатурн — 4
Уран — 3