Номер 4, страница 40 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

II. Основы динамики. Считаем и сравниваем - номер 4, страница 40.

Условие.

4. Спутник Земли, орбита которого расположена в плоскости экватора, над одной и той же точкой поверхности находится дважды за сутки. Как соотносятся периоды обращения спутника и Земли?

Решение.

Дано:

Количество появлений спутника над одной и той же точкой экватора за период вращения Земли: $N=2$.

Период вращения Земли: $T_З$.

Найти:

Соотношение между периодом обращения спутника $T_{сп}$ и периодом вращения Земли $T_З$.

Решение:

Рассмотрим движение спутника и точки на экваторе в инерциальной системе отсчета, связанной с центром Земли. Угловая скорость вращения Земли равна $\omega_З = \frac{2\pi}{T_З}$, а угловая скорость обращения спутника — $\omega_{сп} = \frac{2\pi}{T_{сп}}$.

Условие, что спутник находится над одной и той же точкой дважды за сутки, означает, что за время $T_З$ спутник совершает два полных оборота относительно наблюдателя на этой точке. Частота таких событий (синодическая частота) равна $f_{син} = \frac{N}{T_З} = \frac{2}{T_З}$.

Синодическая частота определяется относительной угловой скоростью спутника и точки на Земле: $f_{син} = \frac{|\omega_{отн}|}{2\pi}$. Существует два возможных случая в зависимости от направления движения спутника.

Случай 1: Прямое (проградное) движение.

Спутник движется в том же направлении, что и вращение Земли. В этом случае относительная угловая скорость равна модулю разности угловых скоростей: $\omega_{отн} = |\omega_{сп} - \omega_З|$. Тогда синодическая частота равна $f_{син} = \frac{|\omega_{сп} - \omega_З|}{2\pi} = |\frac{1}{T_{сп}} - \frac{1}{T_З}|$.

Приравнивая это значение к заданному, получаем уравнение: $|\frac{1}{T_{сп}} - \frac{1}{T_З}| = \frac{2}{T_З}$.

Это уравнение распадается на два варианта:

а) Если спутник движется быстрее Земли ($T_{сп} < T_З$), то $\frac{1}{T_{сп}} - \frac{1}{T_З} = \frac{2}{T_З}$, откуда $\frac{1}{T_{сп}} = \frac{3}{T_З}$ и, следовательно, $T_{сп} = \frac{T_З}{3}$.

б) Если спутник движется медленнее Земли ($T_{сп} > T_З$), то $\frac{1}{T_З} - \frac{1}{T_{сп}} = \frac{2}{T_З}$, откуда $\frac{1}{T_{сп}} = -\frac{1}{T_З}$, что не имеет физического смысла, так как период не может быть отрицательным.

Случай 2: Обратное (ретроградное) движение.

Спутник движется в направлении, противоположном вращению Земли. В этом случае относительная угловая скорость равна сумме угловых скоростей: $\omega_{отн} = \omega_{сп} + \omega_З$. Синодическая частота равна $f_{син} = \frac{\omega_{сп} + \omega_З}{2\pi} = \frac{1}{T_{сп}} + \frac{1}{T_З}$.

Приравнивая это значение к заданному, получаем: $\frac{1}{T_{сп}} + \frac{1}{T_З} = \frac{2}{T_З}$.

Отсюда следует, что $\frac{1}{T_{сп}} = \frac{1}{T_З}$, то есть $T_{сп} = T_З$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Существует два возможных соотношения между периодом обращения спутника $T_{сп}$ и периодом вращения Земли $T_З$, в зависимости от направления движения спутника:
1. При прямом (совпадающем с вращением Земли) движении период обращения спутника в 3 раза меньше периода вращения Земли: $T_{сп} = \frac{T_З}{3}$.
2. При обратном (ретроградном) движении период обращения спутника равен периоду вращения Земли: $T_{сп} = T_З$.