Номер 6, страница 41 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

II. Основы динамики. Считаем и сравниваем - номер 6, страница 41.

Условие.

6. Сравните силы тяжести, действующие на тело массой 3 кг, у поверхности Земли, на расстоянии $0,5R_3$ от поверхности и на расстоянии $2R_3$ от поверхности, где $R_3$ – радиус Земли.

Решение.

Дано:

Масса тела, $m = 3$ кг.

Радиус Земли - $R_З$.

Рассматриваемые положения тела:

1. У поверхности Земли (высота $h_1 = 0$).

2. На расстоянии $h_2 = 0,5R_З$ от поверхности.

3. На расстоянии $h_3 = 2R_З$ от поверхности.

Найти:

Сравнить силы тяжести $F_1, F_2, F_3$, действующие на тело в указанных положениях.

Решение:

Сила тяжести (сила гравитационного притяжения) определяется по закону всемирного тяготения:

$F = G \frac{M_З m}{r^2}$,

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса тела, а $\text{r}$ — расстояние от центра Земли до тела. Расстояние $\text{r}$ связано с высотой над поверхностью $\text{h}$ как $r = R_З + h$.

Рассчитаем и сравним силы для каждого из трех случаев.

Сила тяжести у поверхности Земли

В этом случае высота $h_1 = 0$, поэтому расстояние до центра Земли $r_1 = R_З + 0 = R_З$.

Сила тяжести $F_1$ равна:

$F_1 = G \frac{M_З m}{R_З^2}$.

Эту величину мы будем использовать как базовую для сравнения.

Ответ: Сила тяжести у поверхности Земли равна $F_1 = G \frac{M_З m}{R_З^2}$.

Сила тяжести на расстоянии 0,5$R_З$ от поверхности

В этом случае высота $h_2 = 0,5R_З$, а расстояние до центра Земли $r_2 = R_З + h_2 = R_З + 0,5R_З = 1,5R_З$.

Сила тяжести $F_2$ равна:

$F_2 = G \frac{M_З m}{r_2^2} = G \frac{M_З m}{(1,5R_З)^2} = G \frac{M_З m}{2,25R_З^2}$.

Сравним $F_2$ с $F_1$:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{G \frac{M_З m}{2,25R_З^2}}{G \frac{M_З m}{R_З^2}} = \frac{1}{2,25} = \frac{1}{9/4} = \frac{4}{9}$.

Отсюда $F_2 = \frac{4}{9}F_1$.

Ответ: Сила тяжести на расстоянии $0,5R_З$ от поверхности в $2,25$ раза меньше силы тяжести у поверхности и составляет $F_2 = \frac{4}{9}F_1$.

Сила тяжести на расстоянии 2$R_З$ от поверхности

В этом случае высота $h_3 = 2R_З$, а расстояние до центра Земли $r_3 = R_З + h_3 = R_З + 2R_З = 3R_З$.

Сила тяжести $F_3$ равна:

$F_3 = G \frac{M_З m}{r_3^2} = G \frac{M_З m}{(3R_З)^2} = G \frac{M_З m}{9R_З^2}$.

Сравним $F_3$ с $F_1$:

$\frac{F_3}{F_1} = \frac{G \frac{M_З m}{9R_З^2}}{G \frac{M_З m}{R_З^2}} = \frac{1}{9}$.

Отсюда $F_3 = \frac{1}{9}F_1$.

Ответ: Сила тяжести на расстоянии $2R_З$ от поверхности в $\text{9}$ раз меньше силы тяжести у поверхности и составляет $F_3 = \frac{1}{9}F_1$.

Итоговое сравнение сил

Мы получили, что $F_1 > F_2 > F_3$.

Найдем их соотношение:

$F_1 : F_2 : F_3 = F_1 : \frac{4}{9}F_1 : \frac{1}{9}F_1$.

Сократив на $F_1$, получим: $1 : \frac{4}{9} : \frac{1}{9}$.

Чтобы выразить это отношение в целых числах, умножим все его члены на 9:

$9 : 4 : 1$.

Ответ: Силы тяжести, действующие на тело у поверхности Земли, на расстоянии $0,5R_З$ от поверхности и на расстоянии $2R_З$ от поверхности, соотносятся как $9 : 4 : 1$.