Номер 8, страница 42 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

II. Основы динамики. Считаем и сравниваем - номер 8, страница 42.

Условие.

8. Во сколько раз отличаются скорости двух искусственных спутников Земли одинаковой массы, если отношение их расстояний до центра Земли равно четырём?

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$ (массы спутников)

$\frac{r_2}{r_1} = 4$ (отношение расстояний до центра Земли)

Так как задача решается в общем виде, перевод в СИ не требуется.

Найти:

$\frac{v_1}{v_2}$ — ?

Решение:

При движении спутника по круговой орбите сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны Земли, является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{цс} = F_{т}$

Центростремительная сила, действующая на спутник массой $\text{m}$, движущийся со скоростью $\text{v}$ по орбите радиусом $\text{r}$, равна:

$F_{цс} = \frac{mv^2}{r}$

Сила тяготения между Землей (массой $\text{M}$) и спутником (массой $\text{m}$) определяется законом всемирного тяготения:

$F_{т} = G\frac{Mm}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$\frac{mv^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$:

$v^2 = \frac{GM}{r}$

Отсюда скорость спутника на орбите равна:

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Из этой формулы видно, что скорость спутника не зависит от его собственной массы, а определяется только массой центрального тела (Земли) и радиусом орбиты. Скорость обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты.

Запишем выражения для скоростей первого и второго спутников:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}$

$v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}$

Найдем отношение их скоростей, разделив первое уравнение на второе:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{r_1}}}{\sqrt{\frac{GM}{r_2}}} = \sqrt{\frac{GM}{r_1} \cdot \frac{r_2}{GM}} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$

По условию задачи, отношение расстояний $\frac{r_2}{r_1} = 4$. Подставим это значение в полученную формулу:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$

Это означает, что скорость спутника, находящегося на меньшем расстоянии от Земли, в 2 раза больше скорости спутника, находящегося на большем расстоянии.

Ответ: Скорости двух спутников отличаются в 2 раза.