Номер 4, страница 51 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

III. Основы статики. Решаем задачи - номер 4, страница 51.

Условие.

4. Определите, где будет находиться центр тяжести системы шаров, находящихся в вершинах равностороннего невесомого треугольника, если масса одного из трёх шаров 4 кг, а двух других — по 2 кг каждый.

Решение.

Дано:

Масса первого шара $m_1 = 4$ кг.

Масса второго шара $m_2 = 2$ кг.

Масса третьего шара $m_3 = 2$ кг.

Шары расположены в вершинах равностороннего невесомого треугольника.

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Положение центра тяжести системы шаров.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами: концептуально (методом группировки масс) и аналитически (с помощью системы координат).

1. Метод группировки масс.

Пусть шар массой $m_1 = 4$ кг находится в вершине C, а два шара с массами $m_2 = 2$ кг и $m_3 = 2$ кг находятся в вершинах A и B соответственно.

Сначала найдем центр тяжести системы из двух одинаковых шаров массами $m_2$ и $m_3$. Так как их массы равны, их общий центр тяжести будет находиться ровно посередине отрезка AB, соединяющего их. Обозначим эту точку M. В этой точке можно мысленно сосредоточить их суммарную массу $m_{23} = m_2 + m_3 = 2 + 2 = 4$ кг.

Теперь исходная задача сводится к нахождению центра тяжести новой системы, состоящей из двух тел: шара массой $m_1 = 4$ кг в вершине C и тела массой $m_{23} = 4$ кг в точке M. Отрезок CM, соединяющий эти два тела, является медианой равностороннего треугольника ABC (а также его высотой и биссектрисой).

Поскольку массы $m_1$ и $m_{23}$ равны (по 4 кг), их общий центр тяжести будет расположен ровно посередине отрезка CM.

Таким образом, центр тяжести всей системы находится на середине медианы, проведенной из вершины с шаром массой 4 кг.

2. Аналитический метод (метод координат).

Для подтверждения результата введем систему координат. Пусть сторона треугольника равна $\text{a}$. Расположим вершину A в начале координат $(0, 0)$, а вершину B — на оси $\text{x}$ в точке $(a, 0)$. Тогда третья вершина C будет иметь координаты $(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$, где $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ — высота равностороннего треугольника.

Расположим массы в вершинах:

• $m_2 = 2$ кг в точке $A(0, 0)$
• $m_3 = 2$ кг в точке $B(a, 0)$
• $m_1 = 4$ кг в точке $C(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$

Координаты центра тяжести системы $(x_c, y_c)$ вычисляются по формулам:

$x_c = \frac{m_1x_C + m_2x_A + m_3x_B}{m_1 + m_2 + m_3}$

$y_c = \frac{m_1y_C + m_2y_A + m_3y_B}{m_1 + m_2 + m_3}$

Общая масса системы $M = 4 + 2 + 2 = 8$ кг.

Вычислим координату $x_c$:

$x_c = \frac{4 \cdot \frac{a}{2} + 2 \cdot 0 + 2 \cdot a}{8} = \frac{2a + 2a}{8} = \frac{4a}{8} = \frac{a}{2}$

Вычислим координату $y_c$:

$y_c = \frac{4 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{8} = \frac{2a\sqrt{3}}{8} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Полученная точка с координатами $(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{4})$ лежит на медиане CM (так как ее абсцисса равна $\frac{a}{2}$) на высоте, равной половине высоты всего треугольника ($\frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$). Это и есть середина медианы CM, что полностью подтверждает результат, полученный первым способом.

Ответ: Центр тяжести системы будет находиться на середине медианы (которая в равностороннем треугольнике является также высотой и биссектрисой), проведенной из вершины, в которой расположен шар массой 4 кг, к противоположной стороне.