Номер 1, страница 50 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

III. Основы статики. Решаем задачи - номер 1, страница 50.

Условие.

1. Стержень длиной 1 м изготовлен наполовину из меди, наполовину из алюминия. Где находится центр тяжести этого стержня? Плотность меди 8900 $кг/м^3$, плотность алюминия 2700 $кг/м^3$.

Решение.

Дано:

$L = 1$ м (общая длина стержня)
$l_1 = L/2 = 0.5$ м (длина медной части)
$l_2 = L/2 = 0.5$ м (длина алюминиевой части)
$\rho_1 = 8900$ кг/м³ (плотность меди)
$\rho_2 = 2700$ кг/м³ (плотность алюминия)
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$x_c$ — положение центра тяжести стержня.

Решение:

Центр тяжести (или центр масс) системы, состоящей из двух тел, определяется по формуле: $x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ где $m_1$ и $m_2$ — массы частей стержня, а $x_1$ и $x_2$ — координаты центров тяжести этих частей.

Для удобства расчетов расположим стержень вдоль оси $\text{Ox}$ и поместим начало координат ($x=0$) в точку соединения медной и алюминиевой частей. Пусть более плотная медная часть находится в области отрицательных координат (от $-0.5$ м до $\text{0}$), а алюминиевая — в области положительных (от $\text{0}$ до $0.5$ м).

Так как каждая часть стержня является однородной, ее центр тяжести совпадает с ее геометрическим центром.

Координата центра тяжести медной части: $x_1 = \frac{-0.5 \text{ м} + 0}{2} = -0.25 \text{ м}$.

Координата центра тяжести алюминиевой части: $x_2 = \frac{0 + 0.5 \text{ м}}{2} = 0.25 \text{ м}$.

Массы каждой части стержня можно выразить через плотность $\rho$, площадь поперечного сечения $\text{S}$ и длину $\text{l}$: $m = \rho \cdot S \cdot l$.

Масса медной части: $m_1 = \rho_1 S l_1$.

Масса алюминиевой части: $m_2 = \rho_2 S l_2$.

Подставим выражения для масс и координаты в формулу центра тяжести: $x_c = \frac{(\rho_1 S l_1) x_1 + (\rho_2 S l_2) x_2}{\rho_1 S l_1 + \rho_2 S l_2}$

Поскольку длины частей одинаковы ($l_1 = l_2 = 0.5$ м), а площадь поперечного сечения $\text{S}$ постоянна, эти величины можно сократить: $x_c = \frac{S \cdot l_1 \cdot (\rho_1 x_1 + \rho_2 x_2)}{S \cdot l_1 \cdot (\rho_1 + \rho_2)} = \frac{\rho_1 x_1 + \rho_2 x_2}{\rho_1 + \rho_2}$

Подставим числовые значения: $x_c = \frac{8900 \cdot (-0.25) + 2700 \cdot (0.25)}{8900 + 2700}$

$x_c = \frac{-2225 + 675}{11600} = \frac{-1550}{11600} \approx -0.1336 \text{ м}$

Знак «минус» указывает на то, что центр тяжести смещен от точки соединения в сторону более плотного материала — меди. Округлим результат до сотых долей метра.

$x_c \approx -0.13 \text{ м} = -13 \text{ см}$

Ответ: Центр тяжести стержня находится на расстоянии примерно 13 см от места соединения меди и алюминия, внутри медной части.